В математике , уравнение Эйлера-Коши , или уравнение Коши-Эйлера , или просто уравнение Эйлера является линейным однородным обыкновенным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами . Иногда его называют равноразмерным уравнением. Благодаря своей особенно простой равноразмерной структуре дифференциальное уравнение может быть решено явно.
Пусть y ( n ) ( x ) будет n- й производной неизвестной функции y ( x ). Тогда уравнение Коши – Эйлера порядка n имеет вид
Замена (это, ; для, можно заменить все экземпляры от , что расширяет область решения до ) можно использовать для сведения этого уравнения к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. В качестве альтернативы пробное решениеможет использоваться для непосредственного поиска основных решений. [1]
Второй порядок - решение через пробное решение
Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая двух действительных корней
Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая двойного корня
Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая комплексных корней
Наиболее распространенное уравнение Коши – Эйлера - это уравнение второго порядка, которое встречается в ряде приложений физики и техники, например, при решении уравнения Лапласа в полярных координатах. Уравнение Коши – Эйлера второго порядка имеет вид [1] [2]
Мы предполагаем пробное решение [1]
Дифференциация дает
а также
Подстановка в исходное уравнение приводит к требованию
Преобразование и разложение на множители дают указательное уравнение
Затем мы решаем относительно m . Есть три конкретных случая, представляющих интерес:
- Случай № 1 двух различных корней, m 1 и m 2 ;
- Случай № 2 одного действительного повторяющегося корня, m ;
- Случай № 3 комплексных корней, α ± βi .
В случае №1 решение
В случае № 2 решение
Чтобы получить это решение, необходимо применить метод уменьшения порядка после нахождения одного решения y = x m .
В случае № 3 решение
Для .
Эта форма решения получается, если x = e t и использовать формулу Эйлера
Второй порядок - решение заменой переменных
Мы работаем с подстановкой переменных, определяемой
Дифференциация дает
Подстановка дифференциальное уравнение принимает вид
Это уравнение в решается через свой характеристический многочлен
Теперь позвольте а также обозначим два корня этого многочлена. Мы анализируем два основных случая: различные корни и двойные корни:
Если корни различны, общее решение
- , где экспоненты могут быть комплексными.
Если корни равны, общее решение
В обоих случаях решение можно найти, установив .
Следовательно, в первом случае
- ,
а во втором случае
Пример
Дано
подставим простое решение x m :
Чтобы x m было решением, либо x = 0, что дает тривиальное решение, либо коэффициент при x m равен нулю. Решая квадратное уравнение, получаем m = 1, 3. Таким образом, общее решение имеет вид
Существует разностное уравнение, аналогичное уравнению Коши – Эйлера. Для фиксированного m > 0 определим последовательность ƒ m ( n ) как
Применение оператора разности к , мы находим, что
Если мы проделаем это k раз, мы обнаружим, что
где верхний индекс ( k ) означает применение разностного оператора k раз. Сравнивая это с тем фактом, что k -я производная от x m равна
предполагает, что мы можем решить разностное уравнение N-го порядка
аналогично случаю дифференциального уравнения. Действительно, подставляя пробное решение
приводит нас к той же ситуации, что и в случае дифференциального уравнения,
Теперь можно действовать так же, как и в случае с дифференциальным уравнением, поскольку общее решение линейного разностного уравнения N-го порядка также является линейной комбинацией N линейно независимых решений. Применение уменьшения порядка в случае кратного корня m 1 приведет к выражениям, включающим дискретную версию ln,
(Сравнить с: )
В случаях, когда участвуют фракции, можно использовать
вместо этого (или просто используйте его во всех случаях), что совпадает с определением ранее для целого числа m .