Полунепрерывность

В математическом анализе полунепрерывность ( или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественнозначных функций , более слабое, чем непрерывность . Расширенная вещественнозначная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке , если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи ненамного выше (соответственно ниже)${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle х_ {0}}$${\ Displaystyle х_ {0}}$${\ Displaystyle е \ влево (x_ {0} \ вправо).}$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в некоторой точке до для некоторого , то результат будет полунепрерывным сверху; если мы уменьшим его значение до , то результат будет полунепрерывным снизу.${\ Displaystyle х_ {0}}$${\ Displaystyle е \ влево (x_ {0} \ вправо) + с}$${\ Displaystyle с> 0}$${\ Displaystyle е \ влево (х_ {0} \ вправо) -с}$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции было впервые введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 г. ^[1]

Предположим, что это топологическое пространство и функция со значениями в расширенных действительных числах .${\ Displaystyle Х}$${\ displaystyle f: X \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \} = [- \ infty, \ infty]}$

Функция называется полунепрерывной сверху в точке , если для каждого действительного существует окрестность такая, что для всех . ^[2] Эквивалентно, является полунепрерывным сверху в тогда и только тогда, когда${\ displaystyle f: X \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ Displaystyle х_ {0} \ в X}$${\ Displaystyle у> е \ влево (х_ {0} \ вправо)}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle х_ {0}}$${\ Displaystyle е (х) <у}$${\ Displaystyle х \ в U}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle х_ {0}}$

Полунепрерывная сверху функция, не являющаяся полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка указывает${\ Displaystyle е \ влево (x_ {0} \ вправо).}$

Полунепрерывная снизу функция, не являющаяся полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка указывает${\ Displaystyle е \ влево (x_ {0} \ вправо).}$