Карданный замок

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Gimbal lock» - новости · газеты · книги · научный сотрудник · JSTOR ( март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Самолет заблокирован на подвесе. Когда стабилизаторы тангажа (зеленый) и рыскания (пурпурный) выровнены, они изменяются на крен (синий) и рысканье применяют такое же вращение к самолету.

Добавление четвертой оси вращения может решить проблему блокировки кардана, но для этого требуется, чтобы самое внешнее кольцо активно приводилось в движение, чтобы оно оставалось на 90 градусов не совмещенным с самой внутренней осью (валом маховика). Без активного приведения в движение самого дальнего кольца все четыре оси могут выровняться в плоскости, как показано выше, что снова приведет к блокировке кардана и невозможности качения.

Блокировка кардана - это потеря одной степени свободы в трехмерном механизме с тремя карданами , которая происходит, когда оси двух из трех карданов приводятся в параллельную конфигурацию, "запирая" систему во вращении в вырожденной двухкамерной системе. пространственное пространство.

Слово « замок» вводит в заблуждение: подвес не ограничен. Все три кардана по-прежнему могут свободно вращаться вокруг соответствующих осей подвески. Тем не менее, из-за параллельной ориентации двух осей подвеса нет подвеса, который мог бы обеспечить вращение вокруг одной оси.

Подвесы [ править ]

Подвес - это подвесное кольцо, которое может вращаться вокруг оси. Подвесы обычно вложены друг в друга, чтобы обеспечить вращение вокруг нескольких осей.

Они появляются в гироскопах и в инерциальных единицах измерения, чтобы позволить ориентации внутреннего кардана оставаться фиксированной, в то время как внешняя подвеска кардана принимает любую ориентацию. В компасах и механизмах накопления энергии маховика они позволяют объектам оставаться в вертикальном положении. Они используются для ориентации двигателей на ракетах. ^[1]

Некоторые системы координат в математике ведут себя так, как если бы для измерения углов использовались настоящие карданы, особенно углы Эйлера .

В случае трех или менее вложенных подвесов блокировка подвеса неизбежно возникает в какой-то точке системы из-за свойств закрывающих пространств (описанных ниже).

В инженерии [ править ]

Хотя только две определенные ориентации обеспечивают точную фиксацию карданного подвеса, практические механические карданы сталкиваются с трудностями вблизи этих ориентаций. Когда набор подвесов близок к заблокированной конфигурации, небольшие повороты платформы карданного подвеса требуют больших движений окружающих подвесов. Хотя передаточное число бесконечно только в точке блокировки кардана, практические ограничения скорости и ускорения карданов - из-за инерции (возникающей из-за массы каждого кольца кардана), трения подшипника, сопротивления потоку воздуха или другой жидкости, окружающей карданный вал. подвесы (если они не находятся в вакууме) и другие физические и инженерные факторы - ограничивают движение платформы вблизи этой точки.

В двух измерениях [ править ]

Блокировка кардана может происходить в карданных системах с двумя степенями свободы, таких как теодолит с вращением вокруг азимута и возвышения в двух измерениях. Эти системы могут блокировать подвес в зените и надире , потому что в этих точках азимут не определен четко, а вращение в азимутальном направлении не меняет направления, на которое указывает теодолит.

Рассмотрите возможность отслеживания вертолета, летящего к теодолиту с горизонта. Теодолит представляет собой телескоп, установленный на штативе, чтобы он мог перемещаться по азимуту и углу места для отслеживания вертолета. Вертолет летит к теодолиту и отслеживается телескопом по углу места и азимута. Вертолет летит непосредственно над штативом (т. Е. В зените), когда он меняет направление и летит под углом 90 градусов к своему предыдущему курсу. Телескоп не может отследить этот маневр без прерывистого скачка в одной или обеих ориентациях подвеса. Нет непрерывного движения, которое позволяет ему следовать за целью. Он находится в карданном замке. Таким образом, существует бесконечное количество направлений вокруг зенита, для которых телескоп не может непрерывно отслеживать все движения цели. ^[2]Обратите внимание, что даже если вертолет проходит не в зените, а только в районе зенита, так что блокировка кардана не происходит, система все равно должна двигаться исключительно быстро, чтобы отслеживать его, поскольку он быстро переходит от одного пеленга к другому. Чем ближе к зениту находится ближайшая точка, тем быстрее это нужно делать, и если она действительно проходит через зенит, предел этих «все более быстрых» движений становится бесконечно быстрым, а именно прерывистым.

