В математике , то вязкость раствор понятие было введено в начале 1980 - х лет Лионс и Michael G. Crandall как обобщение классической концепции , что подразумевается под «раствором» к дифференциальному уравнению в частных (PDE). Было обнаружено, что вязкостное решение является естественной концепцией решения для использования во многих приложениях УЧП, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие при динамическом программировании ( уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана ), дифференциальные игры ( уравнение Гамильтона – Якоби – Исаакса). уравнение ) или задачи эволюции фронта, [1] а также уравнения второго порядка, такие как те, которые возникают в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх.
Классическая концепция заключалась в том, что PDE
над доменом имеет решение, если мы можем найти непрерывную и дифференцируемую во всей области функцию u ( x ) такую, что, , , удовлетворяют вышеуказанному уравнению в каждой точке.
Если скалярное уравнение является вырожденным эллиптическим (определенным ниже), можно определить тип слабого решения, называемого вязкостным решением . Согласно концепции вязкостного раствора, u не обязательно должна быть везде дифференцируемой. Могут быть точки, где либо или же не существует, но u удовлетворяет уравнению в подходящем обобщенном смысле. Определение допускает только определенный вид особенностей, так что существование, единственность и устойчивость при однородных пределах справедливы для большого класса уравнений.
Определение
Есть несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкостных растворов. См., Например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера [2] или определение с использованием полужестких двигателей в Руководстве пользователя. [3]
- Вырожденный эллиптический
- Уравнение в домене называется вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц а также такой, что является положительно определенной , а также любые значения , а также , имеем неравенство . Например, является вырожденным эллиптическим, поскольку в этом случае И след от - сумма его собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является вырожденным эллиптическим.
- Subsolution
- Полунепрерывно сверху функция в определяется как субрешение вырожденного эллиптического уравнения в смысле вязкости, если для любой точки и любой функция такой, что а также в районе от , у нас есть .
- Сверхрешение
- Полунепрерывна снизу функции в определяется как суперрешение вырожденного эллиптического уравнения в смысле вязкости, если для любой точки и любой функция такой, что а также в районе от , у нас есть .
- Вязкость раствора
- Непрерывная функция U представляет собой вязкость раствора от PDE , если она является как суперрешение и субрешение.
Пример
Рассмотрим краевую задачу , или же , на с граничными условиями . Функция представляет собой вязкостный раствор.
Действительно, отметим, что граничные условия выполнены, и хорошо выражен внутри, за исключением . Таким образом, осталось показать, что условия субрешения и суперрешения выполняются при. Предположим, что любая функция дифференцируема в с участием а также возле . Из этих предположений следует, что. Для положительного, из этого неравенства следует , используя это для . С другой стороны, дляу нас есть это . Так как дифференцируема, левый и правый пределы совпадают и равны , и поэтому заключаем, что , т.е. . Таким образом,является субрешением. Более того, тот факт, что является сверхрешением вакуумно, так как не существует функции дифференцируемый на с участием а также возле . Это означает, что представляет собой вязкостный раствор.
Фактически, можно доказать, что является уникальным вязкостным решением такой проблемы. Часть уникальности предполагает более изощренный аргумент.
Обсуждение
Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение эйконала в одном пространственном измерении с, где решение, как известно, является функцией расстояния со знаком до границы области. Также обратите внимание на важность знака в предыдущем примере.. В частности, вязкость раствора для PDE с такими же граничными условиями . Это можно объяснить, заметив, что решение является предельным решением проблемы исчезающей вязкости в виде стремится к нулю, а является предельным решением проблемы исчезающей вязкости . [4] Нетрудно подтвердить, что решает PDE для каждого эпсилона. Далее семейство решений сходятся к решению в виде исчезает (см. рисунок).
Основные свойства
Три основных свойства вязкостных растворов - это существование , уникальность и стабильность .
- Уникальность решений требует некоторых дополнительных структурных допущений относительно уравнения. Однако это можно показать для очень большого класса вырожденных эллиптических уравнений. [3] Это прямое следствие принципа сравнения . Вот несколько простых примеров, в которых соблюдается принцип сравнения.
- где H равномерно непрерывна по x .
- (Равномерно эллиптический случай) чтобы липшицево по всем переменным и для каждого а также , для некоторых .
