Адаптированный процесс

При исследовании стохастических процессов , согласованный процесс (также называемый как неупреждающий или неупреждающим процесс ) является тот , который не может «видеть будущее». Неофициальная интерпретация ^[1] в том , что Х приспособлен , если и только если для каждой реализации и каждого п , X _п известно в момент времени п . Концепция адаптированного процесса важна, например, в определении интеграла Itō , которое имеет смысл только в том случае, если подынтегральное выражение является адаптированным процессом.

Определение [ править ]

Позволять

${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ быть вероятностным пространством ;
${\ displaystyle I}$ быть установлен индекс с общим порядка (часто, это , , или ); ${\ displaystyle \ leq}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle [0, T]}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty)}$
${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ left ({\ mathcal {F}} _ {i} \ right) _ {я \ in I}}$ быть фильтрации из сигма - алгебры ; ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$
${\ Displaystyle (S, \ Sigma)}$ быть измеримым пространством , пространством состояний ;
${\ displaystyle X: I \ times \ Omega \ to S}$ быть случайным процессом .

Процесс называется приспособлен к фильтрации , если случайная величина является - измеримой функции для каждого . ^[2] ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {F}} _ {i} \ right) _ {я \ in I}}$ ${\ displaystyle X_ {i}: \ Omega \ to S}$ ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {я}, \ Sigma)}$ $i\in I$

Примеры [ править ]

Рассмотрим случайный процесс X : [0, T ] × Ω → R и снабдим вещественную прямую R его обычной борелевской сигма-алгеброй, порожденной открытыми множествами .

Если мы возьмем естественную фильтрацию F _•^X , где F _t^X - σ -алгебра, порожденная прообразами X _s⁻¹ ( B ) для борелевских подмножеств B в R и умноженная на 0 ≤ s ≤ t , то X автоматически F _•^X- адаптирован. Интуитивно естественная фильтрация F _•^X содержит «полную информацию» о поведении X до момента времени t .
Это предлагает простой пример неадаптированного процесса X : [0, 2] × Ω → R : установить F _t как тривиальную σ -алгебру {∅, Ω} для времен 0 ≤ t <1, и F _t = F _t^X для времен 1 ≤ t ≤ 2 . Поскольку единственный способ измерить функцию относительно тривиальной σ- алгебры - быть константой, любой процесс X , непостоянный на [0, 1], не будет F _• -адаптирован. Непостоянный характер такого процесса «использует информацию» из более тонкого «будущего» σ-алгебры F _t , 1 ≤ t ≤ 2 .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы . 1 . Вайли. ISBN 0-471-99705-6.
^ Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения . Springer. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

[1] Вильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы . 1 . Вайли. ISBN 0-471-99705-6.

[2] Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения . Springer. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

[1]