Бесконечно малый

Бесконечно малые (ε) и бесконечные (ω) на гипервереальной числовой прямой (ε = 1 / ω)

В математике , бесконечно малые или числа бесконечно малых являются величинами , которые находятся ближе к нулю , чем любой стандартный вещественным числом , но не равны нулю. Они не существуют в стандартной действительной системе счисления, но существуют во многих других системах счисления, таких как сюрреалистические числа и гиперреальные числа , которые можно рассматривать как действительные числа, дополненные системой бесконечно малых величин, а также бесконечные числа. величины, которые являются обратными бесконечно малым.

Они были широко введены в развитие исчисления , где производная первоначально рассматривалась как отношение двух бесконечно малых величин. Это определение, как и большая часть математики того времени, не было формализовано совершенно строго. В результате последующие формальные трактовки исчисления имели тенденцию отказываться от точки зрения бесконечно малых в пользу пределов , которые могут быть выполнены с использованием стандартных вещественных чисел.

Бесконечно малые вновь обрели популярность в 20-м веке с развитием Абрахамом Робинсоном нестандартного анализа и гиперреалистических чисел , которые показали, что формальная трактовка исчисления бесконечно малых возможна после долгих споров по этой теме на протяжении веков математики. После этого были разработаны сюрреалистические числа , тесно связанная формализация бесконечных и бесконечно малых чисел, которая включает в себя как гиперреальные числа, так и порядковые числа , и которое является самым большим упорядоченным полем .

Идея использования бесконечно малых величин заключалась в том, что объекты все же могли сохранять определенные специфические свойства, такие как угол или наклон , даже если эти объекты были бесконечно малыми. ^[1] Слово инфинитезимальная происходит от 17-го века Современные Латинской чеканки infinitesimus , которая первоначально относилась к « бесконечности - й » элемент в последовательности. Бесконечно малые величины являются основным ингредиентом процедур исчисления бесконечно малых, разработанных Лейбницем , включая закон непрерывности и трансцендентальный закон однородности.. В обычном языке бесконечно малый объект - это объект, который меньше любого возможного измерения, но не равен нулю по размеру - или настолько мал, что его нельзя отличить от нуля никакими доступными средствами. Следовательно, при использовании в качестве прилагательного в математике «бесконечно малый» означает «бесконечно малый» или меньший, чем любое стандартное действительное число. Чтобы придать этому смысл, бесконечно малые числа часто сравнивают с другими бесконечно малыми величинами аналогичного размера (как в производной ). Бесконечно много бесконечно малых суммируются, чтобы получить интеграл .

Концепция бесконечно малых величин была впервые введена около 1670 года Николаусом Меркатором или Готфридом Вильгельмом Лейбницем . ^[2] Архимед использовал то, что в конечном итоге стало известно как метод неделимых, в своей работе «Метод механических теорем» для поиска площадей областей и объемов твердых тел. ^[3] В своих официально опубликованных трактатах Архимед решил ту же проблему, используя метод исчерпания . В 15 веке были работы Николая Кузанского , получившие дальнейшее развитие в 17 веке Иоганном Кеплером., в частности, вычисление площади круга путем представления последнего в виде бесконечного многоугольника. Работа Саймона Стевина по десятичному представлению всех чисел в 16 веке подготовила почву для реального континуума. Метод неделимых, предложенный Бонавентурой Кавальери, привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых относился к геометрическим фигурам как составным из сущностей коразмерности 1. Бесконечно малые объекты Джона Уоллиса отличались от неделимых тем, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки того же размера, что и фигура, что подготавливало почву для общих методы интегрального исчисления. Он использовал бесконечно малую величину, обозначенную 1 / ∞ в расчетах площадей.

