В математическом анализе , то гладкость из функции является свойством измеряется по количеству непрерывных производных он имеет более некоторой области. [1] [2] Как минимум, функция может считаться «гладкой», если она дифференцируема всюду (следовательно, непрерывна). [3] С другой стороны, он может также обладать производными всех порядков в своей области определения , и в этом случае он называется бесконечно дифференцируемым и называется функцией C-бесконечности (илифункция). [4]
Классы дифференцируемости
Класс дифференцируемости - это классификация функций по свойствам их производных . Это мера производной высшего порядка, которая существует для функции.
Рассмотрим открытый набор на реальной линии и функцию f, определенную на этом наборе с действительными значениями. Пусть k - целое неотрицательное число . Функция f называется классом (дифференцируемости) C k, если производные f ′, f ″, ..., f ( k ) существуют и непрерывны . Функция f называется бесконечно дифференцируемой , гладкой или класса C ∞ , если она имеет производные всех порядков. [5] Функция F называется из класса C со , или аналитическим , если е является гладким и если ее рядом Тейлор расширение вокруг любой точки в своей области сходится к функции в некоторых окрестностях точки. Таким образом, C ω строго содержится в C ∞ . Выступающие функции являются примерами функций из C ∞, но не из C ω .
Иными словами, класс C 0 состоит из всех непрерывных функций. Класс C 1 состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция C 1 - это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу C 0 . В общем, классы C k можно определить рекурсивно , объявив C 0 набором всех непрерывных функций и объявив C k для любого положительного целого числа k набором всех дифференцируемых функций, производная которых находится в C k −1 . В частности, C k содержится в C k −1 для любого k > 0, и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим ( C k ⊊ C k −1 ). Класс C ∞ бесконечно дифференцируемых функций является пересечением классов C k при изменении k по неотрицательным целым числам.
Примеры
Функция
непрерывно, но не дифференцируемо в точке x = 0 , поэтому имеет класс C 0 , но не класс C 1 .
Функция
дифференцируема, с производной
Так как осциллирует при x → 0,не непрерывна в нуле. Следовательно,дифференцируема, но не принадлежит классу C 1 . Более того, если взять ( x ≠ 0) в этом примере, его можно использовать, чтобы показать, что производная функция дифференцируемой функции может быть неограниченной на компактном множестве и, следовательно, что дифференцируемая функция на компакте не может быть локально липшицевой .
Функции
где k четно, непрерывны и дифференцируемы k раз при всех x . Но при x = 0 они не дифференцируемы ( k + 1) раз, поэтому они относятся к классу C k , но не к классу C j, где j > k .
Экспоненциальная функция является аналитической, и , следовательно , попадает в класс C со . В тригонометрические функции также являются аналитическими , где они определены.
Функция удара
гладкая, поэтому имеет класс C ∞ , но не аналитична в точке x = ± 1 и, следовательно, не принадлежит классу C ω . Функция f является примером гладкой функции с компактным носителем .
Классы многомерной дифференцируемости
Функция определено на открытом множестве из Говорят , [6] , чтобы быть класса на , для положительного целого числа , если все частные производные
существуют и непрерывны, для каждого неотрицательные целые числа, такие что , и каждый . Эквивалентно, классный на если -й порядок Фреше производная от существует и непрерывен в каждой точке . Функция считается классным или же если он непрерывен .
Функция , определенный на открытом множестве из , считается классным на , для положительного целого числа , если все его компоненты
классные , где являются естественными проекциями определяется . Говорят, что это классный или же если он непрерывен, или, что то же самое, если все компоненты непрерывны, на .
Пространство C k функций
Пусть D - открытое подмножество реальной прямой. Множество всех C k действительных функций, определенных на D, является векторным пространством Фреше со счетным семейством полунорм
где K изменяется по возрастающей последовательности компактов , объединение которых равно D , и m = 0, 1, ..., k .
Множество C ∞ функций над D также образует пространство Фреше. Один использует те же полунормы, что и выше, за исключением того, что m может пробегать все неотрицательные целые числа.
Вышеупомянутые пространства естественно встречаются в приложениях, где необходимы функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений в частных производных , иногда может быть более плодотворным работать с пространствами Соболева .
Параметрическая непрерывность
Термины параметрическая непрерывность и геометрическая непрерывность ( G n ) были введены Брайаном Барски , чтобы показать, что гладкость кривой может быть измерена путем снятия ограничений на скорость , с которой параметр следует по кривой. [7] [8] [9]
Параметрическая непрерывность - это концепция, применяемая к параметрическим кривым , которая описывает плавность значения параметра с расстоянием вдоль кривой.
Определение
(Параметрическая) кривая называется классом C k , если существует и непрерывен на , где производные на концах считаются односторонними производными (т. е. при справа, а на слева).
В качестве практического применения этой концепции кривая, описывающая движение объекта с параметром времени, должна иметь непрерывность C 1 - чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например движения камеры при съемке пленки, требуются более высокие порядки параметрической непрерывности.
