Угол

Угол, образованный двумя лучами, исходящими из вершины.

В евклидовой геометрии , угол фигура образована двумя лучами , называемые стороны от угла, разделяя общую конечную точку, называется вершиной угла. ^[1] Углы, образованные двумя лучами, лежат в плоскости , содержащей лучи. Углы также образуются пересечением двух плоскостей. Их называют двугранными углами . Две пересекающиеся кривые определяют также угол, который является углом касательных в точке пересечения. Например, сферический угол, образованный двумя большими кругами на сфере равен двугранному углу между плоскостями, содержащими большие окружности.

Угол также используется для обозначения меры угла или поворота . Эта мера представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу . В случае геометрического угла дуга центрируется в вершине и ограничивается сторонами. В случае вращения дуга центрируется в центре вращения и ограничивается любой другой точкой и ее изображением путем поворота.

История и этимология [ править ]

Слово угол происходит от латинского слова angulus , означающего «угол»; Родственными словами являются греческое ἀγκύλος (ankylοs) , означающее «изогнутый, изогнутый», и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с протоиндоевропейским корнем * ank- , что означает «сгибаться» или «кланяться». ^[2]

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. Согласно Проклу , угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первую концепцию использовал Евдем , который рассматривал угол как отклонение от прямой линии ; второй Карпом Антиохийским , который считал его интервалом или пространством между пересекающимися линиями; Евклид принял третью концепцию. ^[3]

Определение углов [ править ]

В математических выражениях обычно используются греческие буквы ( α , β , γ , θ , φ , ...) в качестве переменных, обозначающих размер некоторого угла ^[4] (чтобы избежать путаницы с другим его значением, символ $π$ имеет вид обычно для этой цели не используется). Также используются строчные латинские буквы ( a , b , c , ...), а также прописные латинские буквы в контексте многоугольников . Примеры смотрите на рисунках в этой статье.

На геометрических фигурах углы также можно идентифицировать по меткам, прикрепленным к трем точкам, которые их определяют. Так , например, угол при вершине А , заключенная между лучами АВ и АС (т.е. линии от точки А до точки В и точки А к точке С) обозначается ∠BAC (в Unicode U + 2220 ∠ УГЛА ) или . Если нет риска путаницы, угол иногда можно обозначать просто по его вершине (в данном случае «угол A»). ${\ displaystyle {\ widehat {\ rm {BAC}}}}$

Потенциально, угол, обозначенный, например, как ∠BAC, может относиться к любому из четырех углов: углу по часовой стрелке от B до C, углу против часовой стрелки от B до C, углу по часовой стрелке от C до B или углу против часовой стрелки от C до B, где направление измерения угла определяет его знак (см. Положительные и отрицательные углы ). Однако во многих геометрических ситуациях из контекста очевидно, что имеется в виду положительный угол, меньший или равный 180 градусам, и в этом случае двусмысленности не возникает. В противном случае может быть принято соглашение, согласно которому ∠BAC всегда относится к положительному углу против часовой стрелки от B к C, а ∠CAB - к углу против часовой стрелки (положительному) от C к B.

Типы углов [ править ]

Индивидуальные углы [ править ]

Существует некоторая общая терминология для углов, мера которых всегда неотрицательна (см. # Положительные и отрицательные углы ): ^[5]^[6]

Угол, равный 0 ° или не повернутый, называется нулевым углом.
Углы меньше прямого (менее 90 °) называются острыми углами («острый» означает «острый»).
Угол, равный 1/4 повернуть (90 ° или $π$ /2радиан) называется прямым углом . Две прямые, образующие прямой угол, называются нормальными , ортогональными или перпендикулярными .
Углы, превышающие прямой угол и меньшие, чем прямой угол (от 90 ° до 180 °), называются тупыми углами («тупой», что означает «тупой»).
Угол, равный 1/2поворот (180 ° или $π$ радиан) называется прямым углом .
Углы, превышающие прямой угол, но менее 1 поворота (от 180 ° до 360 °), называются углами отражения .
Угол, равный 1 обороту (360 ° или 2 $π$ радиана), называется полным углом , полным углом , круглым углом или перигоном .
Углы, которые не являются прямыми или кратными прямым, называются косыми углами .