Использование бесконечно малых чисел Лейбницем основывалось на эвристических принципах, таких как закон непрерывности: то, что успешно для конечных чисел, также успешно и для бесконечных чисел, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, который определяет процедуры для замены выражений, содержащих не присваиваемые величины, выражениями, включающими только присваиваемые. В 18 веке математики, такие как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж, регулярно использовали бесконечно малые величины . Огюстен-Луи Коши использовал бесконечно малые величины как при определении непрерывности в своем Cours d'Analyse , так и при определении ранней формы дельта-функции Дирака.. Когда Кантор и Дедекинд разрабатывали более абстрактные версии континуума Стевена, Поль дю Буа-Реймон написал серию статей о бесконечно обогащенных континуумах, основанных на темпах роста функций. Работа Дюбуа-Реймона вдохновила и Эмиля Бореля, и Торальфа Сколема . Борель явно связал работу Дюбуа-Реймона с работой Коши о темпах роста бесконечно малых величин. Сколем разработал первые нестандартные модели арифметики в 1934 году. Математическая реализация как закона непрерывности, так и бесконечно малых величин была достигнута Абрахамом Робинсоном в 1961 году, который разработал нестандартный анализ на основе более ранней работы Эдвина Хьюитта в 1948 году и Ежи Лось.в 1955 году. Гиперреалы реализуют бесконечно обогащенный континуум, а принцип переноса реализует закон непрерывности Лейбница. Стандартная функция часть реализует Ферма adequality .

Владимир Арнольд писал в 1990 году:

В настоящее время при обучении анализу не очень популярно говорить о бесконечно малых величинах. Следовательно, современные студенты не в полной мере владеют этим языком. Тем не менее, владеть им по-прежнему необходимо. ^[4]

История бесконечно малого [ править ]

Идея бесконечно малых величин обсуждалась в элейской школе . В греческий математик Архимед (с 287 г. до н.э. -.. С 212 г. до н.э.), в Метод механических теорем , был первым , чтобы предложить логически строгое определение бесконечно малых. ^[5] Его свойство Архимеда определяет число x как бесконечное, если оно удовлетворяет условиям | х |> 1, | х |> 1 + 1, | x |> 1 + 1 + 1, ..., и бесконечно малым, если x ≠ 0 и аналогичный набор условий выполняется для xи обратные положительные целые числа. Система счисления называется архимедовой, если она не содержит бесконечных или бесконечно малых членов.

Английский математик Джон Уоллис ввел выражение 1 / ∞ в своей книге 1655 года « Трактат о конических сечениях» . Символ, который обозначает обратную или обратную величину  ∞ , является символическим представлением математической концепции бесконечно малого. В своем « Трактате о конических сечениях» Уоллис также обсуждает концепцию связи между введенным им символическим представлением бесконечно малой 1 / ∞ и концепцией бесконечности, для которой он ввел символ ∞. Концепция предлагает мысленный эксперимент по добавлению бесконечного числа параллелограммов.бесконечно малой ширины, чтобы сформировать конечную площадь. Эта концепция была предшественницей современного метода интегрирования, используемого в интегральном исчислении . Концептуальные истоки концепции бесконечно малого 1 / ∞ можно проследить еще со времен греческого философа Зенона Элейского , чей парадокс дихотомии Зенона был первой математической концепцией, рассматривавшей связь между конечным интервалом и интервалом, приближающимся к интервалу бесконечно малый интервал.

Бесконечно малые были предметом политических и религиозных споров в Европе 17-го века, включая запрет на бесконечно малые числа, изданный клериками в Риме в 1632 году ^[6].

