Реальное проективное пространство

В математике , реальное проективного пространстве , или RP ^п или , является топологическим пространством линий , проходящих через начало координат 0 в R ^{п +1} . Это представляет собой компактное , гладкое многообразие размерности п , и является частным случаем Гр (1, R ^{п + 1} ) из грассманианом пространства.${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} )}$

Основные свойства [ править ]

Строительство [ править ]

Как и во всех проективных пространств, RP ^п формируется, принимая частное от R ^{п +1} ∖ {0} под отношения эквивалентности х ~ Хх для всех действительных чисел А , ≠ 0 . Для всех x в R ^{n +1} ∖ {0} всегда можно найти λ такое, что λx имеет норму  1. Существует ровно два таких λ, различающихся знаком.

Таким образом , Р. П. ^п также могут быть образованы путем идентификации диаметрально противоположные точки на единицу п - сферы , S ^п , в R ^{п +1} .

Далее можно ограничиться верхней полусферой S ⁿ и просто идентифицировать точки противоположностей на ограничивающем экваторе. Это показывает, что RP ⁿ также эквивалентен замкнутому n -мерному диску D ⁿ с отождествленными антиподальными точками на границе ∂ D ⁿ = S ^{n −1} .

Низкоразмерные примеры [ править ]

RP ¹ называется реальной проективной прямой , которая топологически эквивалентна окружности .

RP ² называется реальной проективной плоскостью . Это пространство не может быть вложено в R ³ . Однако он может быть погружен в R ⁴ и может быть погружен в R ³ . Вопросы вложимости и погружаемости проективного n -пространства хорошо изучены. ^[1]

RP ³ ( диффеоморфен ) SO (3) , следовательно, допускает групповую структуру; накрывающее отображение S ³ → RP ³ - это отображение групп Spin (3) → SO (3), где Spin (3) - группа Ли , являющаяся универсальным накрытием группы SO (3).

Топология [ править ]

Антиподальное карту на п -сферы (отображение посылки х к - х ) порождает Z ₂ группы действие на S ^н . Как упоминалось выше, пространство орбит для этого действия - RP ⁿ . Это действие фактически накрытие действие дает S ^п как двойная крышка из РПА ^п . Так как S ^п является просто подключен к п ≥ 2, она также служит в качестве универсального покрова в этих случаях. Отсюда следует, что фундаментальная группагруппы RP ⁿ является Z _2, когда n > 1. (Когда n = 1, фундаментальная группа является Z из-за гомеоморфизма с S ¹ ). Генератором фундаментальной группы является замкнутая кривая, полученная путем проецирования любой кривой, соединяющей противоположные точки в S ^n, вниз на RP ⁿ .

Проективное n -пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: его универсальное накрывающее пространство задается фактор-отображением антиподы из n -сферы, односвязного пространства. Это двойная крышка. Отображение антиподов на R ^p имеет знак , поэтому оно сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда p четно. Таким образом, характер ориентации таков: нетривиальная петля в действует как при ориентации, поэтому RP ⁿ ориентируем тогда и только тогда, когда n  + 1 четно, т. Е. N нечетно. ^[2]${\displaystyle (-1)^{p}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})}$${\displaystyle (-1)^{n+1}}$

Проективное n -пространство фактически диффеоморфно подмногообразию в R ^{( n +1) 2,} состоящему из всех симметричных ( n  + 1) × ( n  + 1) матриц следа 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями. ^{[ необходима цитата ]}

Геометрия реальных проективных пространств [ править ]

Реальное проективное пространство допускает постоянную положительную скалярную метрику кривизны, исходящую из двойного покрытия стандартной круглой сферой (антиподальное отображение является локально изометрией).

Для стандартной круглой метрики он имеет поперечную кривизну, равную 1.

В стандартной круглой метрике мера проективного пространства составляет ровно половину меры сферы.

Гладкая структура [ править ]

Вещественные проективные пространства - это гладкие многообразия . На S ⁿ в однородных координатах ( x ₁ ... x _{n +1} ) рассмотрим подмножество U _i с x _i ≠ 0. Каждый U _i гомеоморфен несвязному объединению двух открытых единичных шаров в R ⁿ thap map к одному и тому же подмножеству RP ^n, и функции перехода координат являются гладкими. Это дает RP ^п с гладкой структурой .

