Математические финансы , также известные как количественные финансы и финансовая математика , являются областью прикладной математики , связанной с математическим моделированием финансовых рынков . Как правило, математические финансы будут выводить и расширять математические или числовые модели без необходимости установления связи с финансовой теорией, принимая в качестве исходных данных наблюдаемые рыночные цены. Требуется математическая последовательность, а не совместимость с экономической теорией. Так, например, финансовый экономист может изучить структурные причины, по которым компания может иметь определенную цену акций., Финансовый математик может взять цену акций как данность и попытаться использовать стохастическое исчисление , чтобы получить соответствующее значение производных в наличии ( см Оценка вариантов ; Финансовое моделирование ; ценообразование активов ). Фундаментальная теорема безарбитражных ценообразования является одним из ключевых теорем финансовой математики, а Блэка-Шоулза уравнение и формула являются одними из ключевых результатов. [1]
Математические финансы также сильно пересекаются с областями вычислительных финансов и финансового инжиниринга . Последний фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастических моделей активов ( см. Количественный аналитик ), тогда как первый фокусируется, помимо анализа, на создании инструментов реализации для моделей. В общем, существует две отдельных ветвей финансов , которые требуют передовых количественных метод: производные ценообразования, с одной стороны, и оценкой риски и портфельного управления на другом. [2]
Французский математик Луи Башелье считается автором первой научной работы по математическим финансам, опубликованной в 1900 году. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах после работ Фишера Блэка , Майрона Скоулза и Роберта Мертона по теории ценообразования опционов. Математическое инвестирование возникло из исследования математика Эдварда Тропа, который сначала использовал статистические методы, чтобы изобрести карточный счет в блэкджеке, а затем применил его принципы к современному систематическому инвестированию. [3]
Сегодня многие университеты предлагают ученую степень и исследовательские программы в области математических финансов.
История: Q против P
Существуют две отдельные области финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелем. Одно из основных различий заключается в том, что они используют разные вероятности, такие как вероятность нейтрального риска (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначаемая «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначаемая «P».
Цены на производные финансовые инструменты: мир Q
Цель | "экстраполировать настоящее" |
Среда | нейтральная к риску вероятность |
Процессы | мартингалы в непрерывном времени |
Измерение | низкий |
Инструменты | It исчисление, PDE |
Вызовы | калибровка |
Бизнес | сторона продажи |
Целью ценообразования производных финансовых инструментов является определение справедливой цены данной ценной бумаги с точки зрения более ликвидных ценных бумаг , цена которых определяется законом спроса и предложения . Значение слова «справедливая», конечно, зависит от того, рассматривать ли вы покупку или продажу ценной бумаги. Примерами цен на ценные бумаги являются обычные и экзотические опционы , конвертируемые облигации и т. Д.
Как только справедливая цена определена, продавец может торговать по ценной бумаге. Следовательно, ценообразование деривативов - это сложная процедура «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в книге «Теория спекуляции» (« Теория спекуляции », опубликована в 1900 году) с введением самых основных и наиболее влиятельных процессов, броуновского движения и его приложений к ценообразованию опционов. . [4] [5] Броуновское движение выводится с помощью уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания . [6] Башелье смоделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание, в котором краткосрочные изменения имели конечную дисперсию . Это заставляет долгосрочные изменения следовать гауссовскому распределению . [7]
Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Скоулз , наряду с фундаментальным вкладом Роберта К. Мертона , не применили второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение , к ценообразованию опционов . За это М. Скоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам 1997 года . Блэк не имел права на получение приза из-за своей смерти в 1995 году. [8]
Следующим важным шагом стала фундаментальная теорема ценообразования активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которой подходящим образом нормализованная текущая цена P 0 ценной бумаги не имеет арбитража и, таким образом, действительно справедлива только в том случае, если существует стохастический процесс P t с постоянным ожидаемым значением, которое описывает его дальнейшее развитие: [9]
( 1 )
Процесс, удовлетворяющий ( 1 ), называется « мартингалом ». Мартингейл не вознаграждает за риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется "нейтральной по отношению к риску" и обычно обозначается буквой шрифта на доске "".