До изобретения исчисления математики смогли рассчитать касательные с помощью Пьера де Ферма «метод s из adequality и Рене Декарт » методу нормалей . Среди ученых ведутся споры о том, был ли этот метод бесконечно малым или алгебраическим по своей природе. Когда Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление , они использовали бесконечно малые величины, флюксии Ньютона и дифференциал Лейбница . Использование бесконечно малых величин подверглось критике как неправильное епископом Беркли в его работе «Аналитик» . ^[7]Математики, ученые и инженеры продолжали использовать бесконечно малые величины для получения правильных результатов. Во второй половине девятнадцатого века исчисление было переформулировано Огюстен-Луи Коши , Бернаром Больцано , Карлом Вейерштрассом , Кантором , Дедекиндом и другими с использованием (ε, δ) -определения теории пределов и множеств . В то время как последователи Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса стремились избавить анализ от бесконечно малых величин, а их философские союзники, такие как Бертран Рассел и Рудольф Карнап, заявляли, что бесконечно малые являются псевдоконцепциями , Герман Коэни его Марбург школа в неокантианстве стремилась разработать рабочую логику инфинитезималей. ^[8] Математическое исследование систем, содержащих бесконечно малые величины, продолжалось в работах Леви-Чивиты , Джузеппе Веронезе , Поля дю Буа-Реймона и других на протяжении конца девятнадцатого и двадцатого веков, как это задокументировано Филипом Эрлихом (2006). В 20 веке было обнаружено, что бесконечно малые числа могут служить основой для исчисления и анализа (см. Гиперреальные числа ).

Свойства первого порядка [ править ]

Расширяя действительные числа, чтобы включить бесконечные и бесконечно малые величины, обычно хотят быть как можно более консервативными, не меняя ни одного из их элементарных свойств. Это гарантирует, что по-прежнему доступно как можно больше знакомых результатов. Обычно элементарный означает, что количественная оценка не проводится по множествам , а только по элементам. Это ограничение позволяет утверждать форму «для любого числа x ...». Например, аксиома, которая утверждает, что «для любого числа  x , x  + 0 =  x » все еще применима. То же самое верно и для количественной оценки по нескольким числам, например, «для любых чисел  x и y , xy  = yx . "Однако утверждения формы" для любого набора  S  чисел ... "не могут быть перенесены. Логика с этим ограничением количественной оценки называется логикой первого порядка .

Результирующая расширенная система счисления не может согласовываться с действительными числами по всем свойствам, которые могут быть выражены количественной оценкой по множествам, потому что цель состоит в построении неархимедовой системы, а принцип Архимеда может быть выражен количественной оценкой по множествам. Можно консервативно расширить любую теорию, включая действительные числа, включая теорию множеств, чтобы включить бесконечно малые числа, просто добавив счетно бесконечный список аксиом, утверждающих, что число меньше 1/2, 1/3, 1/4 и т. Д. Точно так же нельзя ожидать переноса свойства полноты , потому что вещественные числа являются уникальным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма.

Мы можем выделить три уровня, на которых неархимедова система счисления может иметь свойства первого порядка, совместимые со свойствами действительных чисел:

1. Упорядоченное поле удовлетворяет все обычные аксиомы реальной системы чисел , которые могут быть указаны в логике первого порядка. Например, имеет место аксиома коммутативности x  +  y  =  y  +  x .
2. Реальное замкнутое поле имеет все свойства первого порядка реальной системы чисел, независимо от того, являются ли они , как правило , принимается как аксиома, для заявлений , связанных с основными упорядоченного поля отношений +, ×, и ≤. Это более сильное условие, чем подчинение аксиомам упорядоченного поля. Более конкретно, один включает дополнительные свойства первого порядка, такие как существование корня для каждого полинома нечетной степени. Например, у каждого числа должен быть кубический корень .
3. Система может обладать всеми свойствами первого порядка действительной системы счисления для утверждений, включающих любые отношения (независимо от того, могут ли эти отношения быть выражены с помощью +, × и ≤). Например, должна быть синусоидальная функция, которая хорошо определена для бесконечных входов; то же самое верно для любой реальной функции.

Системы категории 1, находящиеся на слабом конце спектра, относительно легко построить, но они не позволяют полностью рассмотреть классический анализ с использованием бесконечно малых величин в духе Ньютона и Лейбница. Например, трансцендентные функции определены в терминах бесконечных ограничивающих процессов, и поэтому обычно нет способа определить их в логике первого порядка. Повышая аналитическую силу системы за счет перехода к категориям 2 и 3, мы обнаруживаем, что характер трактовки имеет тенденцию становиться менее конструктивным, и становится все труднее сказать что-либо конкретное об иерархической структуре бесконечностей и бесконечно малых.