Чтобы выйти из блокировки подвеса, пользователь должен обойти зенит - явно: уменьшить высоту, изменить азимут, чтобы он соответствовал азимуту цели, а затем изменить высоту, чтобы соответствовать цели.

Математически это соответствует тому факту, что сферические координаты не определяют карту координат на сфере в зените и надире. В качестве альтернативы, соответствующее отображение Т ² → S ² из тора Т ² в области S ² (заданной точки с заданным азимуту и углу места) не является накрытие в этих точках.

В трех измерениях [ править ]

Подвес с 3-мя осями вращения. Набор из трех подвесов, установленных вместе, чтобы обеспечить три степени свободы: крен, тангаж и рыскание. Когда два кардана вращаются вокруг одной оси, система теряет одну степень свободы.

Нормальная ситуация: три подвеса независимы

Блокировка кардана: два из трех карданов находятся в одной плоскости, теряется одна степень свободы

Рассмотрим случай платформы измерения уровня на самолете, летящем строго на север, с его тремя осями кардана, взаимно перпендикулярными (т. Е. Углы крена , тангажа и рыскания равны нулю). Если самолет наклоняется на 90 градусов, кардан оси рыскания самолета и платформы становится параллельным кардану оси крена, и изменения относительно рыскания больше не могут быть компенсированы.

Решения [ править ]

Эта проблема может быть преодолена за счет использования четвертого кардана, который активно приводится в действие двигателем, чтобы поддерживать большой угол между осями кардана крена и рыскания. Другое решение - повернуть один или несколько подвесов в произвольное положение при обнаружении блокировки подвеса и, таким образом, перезагрузить устройство.

Современная практика заключается в полном отказе от использования подвесов. В контексте инерциальных навигационных систем это можно сделать, установив инерциальные датчики непосредственно на кузов транспортного средства (это называется бесплатформенной системой) ^[3] и интегрировав измеренные значения вращения и ускорения в цифровом виде с использованием методов кватерниона для определения ориентации транспортного средства и скорость. Другой способ замены кардана - использование жидкостных подшипников или флотационной камеры. ^[4]

На Аполлоне-11 [ править ]

Известный инцидент с блокировкой карданного подвеса произошел во время миссии Apollo 11 Moon. На этом космическом корабле использовался комплект подвесов на инерциальном измерительном блоке (IMU). Инженеры знали о проблеме блокировки кардана, но отказались от использования четвертого кардана. ^[5] Некоторые аргументы в пользу этого решения очевидны из следующей цитаты:

«Преимущества дублированного стабилизатора, кажется, перевешиваются простотой оборудования, преимуществами размеров и соответствующей подразумеваемой надежностью блока с тремя степенями свободы прямого действия».
- Дэвид Хоаг, Apollo Lunar Surface Journal

Они предпочли альтернативное решение с использованием индикатора, который срабатывает при угле наклона около 85 градусов.

