Формула шнурков

Формула Шнурок или алгоритм Шнурок (также известный как формула области Гаусса и в формуле землемера ^[1] ) представляет собой математический алгоритм для определения площади в виде простого многоугольника , вершины которого описываются их декартовы координаты в плоскости. ^[2] Пользователь перемножает соответствующие координаты, чтобы найти область, охватывающую многоугольник., и вычитает его из окружающего многоугольника, чтобы найти площадь многоугольника внутри. Это называется формулой шнурка из-за постоянного перемножения координат, составляющих многоугольник, как при продевании шнурков. ^[2] Его также иногда называют методом шнурка . Он применяется в геодезии и лесном хозяйстве ^[3], среди других областей.

Формула была описана Albrecht Людвиг Фридрих Meister (1724-1788) в 1769 году ^[4] и Гауссом в 1795 году ^{[ полной править ]} Это может быть проверено путем деления многоугольника в треугольники , и может быть рассмотрена , чтобы быть частный случай теоремы Грина .

Формула площади получается путем взятия каждого ребра AB и вычисления площади треугольника ABO с вершиной в исходной точке O путем взятия перекрестного произведения (которое дает площадь параллелограмма ) и деления на 2. Когда каждый оборачивается вокруг Для многоугольника эти треугольники с положительной и отрицательной областями будут перекрываться, а области между исходной точкой и многоугольником будут исключены и суммированы до 0, в то время как останется только область внутри ссылочного треугольника. Вот почему формула называется формулой геодезиста, поскольку «геодезист» стоит в начале координат; при движении против часовой стрелки положительная область добавляется при движении слева направо и отрицательная область добавляется при движении справа налево с точки зрения исходной точки. ^{[цитата необходима ]}

Формула площади также может быть применена к самоперекрывающимся полигонам, поскольку значение площади по-прежнему ясно, даже если самоперекрывающиеся полигоны обычно не просты . ^[5] Кроме того, самоперекрывающийся многоугольник может иметь несколько «интерпретаций», но формула Shoelace может использоваться, чтобы показать, что площадь многоугольника одинакова независимо от интерпретации. ^[6]

Заявление [ править ]

Формулу можно представить выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}\left|\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}\right)+x_{n}y_{1}-\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}\right)-x_{1}y_{n}\right|\\[4pt]&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\end{aligned}}}$

где

• A - площадь многоугольника,
• n - количество сторон многоугольника, а
• ( x _i ,  y _i ), i  = 1, 2, ...,  n - упорядоченные вершины (или «углы») многоугольника.

Альтернативно ^{[3] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|\\[5pt]&={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}+x_{i})(y_{i+1}-y_{i})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|\end{aligned}}}$

где x _{n +1} = x ₁ и x ₀ = x _n , а также y _{n +1} = y ₁ и y ₀ = y _n .

Если точки помечаются последовательно против часовой стрелки, то сумма указанных выше определителей положительна и знаки абсолютного значения могут быть опущены; ^[1] если они помечены по часовой стрелке, сумма определителей будет отрицательной. Это потому, что формулу можно рассматривать как частный случай теоремы Грина .

Особенно краткое изложение формулы можно дать в терминах внешней алгебры . Если - последовательные вершины многоугольника (рассматриваемые как векторы в декартовой плоскости), то${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot \left|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right|.}$

Доказательства [ править ]

Доказательство треугольника [ править ]

Зная координаты треугольника, найдите его площадь .${\displaystyle \mathbf {A} }$

Ссылаясь на рисунок, позвольте быть площадью треугольника, вершины которого задаются координатами, и нарисуйте прямоугольник минимальной площади вокруг треугольника так, чтобы его стороны были параллельны осям или . По крайней мере, одна вершина треугольника будет в углу прямоугольника. На рисунке площади трех окружающих треугольников равны и, очевидно , равны площади прямоугольника (назовем его ) за вычетом площадей трех других треугольников:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),}$${\displaystyle (x_{3},y_{3}).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} ,}$${\displaystyle \mathbf {E} .}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {R} -\mathbf {C} -\mathbf {D} -\mathbf {E} }$