Системы счисления, включающие бесконечно малые [ править ]

Формальная серия [ править ]

Серия Лорана [ править ]

Примером из категории 1 выше является поле ряда Лорана с конечным числом членов с отрицательной степенью. Например, ряд Лорана, состоящий только из постоянного члена 1, отождествляется с действительным числом 1, а ряд только с линейным членом  x считается простейшим бесконечно малым, из которого строятся другие бесконечно малые числа. Используется словарный порядок, что эквивалентно рассмотрению более высоких степеней  x как незначительных по сравнению с более низкими степенями. Дэвид О. Толл ^[9] называет эту систему сверхреальными числами, не путать со сверхреальными числами.система Долин и Вудин. Поскольку ряд Тейлора, вычисленный с рядом Лорана в качестве аргумента, по-прежнему является рядом Лорана, систему можно использовать для вычисления трансцендентных функций, если они являются аналитическими. Эти бесконечно малые числа имеют другие свойства первого порядка, чем действительные числа, потому что, например, базовое бесконечно малое  x не имеет квадратного корня.

Поле Леви-Чивита [ править ]

Поле Леви-Чивиты похоже на ряд Лорана, но алгебраически замкнуто. Например, базовое бесконечно малое x имеет квадратный корень. Это поле достаточно богато, чтобы позволить провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, что и действительные числа могут быть представлены с плавающей запятой. ^[10]

Transseries [ править ]

Поле транссерий больше, чем поле Леви-Чивита. ^[11] Пример транссерии:

${\ displaystyle e ^ {\ sqrt {\ ln \ ln x}} + \ ln \ ln x + \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} e ^ {x} x ^ {- j},}$

где для целей упорядочивания x считается бесконечным.

Сюрреалистические числа [ править ]

Сюрреалистические числа Конвея попадают в категорию 2. Это система, разработанная так, чтобы быть максимально насыщенной числами разного размера, но не обязательно для удобства проведения анализа. Некоторые трансцендентные функции могут быть перенесены на сурреальные числа, включая логарифмы и экспоненты, но большинство, например, синусоидальная функция, не может ^{[ цитата необходима ]} . Существование какого-либо конкретного сюрреалистического числа, даже такого, которое имеет прямое соответствие в действительных числах, не известно априори и должно быть доказано. ^{[ требуется разъяснение ]}

Hyperreals [ править ]

Самый распространенный метод работы с бесконечно малыми числами - гиперреальные числа, разработанный Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Они попадают в категорию 3 выше, так как были спроектированы таким образом, чтобы весь классический анализ можно было перенести из реального. Это свойство способности переносить все отношения естественным образом известно как принцип переноса , доказанный Ежи Лосем в 1955 году. Например, трансцендентная функция sin имеет естественный аналог * sin, который принимает гиперреальный вход и дает гиперреальный output, и аналогично у набора натуральных чисел есть натуральный аналог , который содержит как конечные, так и бесконечные целые числа. Утверждение, такое как, переносится на гиперреалы как .${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle ^ {*} \ mathbb {N}}$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$

Superreals [ править ]

Супердействительное число система Долин и Woodin является обобщением hyperreals. Это отличается от сверхреальной системы, определенной Дэвидом Толлом .

Двойные числа [ править ]

В линейной алгебре , то дуальные числа расширяют действительные числа, присоединяя одно бесконечно малого, новый элемент ε со свойством & epsi ; ² = 0 (то есть, ε является нильпотентным ). Каждое двойственное число имеет вид z = a + b ε, где a и b - однозначно определенные действительные числа.