«Рядом с этой точкой в замкнутом контуре стабилизации теоретически можно было бы дать команду моментным двигателям мгновенно повернуть стабилизатор на 180 градусов. Вместо этого в LM компьютер высветил предупреждение о« блокировке кардана »при 70 градусах и заморозил IMU на 85 градусы "
- Пол Фьельд, Apollo Lunar Surface Journal

Вместо того, чтобы пытаться управлять подвесами быстрее, чем они могли, система просто сдалась и заморозила платформу. С этого момента космический корабль нужно будет вручную отвести от положения фиксации карданного подвеса, а платформу нужно будет вручную перенастроить, используя звезды в качестве ориентира. ^[6]

После того, как лунный модуль приземлился, Майк Коллинз на борту командного модуля пошутил: «Как насчет того, чтобы прислать мне четвертый подвес на Рождество?»

Робототехника [ править ]

Промышленный робот на литейном производстве.

В робототехнике блокировку кардана обычно называют «переворот запястья» из-за использования «запястья с тройным вращением» в роботизированных руках , где три оси запястья, управляющие рысканием, тангажем и креном, проходят через общая точка.

Пример переворота запястья, также называемого сингулярностью запястья, - это когда путь, по которому движется робот, вызывает совпадение первой и третьей осей запястья робота. Затем вторая ось запястья пытается повернуться на 180 ° за нулевое время, чтобы сохранить ориентацию концевого эффектора. Результат сингулярности может быть весьма драматичным и отрицательно сказаться на манипуляторе робота, конечном эффекторе и процессе.

Важность предотвращения сингулярностей в робототехнике привела к тому, что в Американском национальном стандарте для промышленных роботов и робототехнических систем - Требования безопасности это определено как «состояние, вызванное коллинеарным выравниванием двух или более осей робота, приводящее к непредсказуемым движениям и скоростям робота». ^[7]

В прикладной математике [ править ]

Этот раздел включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Проблема блокировки кардана возникает, когда в прикладной математике используются углы Эйлера ; разработчики трехмерных компьютерных программ , таких как трехмерное моделирование , встроенные системы навигации и видеоигры, должны избегать этого.

На формальном языке блокировка кардана происходит потому, что отображение углов Эйлера на вращения (топологически, из 3-тора T ³ в реальное проективное пространство RP ^3, которое совпадает с пространством трехмерных вращений SO3) не является локальным гомеоморфизмом в в каждой точке, и, таким образом, в некоторых точках ранг (степени свободы) должен опускаться ниже 3, при этом происходит блокировка кардана. Углы Эйлера позволяют дать численное описание любого вращения.в трехмерном пространстве с использованием трех чисел, но это не только не уникальное описание, но и некоторые точки, в которых не каждое изменение в целевом пространстве (повороты) может быть реализовано путем изменения исходного пространства (углов Эйлера). Это топологическое ограничение - не существует покрывающего отображения 3-тора в 3-мерное реальное проективное пространство; единственная (нетривиальная) накрывающая карта - из 3-сферы, как при использовании кватернионов .

Для того, чтобы сделать сравнение, все переводы можно описать с помощью трех чисел , и , как последовательность трех последовательных линейных перемещений вдоль трех перпендикулярных осей , и осей. То же самое верно и для поворотов: все повороты можно описать с помощью трех чисел , и , как последовательность трех вращательных движений вокруг трех осей, перпендикулярных друг другу. Это сходство между линейными координатами и угловыми координатами делает углы Эйлера очень интуитивно понятными , но, к сожалению, они страдают от проблемы блокировки кардана. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\beta$ $\gamma$

Потеря степени свободы с углами Эйлера [ править ]

Вращение в трехмерном пространстве можно численно представить с помощью матриц несколькими способами. Одно из этих представлений:

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Стоит рассмотреть пример, когда . Зная это и , приведенное выше выражение становится равным: $\beta ={\tfrac {\pi }{2}}$ $\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$ $\sin {\tfrac {\pi }{2}}=1$

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Проведение матричного умножения :

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\-\cos \alpha &\sin \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\end{aligned}}

И, наконец, используя формулы тригонометрии :

