В математике , то ранг из дифференцируемого отображения между дифференцируемыми многообразиями в точке является рангом от производной от в . Напомним, что производная at является линейным отображением
из касательного пространства в точке p к касательному пространству в точке f ( p ). В качестве линейного отображения между векторными пространствами он имеет четко определенный ранг, который является только измерением от изображения в Т е ( р ) N :
Карты постоянного ранга [ править ]
Дифференцируемое отображение F : М → Н , как говорят, постоянный ранг , если ранг F является одинаковым для всех р в М . Карты постоянного ранга обладают рядом хороших свойств и являются важным понятием в дифференциальной топологии .
Имеются три частных случая отображений постоянного ранга. Отображение постоянного ранга f : M → N является
- погружение , если ранг F = тусклого M (т.е. производная всюду инъективная ),
- погружение в воду , если ранг F = тусклый N (то есть производная всюду сюръективны ),
- локальный диффеоморфизм , если ранг F = тусклые М = тусклый Н (т.е. производная всюду биективна ).
Само отображение f не обязательно должно быть инъективным, сюръективным или биективным для выполнения этих условий, важно только поведение производной. Например, есть инъективные карты, которые не являются погружениями, и погружения, которые не являются инъекциями. Однако если f : M → N - гладкое отображение постоянного ранга, то
- если f инъективен, это погружение,
- если f сюръективен, это субмерсия,
- если f биективен, это диффеоморфизм .
Карты постоянного ранга имеют хорошее описание в терминах локальных координат . Предположим, что M и N - гладкие многообразия размерностей m и n соответственно, а f : M → N - гладкое отображение с постоянным рангом k . Тогда для всех p в M существуют координаты ( x 1 , ..., x m ) с центром в p и координаты ( y 1 , ..., y n ) с центром в f ( p) такой, что f задается формулой
в этих координатах.
Примеры [ править ]
Карты, ранг которых в общем случае максимален, но падает в некоторых особых точках, часто встречаются в системах координат . Например, в сферической системе координат , ранг отображения из двух углов до точки на сфере (формально, отображение Т 2 → S 2 от тора к сфере) 2 в регулярных точках, но только 1 на северный и южный полюса ( зенит и надир ).
Более тонкий пример встречается в диаграммах SO (3) , группы вращения . Эта группа широко встречается в инженерии из-за того, что трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO (3) является реальным проективным пространством RP 3 , и часто желательно представлять повороты набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), потому что это концептуально просто, и потому что можно построить комбинацию из трех кардановпроизводить вращение в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T 3 трех углов в реальное проективное пространство вращений RP 3 , но это отображение не имеет ранга 3 во всех точках (формально потому, что оно не может быть покрывающим отображением , поскольку единственное (Нетривиальное) покрывающее пространство - это гиперсфера S 3 ), а явление понижения ранга до 2 в определенных точках называется в технике блокировкой кардана .
Ссылки [ править ]
- Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике 218 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95495-0.