Соотношение ( 1 ) должно выполняться для всех времен t: поэтому процессы, используемые для ценообразования производных финансовых инструментов, естественным образом устанавливаются в непрерывное время.
В кванты , которые работают в Q мире производных ценообразования являются специалистами с глубоким знанием конкретных продуктов , которые они моделируют.
Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и, таким образом, проблемы в мире Q носят незначительный характер. Калибровка - одна из основных проблем мира Q: после того, как параметрический процесс с непрерывным временем был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг с помощью отношения, такого как ( 1 ), аналогичное отношение используется для определения цены новых производных инструментов.
Основными количественными инструментами, необходимыми для обработки Q-процессов в непрерывном времени, являются стохастическое исчисление Ито , моделирование и уравнения в частных производных (PDE).
Управление рисками и портфелем: мир P
Цель | "моделировать будущее" |
Среда | реальная вероятность |
Процессы | дискретный временной ряд |
Измерение | большой |
Инструменты | многомерная статистика |
Вызовы | оценка |
Бизнес | сторона покупателя |
Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на заданном горизонте будущих инвестиций.
Это «реальное» вероятностное распределение рыночных цен обычно обозначается буквой шрифта на доске "", в отличие от" нейтральной с точки зрения риска "вероятности""используется в ценообразовании деривативов. На основе распределения P сообщество покупателя принимает решения о том, какие ценные бумаги покупать, чтобы улучшить предполагаемый профиль прибылей и убытков для своих позиций, рассматриваемых как портфель. Все чаще элементы этого процесса автоматизированы; см. Обзор финансов § Количественное инвестирование для получения списка соответствующих статей.
За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп вместе с Мертоном Миллером разделили Нобелевскую мемориальную премию по экономическим наукам 1990 года , впервые присужденную за работу в области финансов.
Работа Марковица и Шарпа по отбору портфелей познакомила математику с управлением инвестициями . Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону однопериодные модели были заменены непрерывным временем, моделями броуновского движения , а квадратичная функция полезности, неявная в оптимизации среднего – дисперсионного, была заменена более общими возрастающими вогнутыми функциями полезности. [10] Кроме того, в последние годы акцент сместился на оценку риска, то есть опасность ошибочного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить полностью точные оценки параметров рынка. [11]
Много усилий было потрачено на изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу , один из основателей компаний Dow Jones & Company и The Wall Street Journal , сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые теперь называются теорией Доу . Это основа так называемого метода технического анализа, который пытается предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» состоит в том, что рыночные тенденции указывают на будущее, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Утверждения технических аналитиков оспариваются многими учеными. [ необходима цитата ]
Математическое инвестирование
Прикладное математическое управление инвестициями состоит из количественного инвестирования, которое использует статистические модели, компьютерное программирование и численные методы для инвестирования в финансовые рынки. [ необходима цитата ]
Критика
С годами были разработаны все более сложные математические модели и стратегии ценообразования производных финансовых инструментов, но их доверие было подорвано финансовым кризисом 2007–2010 годов . Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, особенно со стороны Пола Уилмотта и Нассима Николаса Талеба в его книге «Черный лебедь» . [12] Талеб утверждает, что цены на финансовые активы не могут быть охарактеризованы с помощью простых моделей, используемых в настоящее время, что делает большую часть текущей практики в лучшем случае неактуальной, а в худшем - опасно вводящей в заблуждение. В январе 2009 года Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали «Манифест разработчиков финансовых моделей» [13], в котором рассматриваются некоторые из наиболее серьезных проблем. Такие организации, как Институт нового экономического мышления , сейчас пытаются разработать новые теории и методы. [14]
В целом, моделирование изменений распределениями с конечной дисперсией все чаще считается неуместным. [15] В 1960-х Бенуа Мандельброт обнаружил, что изменения цен не следуют гауссовскому распределению , а лучше моделируются альфа- стабильными распределениями Леви . [16] Масштаб изменения или волатильности зависит от продолжительности временного интервала в степени немного больше 1/2. Значительные изменения вверх или вниз более вероятны, чем то, что можно было бы вычислить с использованием распределения Гаусса с предполагаемым стандартным отклонением . Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и снижает надежность управления рисками. [12] См. Также процесс вариации гаммы # Цена опциона .