Названия, интервалы и единицы измерения показаны в таблице ниже:

Острый ( а ), тупой ( б ) и прямой ( в ) углы. Острый и тупой углы также известны как косые углы.

Угол рефлекса

Единицы	Интервал
Имя	нуль	острый	прямой угол	тупой	прямой	рефлекс	перигон
Повороты	0	(0, 1/4)	1/4	(1/4, 1/2)	1/2	(1/2, 1)	1
Радианы	0	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	(1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
Градусы	0 °	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
Gons	0 ^г	(0, 100) ^г	100 ^г	(100, 200) ^г	200 ^г	(200, 400) ^г	400 ^г

Пары углов эквивалентности [ править ]

Углы, имеющие одинаковую величину (т.е. одинаковую величину), называются равными или совпадающими . Угол определяется его размером и не зависит от длин сторон угла (например, все прямые углы равны по мере).
Два угла, которые имеют общие конечные стороны, но различаются по размеру на целое число, кратное повороту, называются концевыми углами .
Опорный угол представляет собой острый вариант любого угла определяется путем многократного вычитания или добавлений прямого угла (1/2повернуть на 180 ° или $π$ радиан) к результатам по мере необходимости, пока величина результата не станет острым углом, значением от 0 до1/4 повернуть, 90 °, или $π$ /2радианы. Например, угол 30 градусов имеет опорный угол 30 градусов, а угол 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180–150). Угол 750 градусов имеет опорный угол 30 градусов (750-720). ^[7]

Пары вертикальных и смежных углов [ править ]

Углы A и B представляют собой пару вертикальных углов; углы C и D представляют собой пару вертикальных углов.

Когда две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Попарно эти углы названы в соответствии с их расположением относительно друг друга.

Пара углов, противоположных друг другу, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, которые образуют X-образную форму, называются вертикальными углами или противоположными углами или вертикально противоположными углами . Они сокращенно обозначаются как верт. опп. ∠s . ^[8]

Равенство вертикально противоположных углов называется теоремой о вертикальном угле . Евдем Родосский приписал доказательство Фалесу Милетскому . ^[9]^[10] Предложение показало, что, поскольку оба из пары вертикальных углов являются дополнительными к обоим смежным углам, вертикальные углы равны в меру. Согласно исторической заметке ^[10], когда Фалес посетил Египет, он заметил, что всякий раз, когда египтяне рисовали две пересекающиеся линии, они измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Фалес пришел к выводу, что можно доказать, что все вертикальные углы равны, если принять некоторые общие понятия, такие как:

Все прямые углы равны.
Равные, добавленные к равным, равны.
Равные, вычтенные из равных, равны.

Когда два соседних угла образуют прямую линию, они являются дополнительными. Следовательно, если мы предположим, что мера угла A равна x , то мера угла C будет 180 - x . Точно так же угол D будет равен 180 x . И угол C, и угол D имеют размер 180 - x и конгруэнтны. Так как угол B является дополнительным к обоим углы С и D , либо из могут быть использованы эти угловые меры , чтобы определить меру угла B . Используя меру любого угла Cили угол D, мы находим, что величина угла B равна 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Следовательно, и угол A, и угол B имеют меры, равные x, и равны по размеру.

Углы А и В смежные.

Смежные углы , часто сокращенно прил. ∠s - это углы, которые имеют общую вершину и ребро, но не имеют общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные бок о бок или смежные, имеющие общую «руку». Смежные углы, которые в сумме составляют прямой угол, прямой угол или полный угол, являются особыми и соответственно называются дополнительными , дополнительными и дополнительными углами (см. «Объединение угловых пар» ниже).

Трансверсально является линией , которая пересекает пару (часто параллельно) линий, и связанное с альтернативными внутренними углами , соответствующими углами , внутренними углами и внешними углами . ^[11]

Объединение угловых пар [ править ]

Три специальные пары углов включают суммирование углов:

Дополняют друг друга углами и б ( б является дополнением из и является дополнением б ).

