Обобщенное среднее

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Общее среднее»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , обобщенные средства (или средняя мощности , или Гельдеровский средние ) ^[1] представляют собой семейство функций для объединения множества чисел, которые включают в себя в качестве специальных случаев Пифагорейских средств ( арифметические , геометрические и гармонические средства ).

Определение [ править ]

Если p - ненулевое действительное число и являются положительными действительными числами, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем p этих положительных действительных чисел равно: ^[2]${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$

${\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

(См. P -norm ). Для p = 0 мы устанавливаем его равным среднему геометрическому (который является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как показано ниже):

${\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}$

Кроме того, для последовательности положительных весов w _i с суммой мы определяем средневзвешенное значение мощности как:${\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {i} w_ {i} = 1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ { i} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ конец {выровнено}}}$

Невзвешенные средние соответствуют установке всех w _i = 1 / n .

Особые случаи [ править ]

Визуальное изображение некоторых из указанных случаев для n = 2 с a = x ₁ = M _∞ и b = x ₂ = M _−∞ :

  гармоническое среднее, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  среднее геометрическое, G = M ₀ ( a , b )

  среднее арифметическое, A = M ₁ ( a , b )

  среднее квадратичное, Q = M ₂ ( a , b )

Несколько конкретных значений yield. Особые случаи с собственными именами: ^[3]${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ { n}) = \ min \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}$	минимум
${\ displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + \ dots + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}$	гармоническое среднее
${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$	среднее геометрическое
${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$	среднее арифметическое
${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$	среднеквадратичное значение или среднее квадратичное [4] [5]
${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$	кубическое среднее
${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	максимум

Доказательство (среднее геометрическое)${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

Мы можем переписать определение M p, используя экспоненциальную функцию ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$ В пределе p → 0 мы можем применить правило Лопиталя к аргументу экспоненциальной функции. Дифференцируя числитель и знаменатель по p , имеем ${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}}$ По непрерывности экспоненциальной функции мы можем снова подставить в указанное выше соотношение, чтобы получить ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ по желанию. [2]

Доказательство и${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что . потом${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ Формула для следует из${\displaystyle M_{-\infty }}$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}.}$

Свойства [ править ]

Пусть - последовательность положительных действительных чисел и оператор перестановки, тогда выполняются следующие свойства: ^[1]${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle P}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

   Каждое обобщенное среднее всегда находится между наименьшим и наибольшим из значений x .

2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$.

   Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего значения не меняет его значения.

3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

   Как и большинство средств , обобщенное среднее является однородной функцией своих аргументов x ₁ , ..., x _n . То есть, если b - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем p чисел равно b, умноженному на обобщенное среднее чисел x ₁ ,…, x _n .${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$

4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$.

   Как и квазиарифметические средства , вычисление среднего может быть разделено на вычисления субблоков равного размера. Это позволяет использовать алгоритм «разделяй и властвуй» для вычисления средних значений , когда это желательно.

Обобщенное среднее неравенство [ править ]

В целом,

если p  <  q , то${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

и два средних значения равны тогда и только тогда, когда x ₁  =  x ₂  = ... =  x _n .

Неравенство верно для реальных значений p и q , а также для положительных и отрицательных значений бесконечности.

Это следует из того , что для всех вещественных р ,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$

что можно доказать с помощью неравенства Йенсена .

В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное неравенство среднего влечет неравенство пифагоровых средних, а также неравенство средних арифметических и геометрических .

Доказательство силы означает неравенство [ править ]

Мы докажем взвешенное неравенство степенных средств, в целях доказательства без ограничения общности предположим следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$

Доказательство для невзвешенных средних значений мощности легко получить, подставив w _i = 1 / n .

Равнозначность неравенств между средствами противоположных знаков [ править ]

Предположим, что имеется среднее значение между средними степенями с показателями p и q :

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\geq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

применяя это, тогда:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$

Возводим обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

Мы получаем неравенство для средних с показателями - p и - q , и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, тем самым доказывая, что неравенства эквивалентны, что будет использоваться в некоторых из последующих доказательств.

Среднее геометрическое [ править ]

При любом q > 0 и сумме неотрицательных весов, равных 1, выполняется неравенство

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}.}$

Доказательство следует из неравенства Дженсена с использованием вогнутости логарифма :

${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

Применяя экспоненциальную функцию к обеим сторонам и замечая, что как строго возрастающая функция она сохраняет знак неравенства, мы получаем

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

Взяв q- ю степень x _i , мы закончили неравенство с положительным q ; корпус для негативов идентичен.

Неравенство между любыми двумя силовыми средствами [ править ]

Нам нужно доказать, что для любого p < q выполняется неравенство

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

если p отрицательно, а q положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Доказательство положительных значений p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f : R ₊ → R ₊ . f - степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная:${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$

который строго положителен в области определения f , поскольку q > p , поэтому мы знаем, что f выпукло.

Используя это и неравенство Дженсена, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]{\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$

возведя обе стороны в степень 1 / q (возрастающая функция, поскольку 1 / q положительно), мы получаем неравенство, которое требовалось доказать:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q , заменив их на - q и - p соответственно.

Обобщенное f- среднее [ править ]

Степенное среднее можно обобщить до обобщенного f- среднего :

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

Это покрывает среднее геометрическое без использования предела с f ( x ) = log ( x ). Среднее значение мощности получается для f ( x ) = x ^p .

Приложения [ править ]

Обработка сигнала [ править ]

Среднее значение мощности служит нелинейным скользящим средним, которое смещается в сторону малых значений сигнала для малых значений p и подчеркивает большие значения сигналов для больших значений p . При наличии эффективной реализации подвижного среднего арифметического, называемого, smoothможно реализовать подвижное среднее значение мощности в соответствии со следующим кодом Haskell .

 powerSmooth  ::  Floating  a  =>  ([ a ]  ->  [ a ])  ->  a  ->  [ a ]  ->  [ a ]  powerSmooth  smooth  p  =  map  ( **  получатель  p )  .  гладко  .  карта  ( ** p )

• Для большого р он может служить в качестве детектора огибающей на выпрямленного сигнала.
• При малых р он может служить в качестве базового детектора на масс - спектре .

См. Также [ править ]

• Среднее арифметико-геометрическое
• Средний
• Среднее значение герона
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Лемеровское среднее - также средство, связанное с властью
• Среднеквадратичное значение
• Расстояние Минковского

Заметки [ править ]

Ссылки и дополнительная литература [ править ]

• PS Буллен: Справочник по средствам и их неравенствам . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, глава III (Силовые средства), стр. 175-265.

Внешние ссылки [ править ]

• Среднее значение мощности в MathWorld
• Примеры обобщенного среднего
• Доказательство обобщенным Mean на PlanetMath