Структура CW [ править ]

Вещественное проективное пространство RP ⁿ допускает структуру CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.

В однородных координатах ( x ₁ ... x _{n +1} ) на S ⁿ координатная окрестность U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} можно отождествить с внутренней частью n -диска D ⁿ . Когда x _i = 0, получается RP ^{n −1} . Следовательно, n −1 каркас RP ⁿ есть RP ^{n −1} , а присоединяемое отображение f : S ^{n −1} → RP ^{n −1} - отображение покрытия 2 к 1. Можно положить

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$

Индукция показывает, что RP ⁿ - это комплекс CW с 1 клеткой в ​​каждом измерении вплоть до n .

Клетки - это клетки Шуберта , как на многообразии флагов . То есть возьмем полный флаг (скажем, стандартный) 0 = V ₀ < V ₁ <... < V _n ; то замкнутая k -клетка - это прямые, лежащие в V _k . Также открытая k -ячейка (внутренность k- клетки) - это прямые в V _k  \  V _{k −1} (прямые в V _k, но не в V _{k −1} ).

В однородных координатах (относительно флага) ячейки имеют вид

${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}}$

Это не обычная структура CW, так как прикрепляемые карты 2-к-1. Однако его крышка представляет собой обычную структуру CW на сфере с двумя ячейками в каждом измерении; действительно, минимальная регулярная структура CW на сфере.

В свете гладкой структуры существование функции Морса показало бы, что RP ⁿ является комплексом CW. Одна такая функция задается в однородных координатах выражением

${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$

В каждой окрестности U _i , g имеет невырожденную критическую точку (0, ..., 1, ..., 0), где 1 стоит на i-й позиции с индексом Морса i . Это показывает, что RP ⁿ представляет собой комплекс CW с 1 ячейкой в ​​каждом измерении.

Тавтологические связки [ править ]

Реальное проективное пространство имеет над собой естественное линейное расслоение , называемое тавтологическим расслоением . Точнее, это называется тавтологическим подрасслоением, и существует также двойственное n- мерное расслоение, называемое тавтологическим фактор-расслоением.

Алгебраическая топология вещественных проективных пространств [ править ]

Гомотопические группы [ править ]

Высшие гомотопические группы RP ⁿ являются в точности высшими гомотопическими группами S ⁿ посредством длинной точной гомотопической последовательности, связанной с расслоением .

Явно пучок волокон:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

Вы также можете написать это как

${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$

или же

${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$

по аналогии с комплексным проективным пространством .

Гомотопические группы:

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$

Гомология [ править ]

Комплекс клеточной цепи, связанный с вышеуказанной структурой CW, имеет по одной ячейке в каждом измерении 0, ..., n . Для каждого размерного k граничные карты d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} - это карта, которая сжимает экватор на S ^{k −1} и затем идентифицирует антиподальные точки. В нечетных (соответственно четных) измерениях это имеет степень 0 (соответственно 2):

${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$

Таким образом, интегральные гомологии есть

${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

RP ⁿ ориентируем тогда и только тогда, когда n нечетно, как показывает приведенный выше расчет гомологии.

Бесконечное реальное проективное пространство [ править ]

Бесконечное вещественное проективное пространство строится как прямой предел или объединение конечных проективных пространств:

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$

Это пространство является классифицирующим пространством O (1) , первой ортогональной группы .

Двойное покрытие этого пространства - бесконечная сфера , которую можно стянуть. Таким образом, бесконечное проективное пространство - это пространство Эйленберга – Маклейна K ( Z ₂ , 1). ${\displaystyle S^{\infty }}$

Для каждого неотрицательного целого q группа гомологий по модулю 2 . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}$

Его кольцо когомологий по модулю 2 есть

${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],}$

где - первый класс Штифеля – Уитни : это свободная -алгебра на , имеющая степень 1.${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$${\displaystyle w_{1}}$

См. Также [ править ]

• Комплексное проективное пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Объектив пространство
• Реальная проективная плоскость

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бредон, Глен . Топология и геометрия , Тексты для выпускников по математике, Springer Verlag 1993, 1996
• Дэвис, Дональд. «Таблица погружений и вложений вещественных проективных пространств» . Проверено 22 сентября 2011 года .
• Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-79160-1.