В физике теорема Грина находит множество приложений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, истекающей из объема, равна общему истечению, суммированному для окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при топографической съемке , теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.
Доказательство, когда D - простая область
Если D представляет собой область простого типа, граница которой состоит из кривых C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , можно продемонстрировать половину теоремы Грина.
Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области D , области типа I, где C 1 и C 3 - кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует для другой половины теоремы, когда D - область типа II, где C 2 и C 4 - кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Таким образом, объединяя эти две части, теорема доказывается для областей типа III (определенных как области, которые относятся как к типу I, так и типу II). Общий случай можно вывести из этого частного случая, разложив D на множество областей типа III.
Если можно показать, что если
( 1 )
а также
( 2 )
истинны, то теорема Грина немедленно следует для области D. Мы легко можем доказать ( 1 ) для областей типа I и ( 2 ) для областей типа II. Из этого следует теорема Грина для областей типа III.
Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа, как
где g 1 и g 2 - непрерывные функции на [ a , b ]. Вычислите двойной интеграл в ( 1 ):
( 3 )
Теперь вычислите линейный интеграл в ( 1 ). C можно переписать как объединение четырех кривых: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Для C 3 используйте параметрические уравнения: x = x , y = g 2 ( x ), a ≤ x ≤ b . потом
Интеграл по C 3 инвертируется, потому что он идет в отрицательном направлении от b к a , поскольку C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На С 2 и С 4 , х остается постоянной, значение
Следовательно,
( 4 )
Комбинируя ( 3 ) с ( 4 ), мы получаем ( 1 ) для областей типа I. Аналогичная обработка дает ( 2 ) для областей типа II. Сложив их вместе, мы получим результат для регионов III типа.
Доказательство спрямляемой жордановой кривой.
Мы собираемся доказать следующее
Теорема. Позволять- спрямляемая положительно ориентированная жорданова кривая в и разреши обозначают его внутреннюю область. Предположим, что - непрерывные функции, обладающие тем свойством, что имеет вторую частную производную в каждой точке , имеет первую частную производную в каждой точке и что функции интегрируемы по Риману над . потом
Нам потребуются следующие леммы, доказательства которых можно найти в: [3]
Лемма 1 (лемма о разложении). Предполагать является спрямляемой положительно ориентированной жордановой кривой на плоскости, и пусть быть его внутренней областью. Для каждого позитивного реального, позволять обозначим совокупность квадратов на плоскости, ограниченную прямыми , где проходит через набор целых чисел. Тогда для этого, существует разложение на конечное число неперекрывающихся подобластей таким образом, чтобы
Каждый из субрегионов, входящих в , сказать , это квадрат из .
Каждый из оставшихся субрегионов, скажем, , имеет в качестве границы спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг и части сторон некоторого квадрата из .
Каждый из приграничных регионов может быть заключен в квадрат длиной до кромки .
Если положительно ориентированная граничная кривая , тогда
Номер приграничных регионов не более , где длина .
Лемма 2. Пусть - спрямляемая кривая на плоскости и пусть - множество точек на плоскости, расстояние от которых (диапазон) самое большее . Внешнее жордановое содержание этого множества удовлетворяет.
Лемма 3. Пусть быть спрямляемой кривой в и разреши - непрерывная функция. потом
а также
находятся где колебание в диапазоне .
Теперь мы готовы доказать теорему:
Доказательство теоремы. Позволять- произвольное положительное действительное число. По преемственности, и компактность , дано , Существует так что всякий раз, когда две точки меньше чем отдельно, их изображения под меньше чем отдельно. За эторассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. У нас есть
Ставить .
Для каждого , Кривая положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно
Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не более из . Таким образом, если является объединением всех приграничных регионов, то ; следовательно, по лемме 2. Заметим, что
Это дает
Мы также можем выбрать так что правая часть последнего неравенства равна
Замечание в начале этого доказательства означает, что колебания а также в каждом приграничном районе не более . У нас есть
По лемме 1 (iii)
Комбинируя их, мы наконец получаем
для некоторых . Поскольку это верно для каждого, мы сделали.
