Формула Фейнмана – Каца, названная в честь Ричарда Фейнмана и Марка Каца , устанавливает связь между параболическими уравнениями в частных производных (УЧП) и случайными процессами . В 1947 году, когда Кац и Фейнман оба были на факультете Корнелла, Кац присутствовал на презентации Фейнмана и заметил, что они оба работали над одним и тем же с разных сторон. [1] Приведена формула Фейнмана – Каца, которая строго доказывает реальный случай интегралов по траекториям Фейнмана. Сложный случай, который имеет место при учете спина частицы, до сих пор не доказан. [2]
Он предлагает метод решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных путем моделирования случайных траекторий случайного процесса. И наоборот, важный класс ожиданий случайных процессов можно вычислить детерминированными методами.
Теорема
Рассмотрим уравнение в частных производных
определено для всех а также , при условии выполнения терминального условия
где μ, σ, ψ, V , f - известные функции, T - параметр иэто неизвестное. Тогда формула Фейнмана – Каца говорит нам, что решение можно записать как условное математическое ожидание
при вероятностной мере Q такой, что X - процесс Ито, управляемый уравнением
где W Q ( t ) - винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) относительно Q , а начальным условием для X ( t ) является X (t) = x .
Доказательство
Доказательство того, что приведенная выше формула является решением дифференциального уравнения, длинное, трудное и здесь не приводится. Однако достаточно просто показать, что если решение существует , оно должно иметь указанную выше форму. Доказательство этого меньшего результата следующее:
Пусть u ( x , t ) - решение приведенного выше уравнения в частных производных. Применение правила продукта для процессов Itô к процессу
один получает
С
третий член и его можно уронить. У нас также есть это
Применяя лемму Ито к , следует, что
Первый член в скобках содержит указанное выше уравнение в частных производных и поэтому равен нулю. Остается
Интегрируя это уравнение от t до T , заключаем, что
Взяв ожидания, обусловленные X t = x , и заметив, что правая часть представляет собой интеграл Ито с нулевым математическим ожиданием, [3] следует, что
Желаемый результат получается, если учесть, что
и наконец
Замечания
- Приведенное выше доказательство того, что решение должно иметь заданный вид, по сути, аналогично доказательству [4] с модификациями для учета.
- Вышеприведенная формула математического ожидания также применима для N -мерных диффузий Ито. Соответствующее уравнение в частных производных длястановится: [5]
- где,
- т.е. , где обозначает транспонирование из .
- Затем это ожидание может быть аппроксимировано методами Монте-Карло или квази-Монте-Карло .
- Первоначально опубликованная Кацем в 1949 г. [6] формула Фейнмана – Каца была представлена как формула для определения распределения некоторых функционалов Винера. Предположим, мы хотим найти математическое ожидание функции
- в случае, когда x (τ) - некоторая реализация процесса диффузии, начинающаяся при x (0) = 0. Формула Фейнмана – Каца говорит, что это ожидание эквивалентно интегралу от решения уравнения диффузии. В частности, при условии, что ,
- где w ( x , 0) = δ ( x ) и
- Формулу Фейнмана – Каца также можно интерпретировать как метод вычисления функциональных интегралов определенного вида. Если
- где интеграл берется по всем случайным блужданиям , то
- где w ( x , t ) - решение параболического уравнения в частных производных
- с начальным условием w ( x , 0) = f ( x ).
Приложения
В количественном финансировании формула Фейнмана – Каца используется для эффективного расчета решений уравнения Блэка – Шоулза для определения цены опционов на акции. [7]
В квантовой химии он используется для решения уравнения Шредингера с помощью метода чистой диффузии Монте-Карло. [8]
Смотрите также
- Лемма Ито
- Неравенство Куниты – Ватанабе
- Теорема Гирсанова
- Прямое уравнение Колмогорова (также известное как уравнение Фоккера – Планка)
Рекомендации
- Перейти ↑ Kac, Mark (1987). Загадки случая: автобиография . Калифорнийский университет Press. С. 115–16. ISBN 0-520-05986-7.
- ^ Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987). Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. С. 43–44. ISBN 978-0-387-96476-8. Проверено 13 апреля 2021 года .
- ^ Эксендал, Бернд (2003). «Теорема 3.2.1. (Iii)». Стохастические дифференциальные уравнения. Введение с приложениями (6-е изд.). Springer-Verlag. п. 30. ISBN 3540047581.
- ^ http://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html
- ^ См. Фам, Хуйен (2009). Стохастический контроль и оптимизация в непрерывном времени с финансовыми приложениями . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-10044-4.
- ^ Кац, Марк (1949). "О распределениях некоторых винеровских функционалов" . Труды Американского математического общества . 65 (1): 1–13. DOI : 10.2307 / 1990512 . JSTOR 1990512 . Эта статья перепечатана в Baclawski, K .; Донскер, доктор медицины, ред. (1979). Марк Кац: Вероятность, теория чисел и статистическая физика, Избранные статьи . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 268–280. ISBN 0-262-11067-9.
- ^ Паоло Брандимарте (6 июня 2013 г.). «Глава 1. Мотивация». Численные методы в финансах и экономике: Введение на основе MATLAB . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-62557-6.
- ^ Каффарель, Мишель; Клавери, Пьер (15 января 1988 г.). «Разработка чистого диффузионного квантового метода Монте-Карло с использованием полной обобщенной формулы Фейнмана – Каца. I. Формализм» . Журнал химической физики . 88 (2): 1088–1099. DOI : 10.1063 / 1.454227 .
дальнейшее чтение
- Саймон, Барри (1979). Функциональная интеграция и квантовая физика . Академическая пресса.
- Холл, Британская Колумбия (2013). Квантовая теория для математиков . Springer.