Порядок преемственности
Различный порядок параметрической непрерывности можно описать следующим образом: [10]
- C 0 : 0 –я производные непрерывны (кривые непрерывны)
- C 1 : 0 –я и первая производные непрерывны
- C 2 : 0 –я, первая и вторая производные непрерывны
- C n : производные с 0 по n –й непрерывны.
Геометрическая непрерывность
Понятие геометрической или геометрической непрерывности в первую очередь применялось к коническим сечениям (и связанным с ними формам) математиками, такими как Лейбниц , Кеплер и Понселе . Эта концепция была ранней попыткой описания посредством геометрии, а не алгебры, концепции непрерывности, выраженной через параметрическую функцию. [11]
Основная идея геометрической непрерывности заключалась в том, что пять конических секций на самом деле были пятью разными версиями одной и той же формы. Эллипс стремится к окружности , как эксцентриситет приближается к нулю, либо к параболе , как он приближается один; а гипербола стремится к параболе при уменьшении эксцентриситета к единице; он также может иметь тенденцию к пересечению линий . Таким образом, между коническими сечениями сохранялась непрерывность . Эти идеи привели к другим концепциям непрерывности. Например, если бы круг и прямая линия были двумя выражениями одной и той же формы, возможно, линию можно было бы рассматривать как круг бесконечного радиуса . Для этого нужно сделать линию замкнутой, допустив точку быть точкой на круге, а для а также быть идентичным. Такие идеи были полезны при разработке современной, алгебраически определенной идеи непрерывности функции и непрерывности.(подробнее см. проективно расширенную действительную прямую ). [11]
Гладкость кривых и поверхностей
Кривая или поверхность может быть описан как имеющий G п непрерывность с п является мерой повышения гладкости. Рассмотрим отрезки по обе стороны от точки кривой:
- G 0 : Кривые соприкасаются в точке соединения.
- G 1 : Кривые также имеют общее касательное направление в точке соединения.
- G 2 : Кривые также имеют общий центр кривизны в точке соединения.
В общем, непрерывность G n существует, если кривые могут быть повторно параметризованы, чтобы иметь C n (параметрическую) непрерывность. [12] [13] Повторная параметризация кривой геометрически идентична исходной; затрагивается только параметр.
Эквивалентно две векторные функции f ( t ) и g ( t ) имеют непрерывность G n, если f ( n ) ( t ) ≠ 0 и f ( n ) ( t ) ≡ kg ( n ) ( t ) , для скаляра k > 0 (т. Е. Если направление, но не обязательно величина двух векторов одинаковы).
Хотя может быть очевидно, что кривая потребует непрерывности G 1, чтобы казаться гладкой, для хорошей эстетики , к которой стремятся в архитектуре и дизайне спортивных автомобилей , требуются более высокие уровни геометрической непрерывности. Например, отражения в кузове автомобиля не будут казаться гладкими, если тело не имеет непрерывности G 2 .
Прямоугольник с закругленными углами (с девяносто градусов дуг окружностей в четырех углах) имеет G 1 непрерывность, но не имеет G 2 непрерывности. То же самое верно и для скругленного куба с октантами сферы по углам и четвертьцилиндрами по краям. Если требуется редактируемая кривая с непрерывностью G 2 , обычно выбираются кубические шлицы ; эти кривые часто используются в промышленном дизайне .
Гладкость кусочно заданных кривых и поверхностей
Другие концепции
Отношение к аналитичности
Хотя все аналитические функции являются «гладкими» (т. Е. Имеют непрерывные производные) на множестве, на котором они являются аналитическими, такие примеры, как функции рельефа (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на вещественных числах: существуют гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые являются гладкими, но не аналитичными в любой точке, могут быть получены с помощью рядов Фурье ; другой пример - функция Фабиуса . Хотя может показаться, что такие функции являются скорее исключением, чем правилом, оказывается, что аналитические функции очень тонко разбросаны среди гладких; более строго, аналитические функции образуют скудное подмножество гладких функций. Более того, для каждого открытого подмножества A вещественной прямой существуют гладкие функции, аналитические на A и нигде больше [ цитата необходима ] .
Полезно сравнить ситуацию с повсеместным распространением трансцендентных чисел на действительной прямой. Как на вещественной прямой, так и на множестве гладких функций, примеры, которые мы придумываем на первый взгляд (алгебраические / рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем в большинстве случаев: трансцендентные числа и нигде не аналитические функции имеют полную меру. (их дополнения скудны).
Описанная таким образом ситуация резко контрастирует со сложными дифференцируемыми функциями. Если комплексная функция дифференцируема только один раз на открытом множестве, она является и бесконечно дифференцируемой, и аналитической на этом множестве [ необходима цитата ] .