Одно из применений двойных чисел - автоматическое дифференцирование . Это приложение можно обобщить на многочлены от n переменных, используя внешнюю алгебру n-мерного векторного пространства.

Гладкий анализ бесконечно малых [ править ]

Синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий инфинитезимальный анализ имеют корни в теории категорий . Такой подход отходит от классической логики , используемые в обычных математике, отрицая общую применимость закона исключенного среднего - то есть, не ( в ≠ б ) не имеет в виду а = Ь . Nilsquare или нильпотентное бесконечно мала , то может быть определена. Это число x, где x ² = 0 истинно, но при этом x = 0 не обязательно должно быть истинным. Поскольку фоновая логикаинтуиционистской логике не сразу понятно, как классифицировать эту систему относительно классов 1, 2 и 3. Сначала необходимо разработать интуиционистские аналоги этих классов.

Бесконечно малые дельта-функции [ править ]

Коши использовал бесконечно малую величину, чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака, которой удовлетворял в ряде статей в 1827 году, см. Laugwitz (1989). Коши определил бесконечно малое в 1821 году (Cours d'Analyse) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазара Карно .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta _{\alpha }}$${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Современные теоретико-множественные подходы позволяют определять бесконечно малые числа с помощью сверхстепенной конструкции, где нулевая последовательность становится бесконечно малой в смысле класса эквивалентности по модулю отношения, определенного в терминах подходящего ультрафильтра . Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте бесконечно обогащенного континуума, обеспечиваемого гиперреалами .

Логические свойства [ править ]

Метод построения бесконечно малых величин, используемых в нестандартном анализе, зависит от модели и используемого набора аксиом . Мы рассматриваем здесь системы, в которых можно показать существование бесконечно малых величин.

В 1936 г. Мальцев доказал теорему компактности . Эта теорема является фундаментальной для существования бесконечно малых величин, поскольку доказывает, что их можно формализовать. Следствием этой теоремы является то, что если существует система счисления, в которой верно, что для любого положительного целого числа n существует такое положительное число x , что 0 <  x  <1 / n , то существует расширение этой системы счисления в что верно, что существует положительное число x такое, что для любого положительного целого числа n мы имеем 0 <  x  <1 / n. Возможность переключения «на любой» и «есть» имеет решающее значение. Первое утверждение верно для действительных чисел, как указано в теории множеств ZFC  : для любого положительного целого числа n можно найти действительное число от 1 / n до нуля, но это действительное число зависит от n . Здесь сначала выбирают n , затем находят соответствующий x . Во втором выражении утверждение говорит, что есть x (по крайней мере, один), выбранный первым, который находится между 0 и 1 / n для любого n . В этом случае x бесконечно мал. Это неверно для действительных чисел ( R) предоставлено ZFC. Тем не менее теорема доказывает, что существует модель (система счисления), в которой это верно. Возникает вопрос: что это за модель? Каковы его свойства? Есть только одна такая модель?

На самом деле существует много способов построить такой одномерный линейно упорядоченный набор чисел, но, по сути, есть два разных подхода:

1) Расширьте систему счисления, чтобы она содержала больше чисел, чем действительных чисел.

2) Расширить аксиомы (или расширить язык) так, чтобы различие между бесконечно малыми и не бесконечно малыми можно было проводить в самих действительных числах.

В 1960 году Абрахам Робинсон дал ответ, следуя первому подходу. Расширенный набор называется гиперреальным и содержит числа, меньшие по модулю, чем любое положительное действительное число. Этот метод можно считать относительно сложным, но он действительно доказывает, что бесконечно малые числа существуют во вселенной теории множеств ZFC. Действительные числа называются стандартными числами, а новые нереальные гиперреальные числа называются нестандартными .

