Среднеквадратичное значение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Среднеквадратичное значение» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( март 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и ее приложениях среднеквадратичное ( RMS или среднеквадратичное ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата ( среднее арифметическое из квадратов одного набора чисел). ^[1] Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное ^[2]^[3] и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно изменяющейся функции в терминах интеграла квадратов от мгновенные значения в течение цикла.

Для переменного электрического тока среднеквадратичное значение равняется значению постоянного постоянного тока , который приведет к тому же рассеиванию мощности в резистивной нагрузке . ^[1]

В теории оценивания , то среднеквадратичное отклонение из оценки является мерой несовершенства подгонки оценки к данным.

Определение [ править ]

Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывного сигнала ) - это квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функции, определяющей непрерывный сигнал. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».

В случае набора из n значений RMS равно ${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \}}$

{\ displaystyle x _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right)}}.}

Соответствующая формула для непрерывной функции (или формы сигнала) f ( t ), определенной на интервале, имеет вид ${\ Displaystyle T_ {1} \ leq t \ leq T_ {2}}$

{\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} { [f (t)]} ^ {2} \, dt}}},}

и RMS для функции за все время

{\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {{1 \ over {2T}} {\ int _ {- T} ^ {T} {[f ( t)]} ^ {2} \, dt}}}.}

RMS за все время периодической функции равно RMS одного периода функции. Среднеквадратичное значение непрерывной функции или сигнала можно приблизительно оценить, взяв среднеквадратичное значение выборки, состоящей из равноудаленных наблюдений. Кроме того, значение СКО различных форм волны , также могут быть определены без исчислении , как показано Cartwright. ^[4]

В случае RMS статистики о наличии случайного процесса , то ожидаемое значение используется вместо среднего значения.

Распространенные формы волны [ править ]

Синусоидальная , квадратная , треугольная и пилообразная формы сигналов.

Прямоугольная импульсная волна с коэффициентом заполнения D, соотношением длительности импульса ( ) и периода (T); показано здесь с a = 1.

{\ Displaystyle \ тау}

График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах напряжения (PP).

Если форма волны является чистой синусоидальной волной , отношения между амплитудами (размах, пик) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любой непрерывной периодической волны. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоиды с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:

От пика до пика

=2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.

Для других сигналов отношения не такие же, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

От пика до пика

=2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.

Форма волны	Переменные и операторы	RMS
ОКРУГ КОЛУМБИЯ	$y=A_{0}\,$	$A_{0}\,$
Синусоидальная волна	$y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,$	${\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}$
Квадратная волна	$y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}$	$A_{1}\,$
Прямоугольная волна со смещением постоянного тока	$y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}$	${\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,$
Модифицированная синусоида	$y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}$	${\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}$
Треугольная волна	$y=\left\|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right\|$	$A_{1} \over {\sqrt {3}}$
Пилообразная волна	$y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,$	$A_{1} \over {\sqrt {3}}$
Пульсовая волна	$y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}$	$A_{1}{\sqrt {D}}$
Междуфазное напряжение	$y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,$	$A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}$
куда: y - смещение, т время, f - частота, A _i - амплитуда (пиковое значение), D - рабочий цикл или доля периода времени (1 / f ), который был проведен на высоком уровне, гидроразрыва ( г ) является дробной частью из г .

В комбинациях сигналов [ править ]

Формы сигналов, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов ортогональны (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала на другой равно нулю. для всех пар, кроме самого времени сигнала). ^[5]

{\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Использует [ редактировать ]

В электротехнике [ править ]

Напряжение[ редактировать ]

Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является: ^[6]

{\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}

где относится к постоянному току или средней составляющей сигнала, а - переменная составляющая сигнала. ${\text{RMS}}_{\text{DC}}$ ${\text{RMS}}_{\text{AC}}$

Средняя электрическая мощность[ редактировать ]

Инженеры - электрики часто необходимо знать мощность , P , рассеиваемой на электрическое сопротивление , R . Это легко сделать расчет , когда существует постоянный ток , I , через сопротивление. Для нагрузки R Ом мощность определяется просто как:

P=I^{2}R.

Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией, I ( t ), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенная мощность) изменяется во времени. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все же имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:

{\begin{aligned}P_{av}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{av}&&{\text{where }}\left(\cdots \right)_{av}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{av}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}

Таким образом, среднеквадратичное значение I _RMS функции I ( t ) - это постоянный ток, который дает такое же рассеивание мощности, как и усредненное по времени рассеивание мощности тока I ( t ).

Среднюю мощность также можно найти, используя тот же метод, что и в случае изменяющегося во времени напряжения , V ( t ), со среднеквадратичным значением V _RMS ,

P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.

Это уравнение можно использовать для любой периодической формы волны , такой как синусоидальная или пилообразная форма волны , что позволяет рассчитать среднюю мощность, подаваемую на заданную нагрузку.

Получив квадратный корень из обоих этих уравнений и умножив их, получим степень:

P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.

Оба значения зависят от пропорциональности напряжения и тока (т. Е. Нагрузка R является чисто резистивной). Реактивные нагрузки (то есть нагрузки, способные не только рассеивать, но и накапливать энергию) обсуждаются в разделе «Мощность переменного тока» .

В общем случае переменного тока, когда I ( t ) является синусоидальным током, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I _p определяется как пиковый ток, тогда:

I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},

где t - время, а ω - угловая частота ( ω = 2 $π$ / T , где T - период волны).

Поскольку I _p - положительная постоянная:

I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.

Использование тригонометрического тождества для устранения возведения в квадрат тригонометрической функции:

{\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}

но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), синусоидальные члены будут сокращаться, оставляя:

I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.

Подобный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжения:

V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},

где I _P представляет пиковый ток, а V _P представляет собой пиковое напряжение.

Из-за их полезности при расчетах мощности перечисленные напряжения для розеток (например, 120 В в США или 230 В в Европе) почти всегда указываются в среднеквадратических значениях, а не в пиковых значениях. Пиковые значения могут быть рассчитаны на основе среднеквадратичных значений по приведенной выше формуле, которая подразумевает V _P = V _RMS × √ 2 , предполагая, что источником является чистая синусоида. Таким образом, пиковое значение сетевого напряжения в США составляет около 120 × √ 2., или около 170 вольт. Размах напряжения, увеличенный вдвое, составляет около 340 вольт. Аналогичный расчет показывает, что пиковое напряжение сети в Европе составляет около 325 вольт, а максимальное напряжение сети - около 650 вольт.

Величины RMS, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампера в долгосрочной перспективе.

Термин « среднеквадратичная мощность» иногда ошибочно используется в аудиоиндустрии как синоним средней мощности или средней мощности (она пропорциональна квадрату действующего напряжения или среднеквадратичного тока в резистивной нагрузке). Для обсуждения измерений мощности звука и их недостатков см. Мощность звука .

Скорость [ править ]

В физике из газовых молекул, то среднеквадратическое скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа рассчитывается по следующему уравнению:

v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}

где R представляет собой газовую постоянную , 8,314 Дж / (моль · К), T - температура газа в кельвинах , а M - молярная масса газа в килограммах на моль. В физике скорость определяется как скалярная величина скорости. Для неподвижного газа средняя скорость его молекул может составлять порядка тысяч км / ч, даже если средняя скорость его молекул равна нулю.

Ошибка [ редактировать ]

Когда два набора данных - например, один набор из теоретического прогноза, а другой из фактического измерения какой-либо физической переменной, например, - сравниваются, RMS парных разностей двух наборов данных может служить мерой того, насколько велика в среднем ошибка от 0. Среднее значение абсолютных значений парных различий может быть полезным показателем изменчивости различий. Однако среднеквадратичное значение различий обычно является предпочтительной мерой, вероятно, из-за математических соглашений и совместимости с другими формулами.

