Поверхность трансляции (дифференциальная геометрия)

Поверхность перевода: определение

В дифференциальной геометрии поверхность перевода является поверхностью , которая генерируется переводами:

• Для двух пространственных кривых с общей точкой кривая сдвигается так, что точка перемещается дальше . С помощью этой процедуры кривая создает поверхность: поверхность перевода .${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {1}}$

Если обе кривые лежат в одной плоскости, поверхность перевода плоская (часть плоскости). Этот случай обычно игнорируется.

эллипт. параболоид, парабол. цилиндр, гипербол. параболоид как трансляционная поверхность

поверхность перевода: образующие кривые - дуга синуса и дуга параболы

Сдвиг горизонтального круга по спирали

Простые примеры :

1. Правый круговой цилиндр : представляет собой окружность (или другое поперечное сечение) и представляет собой линия.${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle c_ {2}}$
2. Эллиптический параболоид может быть сгенерирован и (обе кривые парабола ).${\ Displaystyle \; z = х ^ {2} + y ^ {2} \;}$${\ Displaystyle \ c_ {1}: \; (х, 0, х ^ {2}) \}$${\ Displaystyle \ c_ {2}: \; (0, y, y ^ {2}) \}$
3. Гиперболической параболоид может быть сгенерирован (параболы) и (вниз открытой параболе).${\ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$${\ displaystyle c_ {1} :( x, 0, x ^ {2})}$${\ displaystyle c_ {2} :( 0, y, -y ^ {2})}$

Поверхности трансляции популярны в начертательной геометрии ^{[1] [2]} и архитектуре ^[3], потому что их легко моделировать.
В дифференциальной геометрии минимальные поверхности представлены поверхностями трансляции или средними хордами (см. Ниже). ^[4]

Определенные здесь поверхности перевода не следует путать с поверхностями перевода в сложной геометрии .

Параметрическое представление [ править ]

Для двух пространственных кривых и с трансляционной поверхностью можно представить: ^[5]${\ Displaystyle \ c_ {1}: \; {\ vec {x}} = \ gamma _ {1} (u) \}$${\ Displaystyle \ c_ {2}: \; {\ vec {x}} = \ gamma _ {2} (v) \}$${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$${\displaystyle \Phi }$

(TS) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

и содержит происхождение. Очевидно, это определение симметрично относительно кривых и . Поэтому обе кривые называются образующими (одна: образующими ). Любая точка поверхности содержится в сдвинутой копии и соответственно. Касательная плоскость в порождается касательными векторами образующих в этой точке, если эти векторы линейно независимы .${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle X}$

Если предварительное условие не выполняется, поверхность, определяемая (TS), может не содержать начало координат и кривые . Но в любом случае поверхность содержит смещенные копии любой из кривых в виде параметрических кривых и соответственно.${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$

Эти две кривые можно использовать для создания так называемой соответствующей поверхности средней хорды . Его параметрическое представление${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

(MCS) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

Геликоид как поверхность трансляции и поверхность средней хорды [ править ]

Геликоид как трансляционная поверхность с идентичными образующими ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Геликоид как поверхность переноса: любая параметрическая кривая является сдвинутой копией фиолетовой спирали.

Геликоида является частным случаем обобщенного геликоида и линейчатой поверхности . Это пример минимальной поверхности, которую можно представить как поверхность перевода.

Геликоид с параметрическим представлением

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

имеет оборотную смену (немецкий: Ganghöhe) . Вводя новые параметры ^[6] такие, что${\displaystyle 2\pi k}$${\displaystyle \alpha ,\varphi }$

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

и положительное действительное число, мы получаем новое параметрическое представление ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

которое является параметрическим представлением поверхности трансляции с двумя идентичными (!) образующими

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$ и

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

Общая точка, используемая для диаграммы, - . (Идентичные) образующие представляют собой спирали со сдвигом поворота, которые лежат на цилиндре с уравнением . Любая параметрическая кривая является сдвинутой копией образующей (на диаграмме: фиолетовый) и содержится в правом круговом цилиндре с радиусом , который содержит ось z .${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$${\displaystyle k\pi \;,}$${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle a}$

Новое параметрическое представление представляет только те точки геликоида, которые находятся внутри цилиндра с уравнением .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$

Из нового параметрического представления можно понять, что геликоид также является поверхностью мидхорда:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$ и

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

две идентичные образующие.

На схеме: лежит на спирали и на (идентичной) спирали . Середина аккорда - .${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$

Преимущества поверхности перевода [ править ]

Архитектура

Поверхность (например, крыша) может быть изготовлена ​​с использованием приспособления для изгиба и нескольких идентичных приспособлений для изгиба . Конструировать приспособления можно без каких-либо знаний математики. При установке приспособлений следует соблюдать только правила переводческой поверхности.${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

Начертательная геометрия

Создавая параллельную проекцию поверхности трансляции, нужно 1) создать проекции двух образующих, 2) сделать изгиб кривой и 3) нарисовать с помощью этого приспособления копии кривой, соблюдая правила поверхности трансляции. Контур поверхности - это огибающая кривых, нарисованных с помощью приспособления. Эта процедура работает для ортогональных и наклонных проекций, но не для центральных проекций .${\displaystyle c_{1}}$

Дифференциальная геометрия

Для поверхности перевода с параметрическим представлением в частных производных от простых производные кривых. Следовательно, смешанные производные всегда и коэффициент от второй фундаментальной формы является тоже. Это существенное средство для демонстрации того, что (например) геликоид является минимальной поверхностью.${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0}$

Ссылки [ править ]

• G. Darboux: Leçons sur la théorie générale des Surfaces и ses Applications géométriques du Calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, reprint, 972, pp. Sects. 81–84, 218
• Георг Глезер: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik , Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X , стр. 259 
• W. Haack: Elementare Differentialgeometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , стр. 140 
• К. Леопольд: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Кольхаммер Верлаг , Штутгарт 2005, ISBN 3-17-018489-X , стр. 122 
• DJ Struik: Лекции по классической дифференциальной геометрии , Dover, перепечатка, 1988, стр. 103, 109, 184

Внешние ссылки [ править ]

• Энциклопедия математики