В математической теории упругости , условие совместности Сен-Венана определяет соотношение между напряжением и поле смещения от
где . Барре де Сен-Венан вывел условие совместимости для произвольного симметричного тензорного поля второго ранга, которое должно иметь этот вид, теперь оно было обобщено на симметричные тензорные поля более высокого ранга на пространствах размерности.
Тензорные поля 2-го ранга
Для симметричного тензорного поля ранга 2 в n-мерном евклидовом пространстве () условие интегрируемости принимает вид обращения в нуль тензора Сен-Венана [1] определяется
Результат , который, на односвязен домен W = 0 означает , что штамм является симметричной производной некоторого векторного поля, впервые было описана Барра де Сен-Венан в 1864 году и строго доказано Beltrami в 1886. [2] Для не просто В связных областях существуют конечномерные пространства симметричных тензоров с исчезающим тензором Сен-Венана, которые не являются симметричной производной векторного поля. Ситуация аналогична когомологиям де Рама [3]
Тензор Сен-Венана тесно связан с тензором кривизны Римана . Действительно первая вариация о евклидовой метрике с возмущением в метрике точно . [4] Следовательно, количество независимых компонентов такой же как [5] в частностидля размера n. [6] Специально для, имеет только один независимый компонент, тогда как для их шесть.
В простейшей форме, конечно, компоненты следует предполагать дважды непрерывно дифференцируемым, но более поздняя работа [2] доказывает результат в гораздо более общем случае.
Связь между условием совместимости Сен-Венана и леммой Пуанкаре можно более четко понять, используя сокращенную формутензор Крёнера [5]
где - символ перестановки . Для, является симметричным тензорным полем ранга 2. Исчезновение равносильно обращению в нуль и это также показывает, что существует шесть независимых компонентов для важного случая трех измерений. Хотя здесь по-прежнему используются две производные, а не та, которая указана в лемме Пуанкаре, можно свести к проблеме, включающей первые производные, путем введения большего количества переменных, и было показано, что полученный «комплекс эластичности» эквивалентен комплексу де Рама . [7]
В дифференциальной геометрии симметризованная производная векторного поля появляется также как производная Ли метрического тензора g по векторному полю.
где индексы, следующие за точкой с запятой, указывают на ковариантное дифференцирование. Исчезновение является, таким образом, условием интегрируемости локального существования в евклидовом случае. Как отмечалось выше, это совпадает с исчезновением линеаризации тензора римановой кривизны относительно евклидовой метрики.
Обобщение на тензоры более высокого ранга
Условие совместимости Сен-Венана можно рассматривать как аналог для симметричных тензорных полей леммы Пуанкаре для кососимметричных тензорных полей ( дифференциальных форм ). Результат можно обобщить на симметричные тензорные поля более высокого ранга . [8] Пусть F - симметричное тензорное поле ранга k на открытом множестве в n-мерном евклидовом пространстве , тогда симметричная производная - это тензорное поле ранга k + 1, определяемое формулой
где мы используем классическое обозначение, что индексы после запятой указывают на дифференциацию, а группы индексов, заключенные в скобки, указывают на симметризацию по этим индексам. Тензор Сен-Венана симметричного тензорного поля ранга k определяется
с участием
О односвязной области в евклидовом пространстве подразумевает, что для некоторого симметричного тензорного поля ранга k-1 .
Рекомендации
- ^ Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные проблемы математической теории упругости. Лейден: Noordhoff Intern. Опубл., 1975.
- ^ a b C. Амруш, П. Г. Сиарле , Л. Грейти, С. Кесаван, Об условиях совместимости Сен-Венана и лемме Пуанкаре, CR Acad. Sci. Париж, сер. I, 342 (2006), 887-891. DOI : 10.1016 / j.crma.2006.03.026
- ^ Джузеппе Геймонат, Франсуаза Красуки, разложение Ходжа для симметричных матричных полей и комплекс упругости в липшицевых областях, СООБЩЕНИЯ ПО ЧИСТОМУ И ПРИКЛАДНОМУ АНАЛИЗУ, Том 8, номер 1, январь 2009 г., стр. 295–309 doi : 10.3934 / cpaa.2009.8. 295
- ^ Philippe G. Ciarlet, Cristinel Mardare, Ming Shen, Восстановление поля смещения из его линеаризованного поля тензора деформации в криволинейных координатах, CR Acad. Sci. Париж, сер. I 344 (2007) 535–540
- ^ а б Д.В. Георгиецкий, Б.Е. Победря, Число независимых уравнений совместимости в механике деформируемого твердого тела, Журнал прикладной математики и механики, 68 (2004) 941-946
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Riemann Tensor. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html
- ^ М. Иствуд, Комплекс из линейной упругости, Rendiconti del circolo mathematico di Palermo, Ser II Suppl 63 (2000), стр 23-29
- ^ В.А. Шарафутдинов, Интегральная геометрия тензорных полей, ВСП 1994, ISBN 90-6764-165-0 . Глава 2. Онлайн-версия