Действительность при разных гипотезах
Гипотеза последней теоремы - не единственная, при которой формула Грина верна. Еще один распространенный набор условий:
Функции по-прежнему считаются непрерывными. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемыми по Фреше в каждой точке. Отсюда следует существование всех производных по направлениям, в частности, где, как обычно, канонический упорядоченный базис . Кроме того, нам потребуется функция быть интегрируемым по Риману над .
Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:
Теорема (Коши). Если спрямляемая жорданова кривая в и если - непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области , тогда
интеграл является комплексным контурным интегралом.
Доказательство. Мы рассматриваем комплексную плоскость как. Теперь определим быть таким, чтобы Эти функции явно непрерывны. Хорошо известно, что а также дифференцируемы по Фреше и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: .
Теперь, анализируя суммы, использованные для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что
интегралы на правой стороне являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.
Многосвязные регионы
Теорема. Позволять - положительно ориентированные спрямляемые жордановы кривые в удовлетворение
где это внутренняя область . Позволять
Предполагать а также - непрерывные функции, ограничение которых на дифференцируема по Фреше. Если функция
интегрируем по Риману над , тогда
Связь с теоремой Стокса
Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина – Стокса , когда применяется к области в-самолет.
Мы можем дополнить двумерное поле до трехмерного поля с z- компонентой, которая всегда равна 0. Напишите F для векторной функции.. Начнем с левой части теоремы Грина:
Теорема Кельвина – Стокса:
Поверхность это просто регион в плоскости , с нормальным агрегатом определено (по соглашению), чтобы иметь положительный компонент z, чтобы соответствовать определениям "положительной ориентации" для обеих теорем.
Выражение внутри интеграла принимает вид
Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина
Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о расходимости :
где дивергенция на двумерном векторном поле , а также - направленный наружу единичный вектор нормали на границе.
Чтобы в этом убедиться, считайте агрегат нормальным. в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина- вектор, касательный вдоль кривой, а кривая C - положительно ориентированная (т. е. против часовой стрелки) кривая вдоль границы, внешняя нормаль будет вектором, который указывает на 90 ° вправо от нее; один выбор был бы. Длина этого вектора равна Так
Начнем с левой части теоремы Грина:
Применяя теорему о двумерной расходимости с , получаем правую часть теоремы Грина:
Расчет площади
Теорема Грина может использоваться для вычисления площади с помощью линейного интеграла. [4] Площадь плоской области. дан кем-то
Выбирать а также такой, что , площадь определяется как
Он назван в честь Джорджа Грина , который сформулировал аналогичный результат в статье 1828 года под названием «Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой теорема Грина была указана в качестве предпоследнего предложения. Фактически, это первая печатная версия теоремы Грина в том виде, в каком она встречается в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексного переменного. [5] [6]
^Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ . Очертания Шаума (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
^Апостол, Том (1960). Математический анализ (1-е изд.). Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
^ а бСтюарт, Джеймс (1999). Исчисление (6-е изд.). Томсон, Брукс / Коул.
^ Джордж Грин, Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1828). Грин фактически не вывел форму «теоремы Грина», которая фигурирует в этой статье; скорее, он вывел форму «теоремы о расходимости», которая появляется на страницах 10–12 его « Эссе» . В 1846 году форма «теоремы Грина», которая появляется в этой статье, была впервые опубликована без доказательства в статье Огюстена Коши : A. Cauchy (1846) «Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une. Courbe fermée » (Об интегралах, которые распространяются на все точки замкнутой кривой), Comptes rendus , 23 : 251–255. (Уравнение появляется внизу страницы 254, где ( S ) обозначает линейный интеграл функции k вдоль кривой s , охватывающей площадь S. ) Доказательство теоремы было наконец представлено в 1851 году Бернхардом Риманом в его вступительном слове. диссертация: Бернхард Риман (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Основа общей теории функций переменной комплексной величины), (Геттинген, (Германия): Adalbert Rente, 1867); см. страницы 8–9.
^Кац, Виктор (2009). «22.3.3: Комплексные функции и линейные интегралы». История математики: Введение . Эддисон-Уэсли. С. 801–5. ISBN 0-321-38700-7.
дальнейшее чтение
Marsden, Jerrold E .; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа» . Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. С. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.