Статьи по математическим финансам
Математические инструменты
- Асимптотический анализ
- Исчисление
- Копулы , в том числе гауссовские
- Дифференциальные уравнения
- Ожидаемое значение
- Эргодическая теория
- Формула Фейнмана – Каца
- преобразование Фурье
- Теорема Гирсанова
- Лемма Ито
- Теорема о мартингальном представлении
- Математические модели
- Математическая оптимизация
- Линейное программирование
- Нелинейное программирование
- Квадратичное программирование
- Метод Монте-Карло
- Численный анализ
- Гауссова квадратура
- Реальный анализ
- Уравнения с частными производными
- Уравнение тепла
- Численные уравнения в частных производных
- Метод Кранка – Николсона
- Метод конечных разностей
- Вероятность
- Распределения вероятностей
- Биномиальное распределение
- SU-распределение Джонсона
- Логнормальное распределение
- Распределение Стьюдента
- Квантильные функции
- Производная Радона – Никодима
- Нейтральная к риску мера
- Оптимизация сценария
- Стохастическое исчисление
- Броуновское движение
- Леви процесс
- Стохастическое дифференциальное уравнение
- Стохастическая оптимизация
- Стохастическая волатильность
- Анализ выживаемости
- Ценность под угрозой
- Волатильность
- Модель ARCH
- Модель GARCH
Цены на производные финансовые инструменты
- Броуновское модель финансовых рынков
- Рациональные ценообразования допущения
- Оценка без риска
- Ценообразование без арбитража
- Корректировки оценки
- Корректировка оценки кредита
- XVA
- Формула форвардной цены
- Стоимость фьючерсных контрактов
- Оценка свопа
- Валютный своп # Оценка и расценки
- Своп процентных ставок # Оценка и расценки
- Мультикривый каркас
- Своп отклонений # Цены и оценка
- Обмен активами # Расчет спреда обмена активами
- Своп кредитного дефолта # Цены и оценка
- Параметры
- Паритет пут – колл (арбитражные отношения для опционов)
- Внутренняя стоимость , временная стоимость
- Денежность
- Ценовые модели
- Модель Блэка – Шоулза
- Черная модель
- Модель биномиальных опционов
- Подразумеваемое биномиальное дерево
- Биномиальное дерево Эджворта
- Опционная модель Монте-Карло
- Подразумеваемая изменчивость , Улыбка волатильности
- Местная волатильность
- Стохастическая волатильность
- Модель постоянной эластичности дисперсии
- Модель Хестона
- Скачок стохастической волатильности
- Модель волатильности SABR
- Марковский переключающий мультифрактал
- Греки
- Конечно-разностные методы ценообразования опционов
- Цены на Ванна – Волга
- Трехчленное дерево
- Подразумеваемое трехчленное дерево
- Модель Гармана-Кольхагена
- Решетчатая модель (финансы)
- Формула марграбе
- Стоимость американских опционов
- Бароне-Адези и Уэйли
- Бьерксунд и Стенсланд
- Приближение Блэка
- Наименьшая площадь Монте-Карло
- Оптимальная остановка
- Roll-Geske-Whaley
- Производные инструменты на процентную ставку
- Черная модель
- шапки и полы
- обмены
- Варианты облигаций
- Краткосрочные модели
- Модель Рендлмана – Барттера
- Модель Васичека
- Модель Хо – Ли
- Модель Халла – Уайта
- Модель Кокса – Ингерсолла – Росса
- Модель Блэка – Карасинского
- Модель Black – Derman – Toy
- Модель Калотая – Вильямса – Фабоцци
- Модель Лонгстаффа – Шварца
- Чен модель
- Модели на основе форвардной ставки
- Модель рынка LIBOR ( Модель Брейса – Гатарека – Мусиела, BGM)
- Модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM)
- Черная модель
Моделирование портфолио
Смотрите также
- Броуновская модель финансовых рынков
- Вычислительные финансы
- Деривативы (финансы) , список тем по деривативам
- Экономическая модель
- Эконофизика
- Финансовая экономика
- Финансовое проектирование
- Финансовое моделирование § Количественные финансы
- Международная ассоциация свопов и деривативов
- Указатель бухгалтерских статей
- Список экономистов
- Магистр количественных финансов
- Очерк экономики
- Схема финансов
- Физика финансовых рынков
- Количественные поведенческие финансы
- Статистические финансы
- Технический анализ
- XVA
- Квантовые финансы
Заметки
- ↑ Джонсон, Тим (1 сентября 2009 г.). «Что такое финансовая математика?» . + Журнал "Плюс" . Проверено 1 марта 2021 года .
- ^ «Количественные финансы» . About.com . Проверено 28 марта 2014 .
- ^ Лам, Лесли П. Нортон и Дэн. «Почему Эдвард Торп владеет только Berkshire Hathaway» . www.barrons.com . Проверено 6 июня 2021 .
- ^ Э., Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление для финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387401003. OCLC 53289874 .
- ^ Стивен, Блит (2013). Введение в количественные финансы . Издательство Оксфордского университета, США. п. 157. ISBN. 9780199666591. OCLC 868286679 .
- ^ Б., Шмидт, Анатолий (2005). Количественные финансы для физиков: введение . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209. OCLC 57743436 .
- ^ Бачелир, Луи. «Теория спекуляции» . Проверено 28 марта 2014 .
- ^ Линдбек, Ассар. «Премия Sveriges Riksbank в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 1969-2007» . Нобелевская премия . Проверено 28 марта 2014 .
- ^ Браун, Ангус (1 декабря 2008 г.). «Рискованный бизнес: как оценивать производные финансовые инструменты» . Цена + Журнал . Проверено 28 марта 2014 .
- ^ Карацас, Иоаннис; Шрив, Стив (1998). Методы математических финансов . Секакус, штат Нью-Джерси, США: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393.
- ^ Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Springer. ISBN 9783642009648.
- ^ а б Талеб, Нассим Николас (2007). Черный лебедь: влияние невероятного . Случайная торговля домом. ISBN 978-1-4000-6351-2.
- ^ «Манифест разработчиков финансовых моделей» . Блог Пола Уилмотта. 8 января 2009 года архив с оригинала на 8 сентября 2014 года . Проверено 1 июня 2012 года .
- ^ Джиллиан Тетт (15 апреля 2010 г.). «Математики должны выбраться из своих башен из слоновой кости» . Financial Times .
- ^ Светлозар Т. Рачев; Фрэнк Дж. Фабоцци ; Кристиан Менн (2005). Неопределенное и асимметричное распределение доходности активов: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0471718864.
- ^ Б. Мандельброт , "Изменение некоторых спекулятивных цен" , Журнал бизнеса 1963 г.
дальнейшее чтение
- Николь Эль Каруи , «Будущее финансовой математики» , ParisTech Review , 6 сентября 2013 г.
- Гарольд Марковиц , «Выбор портфеля», The Journal of Finance , 7, 1952, стр. 77–91.
- Аттилио Меуччи , «P Versus Q: различия и сходства между двумя областями количественного финансирования» , GARP Risk Professional , февраль 2011 г., стр. 41–44
- Уильям Ф. Шарп , Инвестиции , Прентис-Холл, 1985