В 1977 году Эдвард Нельсон дал ответ, следуя второму подходу. Расширенные аксиомы - это IST, что означает либо теорию внутренних множеств, либо инициалы трех дополнительных аксиом: идеализация, стандартизация, перенос. В этой системе мы считаем, что язык расширен таким образом, что мы можем выражать факты о бесконечно малых. Действительные числа бывают стандартными или нестандартными. Бесконечно малое - это нестандартное действительное число, которое по абсолютной величине меньше любого положительного стандартного действительного числа.

В 2006 году Карел Хрбачек разработал расширение подхода Нельсона, в котором действительные числа стратифицированы на (бесконечно) многих уровнях; т.е. на самом грубом уровне нет ни бесконечно малых, ни неограниченных чисел. Бесконечно малые находятся на более тонком уровне, и есть также бесконечно малые по отношению к этому новому уровню и так далее.

Бесконечно малые в обучении [ править ]

Исчисление учебники на основе инфинитезималей включают классическую Исчисление Made Easy по Silvanus П. Томпсон (с девизом «Что один дурак может сделать еще одну банку» ^[12] ) и немецкий текст Mathematik мех Mittlere Technische Fachschulen дер Maschinenindustrie Р. Neuendorff. ^[13] Новаторские работы, основанные на бесконечно малых величинах Авраама Робинсона , включают тексты Строяна (датируемые 1972 годом) и Говарда Джерома Кейслера ( Элементарное исчисление: бесконечно малый подход ). Студенты легко понимают интуитивное понятие бесконечно малой разницы 1- " 0,999 ...", где" 0,999 ... "отличается от своего стандартного значения как действительное число 1 и интерпретируется как бесконечное завершающее расширенное десятичное число, которое строго меньше 1. ^{[14] [15]}

Другой текст по элементарному исчислению, который использует теорию бесконечно малых, разработанную Робинсоном, - это исчисление бесконечно малых величин Генле и Клейнберга, первоначально опубликованный в 1979 году. ^[16] Авторы вводят язык логики первого порядка и демонстрируют построение модели первого порядка гиперреальные числа. Текст представляет собой введение в основы интегрального и дифференциального исчисления в одном измерении, включая последовательности и ряды функций. В приложении они также рассматривают расширение своей модели до гипергипер- вещественных чисел и демонстрируют некоторые приложения для расширенной модели.

Функции, стремящиеся к нулю [ править ]

В родственном, но несколько ином смысле, который произошел от первоначального определения «бесконечно малой» как бесконечно малой величины, этот термин также использовался для обозначения функции, стремящейся к нулю. Точнее, Продвинутое исчисление Лумиса и Штернберга определяет функциональный класс бесконечно малых как подмножество функций между нормированными векторными пространствами по формуле${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$,

а также два связанных класса (см. обозначение Big-O )${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$, и

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$. ^[17]

Набор включений в целом в силе. То , что включения собственно продемонстрировано вещественных функций вещественной переменной , и : ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$${\displaystyle g:x\mapsto x}$${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$но и .${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Как приложение этих определений, отображение между нормированными векторными пространствами определяется как дифференцируемое в, если существует [то есть ограниченное линейное отображение ] такое, что${\displaystyle F:V\to W}$${\displaystyle \alpha \in V}$${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V\to W}$

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

в районе . Если такая карта существует, она уникальна; эта карта называется дифференциалом и обозначается , ^[18] , совпадающий с традиционными обозначениями для классического (хотя логически ущербного) понятия дифференциала как бесконечно малый «кусок» из F . Это определение представляет собой обобщение обычного определения дифференцируемости векторных функций (открытых подмножеств) евклидовых пространств.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dF_{\alpha }}$

Массив случайных величин [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством и пусть . Массив из случайных величин называется бесконечно малой , если для каждого , мы имеем: ^[19]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

Понятие бесконечно малого массива является существенным в некоторых центральных предельных теоремах, и по монотонности оператора математического ожидания легко видеть, что любой массив, удовлетворяющий условию Линдеберга, является бесконечно малым, таким образом играя важную роль в центральной предельной теореме Линдеберга (обобщении центральной предельной теоремы ).

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]