При осмотре рисунка видно, что площади даны как

${\displaystyle \mathbf {R} =(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})=(x_{3}y_{1}+x_{2}y_{3})-(x_{3}y_{3}+x_{2}y_{1})}$

${\displaystyle -\mathbf {C} =-{\frac {1}{2}}(x_{3}-x_{2})(y_{2}-y_{3})={\frac {1}{2}}(-x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3})+{\frac {1}{2}}(x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2})}$

${\displaystyle -\mathbf {D} =-{\frac {1}{2}}(x_{3}-x_{1})(y_{1}-y_{3})={\frac {1}{2}}(-x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+{\frac {1}{2}}(x_{3}y_{3}+x_{1}y_{1})}$

${\displaystyle -\mathbf {E} =-{\frac {1}{2}}(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})={\frac {1}{2}}(-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2})+{\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$

Сбор сроков и перестановка урожаев

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}((x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}))}$

который можно записать как определитель

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}}$

Если координаты записывать по часовой стрелке, значение определителя будет ${\displaystyle -\mathbf {A} .}$

Переставляем по-другому

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

что является формой формулы шнурка. Эту формулу можно расширить, чтобы найти площадь любого многоугольника, поскольку простой многоугольник можно разделить на треугольники.

Зная координаты четырехугольника, найдите его площадь .${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}}$

Доказательство для четырехугольника и общего многоугольника [ править ]

Нахождение площади четырехугольника демонстрирует, как формула шнурков обобщается на любой многоугольник путем деления многоугольника на треугольники. Рассмотрим фигуру четырехугольника, координаты которого отмечены в порядке против часовой стрелки. Четырехугольник разделен на два треугольника с площадями и Используя формулу треугольника для каждого треугольника, мы получаем${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} .}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{3}y_{1}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4})}$

Поскольку оба треугольника были начерчены против часовой стрелки, обе области положительны, и мы получаем площадь четырехугольника, складывая две области. Последний положительный член и последний отрицательный член отмены с первым положительным членом и первым отрицательным сроком предоставления${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}).}$

Примеры [ править ]

Пользователь должен знать точки многоугольника на декартовой плоскости. Например, возьмем треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмите первую координату x и умножьте ее на второе значение y , затем возьмите вторую координату x, умножьте ее на третье значение y и повторите столько раз, пока это не будет сделано для всех требуемых точек. Это можно представить следующей формулой: ^[9]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

для x _i и y _i, представляющих каждую соответствующую координату. Эта формула является просто расширением приведенных выше для случая n = 3. Используя ее, можно найти, что площадь треугольника равна половине абсолютного значения 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, что равно 3. Количество переменных зависит от количества сторон многоугольника . Например, пятиугольник будет определен до x ₅ и y ₅ :

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|}$

и четырехугольник будет определен до x ₄ и y ₄ :

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|.}$

Более сложный пример [ править ]

Рассмотрим многоугольник, определяемый точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5) и (5, 6), как показано на диаграмме.

Площадь этого многоугольника:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}\,{\big |}3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3{\big |}\\[10pt]&={60 \over 2}=30.\end{aligned}}}$

Этимология [ править ]

Причина, по которой эта формула называется формулой шнурка, заключается в том, что для ее оценки используется общий метод. В этом методе используются матрицы . В качестве примера выберите треугольник с вершинами (2, 4), (3, −8) и (1, 2). Затем постройте следующую матрицу, «обойдя» треугольник и закончив его начальной точкой. ^[10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}$

Сначала нарисуйте диагональ вниз и вправо косой чертой (как показано ниже),

и умножьте два числа, соединенных каждой косой чертой, затем сложите все произведения: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделайте то же самое с косой чертой по диагонали вниз и влево (показано ниже с косой чертой вниз):

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем возьмите разность этих двух чисел: | (−6) - (8) | = 14. Уменьшение вдвое дает площадь треугольника: 7. Подобная организация чисел упрощает вспоминание и оценку формулы. Матрица со всеми прорисованными косыми чертами напоминает туфлю со шнурками, из-за чего происходит название алгоритма.

См. Также [ править ]

• Планиметр
• Теорема Пика
• Формула Герона

Внешние ссылки [ править ]

• Видео математика о формуле шнурка Гаусса

Ссылки [ править ]