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Изменение значений и в приведенной выше матрице имеет тот же эффект: угол поворота изменяется, но ось вращения остается в том же направлении: последний столбец и первая строка в матрице не изменятся. Единственное решение и восстановить различные роли, чтобы изменения . $\alpha$ $\gamma$ $\alpha +\gamma$ $Z$ $\alpha$ $\gamma$ $\beta$

Можно представить самолет, повернутый на упомянутые выше углы Эйлера, используя соглашение XYZ . В данном случае первый угол - это тангаж. Затем устанавливается значение рысканья, и последний поворот - снова по тангажу самолета. Из-за блокировки кардана он потерял одну из степеней свободы - в данном случае способность катиться. $\alpha$ ${\tfrac {\pi }{2}}$ $\gamma$

Также можно выбрать другое соглашение для представления поворота с матрицей с использованием углов Эйлера, чем соглашение XYZ, указанное выше, а также выбрать другие интервалы изменения для углов, но в конце всегда есть по крайней мере одно значение, для которого степень свобода потеряна.

Проблема блокировки кардана не делает углы Эйлера «недействительными» (они всегда служат четко определенной системой координат), но делает их непригодными для некоторых практических приложений.

Представление с альтернативной ориентацией [ править ]

Причина блокировки кардана представляет собой ориентацию в виде трех осевых вращений с углами Эйлера . Поэтому потенциальное решение состоит в том, чтобы представить ориентацию каким-либо другим способом. Это может быть матрица вращения , кватернион (см. Кватернионы и пространственное вращение ) или аналогичное представление ориентации, которое рассматривает ориентацию как значение, а не три отдельных связанных значения. Учитывая такое представление, пользователь сохраняет ориентацию как значение. Чтобы применить угловые изменения, ориентация изменяется с помощью дельта-угла / поворота оси. Результирующая ориентация должна быть повторно нормализована, чтобы предотвратить ошибку с плавающей запятой.от последовательных преобразований от накопления. Для матриц повторная нормализация результата требует преобразования матрицы в ее ближайшее ортонормированное представление . Для кватернионов повторная нормализация требует выполнения нормализации кватернионов .

См. Также [ править ]

Графики на SO (3)
Динамика полета
Сетка на север (эквивалент навигационной задачи в полярных экспедициях)
Инерциальная навигационная система
Планирование движения
Кватернионы и пространственное вращение

Ссылки [ править ]

^ Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?» .
↑ Адриан Попа (4 июня 1998 г.). "Re: Что подразумевается под термином" карданный замок "?" .
^ Крис Verplaetse (1995). «Обзор дизайна пера и фона навигации» . Архивировано из оригинала на 2009-02-14.
Перейти ↑ Chappell, Charles, D. (2006). «Колодки опорные шарнирные газовые» .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Дэвид Хоаг (1963). «Навигация и навигация Apollo - Соображения относительно фиксатора подвеса Apollo IMU - Документ приборной лаборатории MIT E-1344» .
^ Эрик М. Джонс; Пол Фьельд (2006). «Углы подвеса, фиксатор кардана и четвертый подвес на Рождество» .
^ ANSI / RIA R15.06-1999

Внешние ссылки [ править ]

Блокировка подвеса - объяснение на YouTube
Блокировка подвеса за 30 секунд на YouTube

[1] Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?» .

[2] Адриан Попа (4 июня 1998 г.). "Re: Что подразумевается под термином" карданный замок "?" .

[3] Крис Verplaetse (1995). «Обзор дизайна пера и фона навигации» . Архивировано из оригинала на 2009-02-14.

[4] Перейти ↑ Chappell, Charles, D. (2006). «Колодки опорные шарнирные газовые» .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[5] Дэвид Хоаг (1963). «Навигация и навигация Apollo - Соображения относительно фиксатора подвеса Apollo IMU - Документ приборной лаборатории MIT E-1344» .

[6] Эрик М. Джонс; Пол Фьельд (2006). «Углы подвеса, фиксатор кардана и четвертый подвес на Рождество» .

[7] ANSI / RIA R15.06-1999

[1]