Гладкие перегородки единства
Гладкие функции с заданным замкнутым носителем используются при построении гладких разбиений единицы (см. Разделение единицы и глоссарий топологии ); они необходимы при изучении гладких многообразий , например, чтобы показать, что римановы метрики могут быть определены глобально, исходя из их локального существования. Простым случаем является функция выпуклости на действительной прямой, то есть гладкая функция f, которая принимает значение 0 за пределами интервала [ a , b ] и такая, что
Для заданного количества перекрывающихся интервалов на прямой можно построить функции рельефа на каждом из них, а также на полубесконечных интервалах (−∞, c ] и [ d , + ∞), чтобы покрыть всю строку, так что сумма функции всегда 1.
Из того, что только что было сказано, разбиение единицы не применимо к голоморфным функциям ; их различное поведение относительно существования и аналитического продолжения является одним из корней теории пучков . Напротив, пучки гладких функций обычно не несут много топологической информации.
Гладкие функции на коллекторах и между ними
Для гладкого многообразия , размерности m и атлас затем карта является гладкой на М , если для всех существует диаграмма , такое что а также - гладкая функция из окрестности в к (все частные производные до данного порядка непрерывны). Гладкость может быть проверена по отношению к любой диаграмме атласа, содержащей p , поскольку требования гладкости к функциям перехода между диаграммами гарантируют, что еслигладко около p на одном графике, оно будет гладким около p на любом другом графике.
Если это карта из на n -мерное многообразие, то F гладко, если для каждого есть диаграмма содержащий p , и диаграмму содержащий такой, что а также является гладкой функцией из
Гладкие отображения между многообразиями индуцируют линейные отображения между касательными пространствами : для, в каждой точке прямой (или дифференциальный) сопоставляет касательные векторы в точке p с касательными векторами в точке F (p) :, а на уровне касательного расслоения прямой перевод является гомоморфизмом векторного расслоения :. Двойной эффект от движения вперед - это откат , который "тянет" ковекторы к себе. назад к ковекторам на , и k -forms в k- формы:. Таким образом, гладкие функции между многообразиями могут переносить локальные данные , такие как векторные поля и дифференциальные формы , от одного многообразия к другому или вниз в евклидово пространство, где такие вычисления, как интегрирование , хорошо понятны.
В общем случае прообразы и дальнейшие действия по гладким функциям не являются многообразиями без дополнительных предположений. Прообразы регулярных точек (т. Е. Если дифференциал не обращается в нуль на прообразе) являются многообразиями; это теорема про прообраз . Точно так же продвижение вдоль вложений - это многообразия. [14]
Гладкие функции между подмножествами многообразий
Соответствующее понятие гладкого отображения имеется для произвольных подмножеств многообразий. Если f : X → Y - функция , область определения и область значений которой являются подмножествами многообразий X ⊂ M и Y ⊂ N соответственно. f называется гладким, если для всех x ∈ X существует открытое множество U ⊂ M с x ∈ U и гладкая функция F : U → N такие, что F ( p ) = f ( p ) для всех p ∈ U ∩ X .
Смотрите также
- Неаналитическая гладкая функция
- Квазианалитическая функция
- Сингулярность (математика)
- Извилистость
- Плавная схема
- Гладкое число (теория чисел)
- Сглаживание
- Сплайн
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - гладкий" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 13 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гладкая функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 13 декабря 2019 .
- ^ «Гладкая (математика)» . TheFreeDictionary.com . Проверено 13 декабря 2019 .
- ^ «Гладкая функция - математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Проверено 13 декабря 2019 .
- ^ Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Springer. п. 5 [Определение 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6.
- ^ Анри Картан (1977). Cours de Calcul différentiel . Пэрис: Германн.
- ^ Барский, Брайан А. (1981). Бета-сплайн: локальное представление на основе параметров формы и фундаментальных геометрических мер (доктор философии). Университет штата Юта, Солт-Лейк-Сити, штат Юта.
- ^ Брайан А. Барский (1988). Компьютерная графика и геометрическое моделирование с использованием бета-сплайнов . Springer-Verlag, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-72294-3.
- ^ Ричард Х. Бартельс; Джон С. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. Глава 13. Параметрическая непрерывность против геометрической. ISBN 978-1-55860-400-1.
- ^ ван де Панне, Михиль (1996). «Параметрические кривые» . Онлайн-заметки осени 1996 года . Университет Торонто, Канада.
- ^ а б Тейлор, Чарльз (1911). . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 11 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 674–675.
- ^ Барский, Брайан А .; ДеРоуз, Тони Д. (1989). «Геометрическая непрерывность параметрических кривых: три эквивалентных характеристики». Компьютерная графика и приложения IEEE . 9 (6): 60–68. DOI : 10.1109 / 38.41470 . S2CID 17893586 .
- ^ Хартманн, Эрих (2003). "Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования" (PDF) . Technische Universität Darmstadt . п. 55.
- ^ Гийемен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Энглвудские скалы: Прентис-холл. ISBN 0-13-212605-2.