В частотной области [ править ]

RMS можно вычислить в частотной области, используя теорему Парсеваля . Для дискретизированного сигнала , где - период дискретизации, $x[n]=x(t=nT)$ $T$

\sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},

где и N - размер выборки, то есть количество наблюдений в выборке и коэффициенты БПФ. $X[m]=\operatorname {FFT} \{x[n]\}$

В этом случае RMS, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:

{\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.

Связь с другой статистикой [ править ]

Геометрическое доказательство без слов, что max ( a , b ) > среднее квадратичное или среднеквадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > геометрическое среднее ( GM ) > гармоническое среднее ( HM ) > min ( a , b ) двух положительных чисел а и б ^[7]

Если это среднее арифметическое , и это стандартное отклонение из популяции или формы волны , то: ^[8] ${\bar {x}}$ $\sigma _{x}$

x_{\text{rms}}^{2}={\overline {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}.

Отсюда ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает "ошибку" / квадратное отклонение.

Физики часто используют термин среднеквадратичное отклонение как синоним стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднеквадратичного отклонения сигнала от заданной базовой линии или соответствия. ^[9]^[10] Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала "только переменный ток". Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала от среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть RMS (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).

См. Также [ править ]

Среднее выпрямленное значение (ARV)
Центральный момент
Среднее геометрическое
L2 норма
Наименьших квадратов
Список математических символов
Среднеквадратичное смещение
Конвертер True RMS

Ссылки [ править ]

^ а б Физический словарь (6 изд.) . Издательство Оксфордского университета. 2009. ISBN. 9780199233991.
^ Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще . Международное высшее образование Macmillan. п. 185. ISBN 9781349004874. Дата обращения 5 июля 2020 .
^ Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи . Рутледж. п. 48. ISBN 9781351661386. Дата обращения 5 июля 2020 .
^ Картрайт, Кеннет V (осень 2007 г.). «Определение эффективного или среднеквадратичного напряжения различных форм сигналов без исчисления» (PDF) . Технологический интерфейс . 8 (1): 20 стр.
^ Нэстасе, Адриан С. "Как получить среднеквадратичное значение импульсных и прямоугольных сигналов" . MasteringElectronicsDesign.com . Проверено 21 января 2015 года .
^ «Улучшите измерения СКЗ переменного тока с помощью цифрового мультиметра» (PDF) . Keysight . Keysight . Проверено 15 января 2019 .
^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .
^ Крис С. Бисселл; Дэвид А. Чепмен (1992). Передача цифрового сигнала (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Среднеквадратичный" . MathWorld .
^ "ROOT, TH1: GetRMS" .

Внешние ссылки [ править ]

Причина того, почему RMS является неправильным в применении к мощности звука
Java-апплет для изучения RMS

[dicphys-1] а б Физический словарь (6 изд.) . Издательство Оксфордского университета. 2009. ISBN. 9780199233991.

[2] Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще . Международное высшее образование Macmillan. п. 185. ISBN 9781349004874. Дата обращения 5 июля 2020 .

[3] Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи . Рутледж. п. 48. ISBN 9781351661386. Дата обращения 5 июля 2020 .

[4] Картрайт, Кеннет V (осень 2007 г.). «Определение эффективного или среднеквадратичного напряжения различных форм сигналов без исчисления» (PDF) . Технологический интерфейс . 8 (1): 20 стр.

[5] Нэстасе, Адриан С. "Как получить среднеквадратичное значение импульсных и прямоугольных сигналов" . MasteringElectronicsDesign.com . Проверено 21 января 2015 года .

[6] «Улучшите измерения СКЗ переменного тока с помощью цифрового мультиметра» (PDF) . Keysight . Keysight . Проверено 15 января 2019 .

[7] Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .

[8] Крис С. Бисселл; Дэвид А. Чепмен (1992). Передача цифрового сигнала (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.

[9] Вайсштейн, Эрик В. "Среднеквадратичный" . MathWorld .

[10] "ROOT, TH1: GetRMS" .

[1]