- Существование решений имеет место во всех случаях , когда принцип сравнения трюмов и граничные условия могут быть осуществлены в некотором роде (через барьерные функции в случае граничного условия Дирихля ). Для уравнений первого порядка его можно получить с помощью метода исчезающей вязкости [5] или для большинства уравнений с помощью метода Перрона. [6] [7] Существует обобщенное понятие граничного условия в смысле вязкости . Решение краевой задачи с обобщенными граничными условиями разрешимо, если выполняется принцип сравнения. [3]
- Стабильность растворов ввыполняется следующим образом: локально равномерный предел последовательности решений (или субрешений, или суперрешений) является решением (или субрешением, или суперрешением). В более общем смысле, понятие суб- и сверхрешений вязкости также сохраняется за счет полуслабых пределов. [3]
История
Термин « вязкостные решения» впервые появился в работе Майкла Г. Крандалла и Пьера-Луи Лионса в 1983 г. относительно уравнения Гамильтона – Якоби. [5] Название оправдано тем, что существование решений было получено методом исчезающей вязкости . Фактически определение решения было дано ранее Лоуренсом К. Эвансом в 1980 году. [8] Впоследствии определение и свойства вязкостных решений для уравнения Гамильтона – Якоби были уточнены в совместной работе Крэндалла, Эванса и Лайонса в 1984 году [8]. 9]
В течение нескольких лет работа над вязкостными решениями была сосредоточена на уравнениях первого порядка, потому что не было известно, будут ли эллиптические уравнения второго порядка иметь уникальное вязкостное решение, за исключением очень частных случаев. Прорывным результатом стал метод, введенный Робертом Йенсеном в 1988 году для доказательства принципа сравнения с использованием регуляризованной аппроксимации решения, которое имеет вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства это достигается с помощью суп-сверток и теоремы Александрова ). . [10]
В последующие годы концепция вязкого раствора становится все более распространенной в анализе вырожденных эллиптических PDE. Основываясь на их свойствах устойчивости, Барлес и Суганидис получили очень простое и общее доказательство сходимости разностных схем. [11] Дальнейшие свойства регулярности вязкостных растворов были получены, особенно в равномерно эллиптическом случае с работой Луиса Каффарелли . [12] Вязкостные решения стали центральной концепцией в изучении эллиптических уравнений в частных производных. В частности, решения вязкости существенны при изучении лапласиана бесконечности. [13]
В современном подходе существование решений чаще всего достигается с помощью метода Перрона. [3] Метод исчезающей вязкости вообще не применим для уравнений второго порядка, поскольку добавление искусственной вязкости не гарантирует существования классического решения. Более того, определение вязкости растворов обычно не связано с физической вязкостью. Тем не менее, хотя теория вязких растворов иногда считается не связанной с вязкими жидкостями , безвихревые жидкости действительно могут быть описаны уравнением Гамильтона-Якоби. [14] В этом случае вязкость соответствует объемной вязкости безвихревой несжимаемой жидкости. Другие названия, которые были предложены, были решениями Крэндалла-Лайонса в честь их пионеров-слабые решения , относящиеся к их свойствам устойчивости, или сравнительные решения , относящиеся к их наиболее характерным свойствам.
Рекомендации
- ^ Dolcetta, I .; Лайонс, П., ред. (1995). Растворы вязкости и применения . Берлин: Springer. ISBN 3-540-62910-6.
- ^ Венделл Х. Флеминг, Х. М. Soner., Eds., (2006), Управляемые марковские процессы и решения для определения вязкости. Спрингер, ISBN 978-0-387-26045-7 .
- ^ а б в г д Крэндалл, Майкл Дж .; Исии, Хитоши; Лайонс, Пьер-Луи (1992), «Руководство пользователя по вязкостным решениям уравнений в частных производных второго порядка», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 27 (1): 1–67, arXiv : math / 9207212 , Bibcode : 1992math ...... 7212C , DOI : 10,1090 / S0273-0979-1992-00266-5 , ISSN 0002-9904
- ^ Барлс, Гай (2013). "Введение в теорию вязкостных решений для уравнений Гамильтона – Якоби первого порядка и приложений". Уравнения Гамильтона-Якоби: приближения, численный анализ и приложения . Конспект лекций по математике. 2074 . Берлин: Springer. С. 49–109. DOI : 10.1007 / 978-3-642-36433-4_2 . ISBN 978-3-642-36432-7.
- ^ а б Крэндалл, Майкл Дж .; Львы, Пьер-Луи (1983), "решения вязкости уравнений Гамильтона-Якоби", Труды Американского математического общества , 277 (1): 1-42, DOI : 10,2307 / 1999343 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1999343
- ^ Ишии, Хитоси (1987), "Метод Перрона для уравнений Гамильтона-Якоби", Дюк математический журнал , 55 (2): 369-384, DOI : 10,1215 / S0012-7094-87-05521-9 , ISSN 0012-7094
- ^ Ishii, Хитосите (1989), «О единственности и существовании вязкости решений эллиптической ФДЭ полностью нелинейный второго порядка», коммуникации по чистой и прикладной математике , 42 (1): 15-45, DOI : 10.1002 / cpa.3160420103 , ISSN 0010-3640
- ^ Эванс, Лоуренс С. (1980), "О решении некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с помощью методов аккретивных оператора", Израиль Журнал математики , 36 (3): 225-247, DOI : 10.1007 / BF02762047 , ISSN 0021-2172
- ^ Крэндалл, Майкл Дж .; Эванс, Лоуренс С .; Львы, Пьер-Луи (1984), "Некоторые свойства вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби", Труды Американского математического общества , 282 (2): 487-502, DOI : 10,2307 / 1999247 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1999247
- ^ Дженсен, Роберт (1988), "Принцип максимума для вязкостных решений полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка", Архив рациональной механики и анализа , 101 (1): 1-27, Bibcode : 1988ArRMA.101 .... 1J , DOI : 10.1007 / BF00281780 , ISSN 0003-9527
- ^ Barles, G .; Souganidis, ПЭ (1991), " О сходимости схем аппроксимации для полностью нелинейных уравнений второго порядка", асимптотический анализ , 4 (3): 271-283, DOI : 10,3233 / ASY-1991-4305 , ISSN 0921-7134
- ^ Каффарелли, Луис А .; Кабре, Ксавье (1995), Полностью нелинейные эллиптические уравнения , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 43 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0437-7
- ^ Крэндалл, Майкл Дж .; Эванс, Лоуренс С .; Gariepy, Рональд Ф. (2001), "Оптимальные Липшицевы расширение и бесконечность лапласиан", Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения в частных , 13 (2): 123-129, DOI : 10.1007 / s005260000065
- ^ Вестернахер-Шнайдер, Джон Райан; Маркакис, Харалампос; Цао, Бинг Цзюнь (2020). «Гидродинамика Гамильтона-Якоби пульсирующих релятивистских звезд». Классическая и квантовая гравитация . 37 (15): 155005. arXiv : 1912.03701 . DOI : 10,1088 / 1361-6382 / ab93e9 .