Для бесконечно малых деформаций одного континуума тела , в котором смещение градиент (тензор 2 - го порядка) мал по сравнению с единицей, т.е., можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из (бесконечного множества возможных) тензоров деформаций, используемых в теории конечных деформаций, например тензора лагранжевых деформаций, тензор эйлеровой деформации . При такой линеаризации не учитываются нелинейные члены или члены второго порядка тензора конечных деформаций. Таким образом, мы имеем
или же
а также
или же
Эта линеаризация подразумевает, что лагранжевое описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты градиента смещения материала и компоненты градиента пространственного смещения приблизительно равны. Таким образом, мы имеем
или же
где компоненты тензора бесконечно малых деформаций , Также называемый тензор деформации Коши , линейный тензор деформации , или малый тензор деформации .
или используя другие обозначения:
Кроме того, поскольку градиент деформации можно выразить как где - тождественный тензор второго порядка, имеем
Кроме того, из общего выражения для лагранжевых и эйлеровых тензоров конечных деформаций имеем
Геометрическое происхождение
Рис. 1. Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента.
Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами от (Рис. 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 мы имеем
Для очень малых градиентов смещения, т. Е. , у нас есть
Нормальное напряжение в-направление прямоугольного элемента определяется
и зная, что , у нас есть
Точно так же нормальная деформация в -направление, и -направление, становится
Деформации сдвига инженерного , или изменение угла между двумя первоначально ортогональными материальными линиями, в этом случае линии а также , определяется как
Из геометрии рисунка 1 мы имеем
Для небольших поворотов, т. Е. а также находятся у нас есть
и, опять же, для малых градиентов смещения имеем
таким образом
Меняя местами а также а также а также , можно показать, что
Аналогично для - а также - самолеты, у нас есть
Можно видеть, что компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть затем выражены с использованием определения инженерной деформации: , в виде
Физическая интерпретация
Из теории конечных деформаций имеем
Для бесконечно малых деформаций имеем
Деление на у нас есть
При малых деформациях считаем, что , таким образом, второй член левой части становится: .
Тогда у нас есть
где , - единичный вектор в направлении , а выражение в левой части - нормальная деформация в направлении . В частном случае в направление, т.е. , у нас есть
Аналогично для а также мы можем найти нормальные штаммы а также , соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций являются нормальными деформациями в координатных направлениях.
Правила трансформации штамма
Если мы выберем ортонормированную систему координат () мы можем записать тензор в терминах компонентов по отношению к этим базовым векторам как
В матричной форме
Мы легко можем выбрать другую ортонормированную систему координат () вместо. В этом случае компоненты тензора разные, скажем
Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением
где использовалось правило суммирования Эйнштейна для повторяющихся индексов и. В матричной форме
или же
Инварианты деформации
Некоторые операции с тензором деформации дают тот же результат независимо от того, какая ортонормированная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации . Наиболее часто используемые инварианты деформации:
Что касается компонентов
Основные штаммы
Можно показать, что можно найти систему координат (), в котором компоненты тензора деформаций равны
Компоненты тензора деформаций в () системы координат называются главными деформациями, а направленияназываются направлениями основной деформации. Поскольку в этой системе координат нет компонентов деформации сдвига, основные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжения элементарного объема.
Если нам заданы компоненты тензора деформаций в произвольной ортонормированной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение по собственным значениям, определенное путем решения системы уравнений
Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без компоненты сдвига.
Объемная деформация
Дилатация (относительное изменение объема) является первым инвариантом деформации или след тензора:
Фактически, если мы рассматриваем куб с длиной ребра a , это квазикуб после деформации (изменение углов не меняет объем) с размерамии V 0 = a 3 , поэтому
поскольку мы рассматриваем малые деформации,
поэтому формула.
Реальное изменение объема (вверху) и приблизительное (внизу): зеленый рисунок показывает расчетный объем, оранжевый рисунок - неучтенный объем
В случае чистого сдвига мы видим, что объем не изменяется.
Тензор девиатора деформации
Тензор бесконечно малых деформаций , как и тензор напряжений Коши , может быть выражен как сумма двух других тензоров:
- средний тензор деформации или объемный тензор деформации или сферическая тензор деформации ,, связанные с расширением или изменением объема; а также
- девиаторный компонент, называемый тензором девиатора деформации ,, связанных с искажением.
где это средняя деформация, определяемая по формуле
Тензор девиаторной деформации может быть получен путем вычитания тензора средней деформации из тензора бесконечно малых деформаций:
Октаэдрические деформации
Позволять () - направления трех основных деформаций. Октаэдрическая плоскость является один , чьей нормальной маркой равных углов с тремя основными направлениями. Инженерная деформация сдвига на октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется выражением
где основные штаммы. [ необходима цитата ]
Нормальное напряжение на октаэдрической плоскости задаются
- [ необходима цитата ]
Эквивалентная деформация
Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса , часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. В литературе можно найти несколько определений эквивалентной деформации. Определение, которое обычно используется в литературе по пластичности является
Эта величина является работой, сопряженной с эквивалентным напряжением, определяемым как
Тензор бесконечно малых деформаций определяется как
Следовательно, градиент смещения можно выразить как
где
Количество - тензор бесконечно малого вращения . Этот тензор кососимметричен . Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты удовлетворять условию . Обратите внимание, что градиент смещения невелик, только если и тензор деформации, и тензор вращения бесконечно малы .
Осевой вектор
Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимых скалярных компонента. Эти три компонента используются для определения аксиального вектора ,, следующим образом
где - символ перестановки . В матричной форме
Осевой вектор также называется бесконечно малым вектором вращения . Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением
В индексной записи
Если а также затем материал подвергается приблизительно вращению твердого тела на величину вокруг вектора .
Связь тензора деформации и вектора вращения
Учитывая непрерывное однозначное поле смещения и соответствующий тензор бесконечно малых деформаций , имеем (см. Тензорная производная (механика сплошной среды) )
Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результата, . Следовательно
Также
Следовательно
Связь между тензором вращения и вектором вращения
Из важного тождества, касающегося ротора тензора, мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещения,
С у нас есть