Дополнительные углы - это пары углов, сумма которых равна одному прямому углу (1/4 повернуть, 90 °, или $π$ /2радианы). ^[12] Если два дополнительных угла смежны, их необщие стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии два острых угла в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга, потому что сумма внутренних углов треугольника составляет 180 градусов, а сам прямой угол составляет 90 градусов.

Прилагательное «дополнительный» происходит от латинского « комплементум» , связанного с глаголом « комплимент» , «заполнять». Острый угол «заполняется» его дополнением, образуя прямой угол.

Разница между углом и прямым углом называется дополнением угла. ^[13]

Если углы A и B дополняют друг друга, выполняются следующие соотношения:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

( Тангенс угла равен котангенсу его дополнения, а его секанс равен косекансу его дополнения.)

Префикс « со- » в названиях некоторых тригонометрических соотношений относится к слову «комплементарной».

Углы a и b являются дополнительными углами.

Два угла, которые в сумме составляют прямой угол (1/2поворот, 180 ° или $π$ радиан) называются дополнительными углами . ^[14]

Если два дополнительных угла смежны (т. Е. Имеют общую вершину и имеют только одну сторону), их необщие стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . ^[15] Однако дополнительные углы не обязательно должны находиться на одной линии и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, а противоположные углы циклического четырехугольника (того, у которого все вершины лежат на одной окружности) являются дополнительными.

Если точка P является внешней по отношению к окружности с центром O, и если касательные линии от P касаются окружности в точках T и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.

Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и касательные (если не определены) равны по величине, но имеют противоположные знаки.

В евклидовой геометрии любая сумма двух углов в треугольнике дополняет третий, потому что сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.

Сумма двух дополнительных углов составляет полный угол.

Два угла, которые в сумме составляют полный угол (1 оборот, 360 ° или 2 $π$ радиана), называются дополнительными углами или сопряженными углами .
Разница между углом и полным углом называется дополнением угла до 360 градусов угла или конъюгата угла.

Углы, связанные с многоугольниками [ править ]

Внутренние и внешние углы.

Угол, который является частью простого многоугольника , называется внутренним углом, если он лежит внутри этого простого многоугольника. Простой вогнутый многоугольник имеет по крайней мере один внутренний угол, который является углом отражения.
В евклидовой геометрии внутренние углы треугольника в сумме составляют $π$ радиан, 180 ° или1/2повернуть; меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника в сумме составляют 2 $π$ радиан, 360 ° или 1 оборот. В общем, меры внутренних углов простого выпуклого многоугольника с n сторонами в сумме составляют ( n - 2) $π$ радиан, или 180 ( n - 2) градусов, (2 n - 4) прямых углов, или (п/2 - 1) поворот.
Дополнение внутреннего угла называется внешним углом , то есть внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов . В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла, каждый определяется продолжением одной из двух сторон многоугольника, которые встречаются в вершине; эти два угла вертикальны и, следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота, который необходимо сделать в вершине, чтобы очертить многоугольник. ^[16] Если соответствующий внутренний угол является углом отражения, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в не простой многоугольник может быть возможно определить внешний угол, но один должен будет выбрать в ориентации в плоскости(или поверхность ), чтобы определить знак меры внешнего угла.
В евклидовой геометрии сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника составляет один полный оборот (360 °). Внешний угол здесь можно назвать дополнительным внешним углом . Внешние углы обычно используются в программах Logo Turtle при рисовании правильных многоугольников.
В треугольнике , то биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла являются одновременно (пересекаются в одной точке). ^[17]^{: с. 149}
В треугольнике три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной вытянутой стороной , коллинеарны . ^[17]^{: с. 149}
В треугольнике три точки пересечения, две из которых находятся между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной, а третья - между биссектрисой другого внешнего угла и вытянутой противоположной стороной, коллинеарны. ^[17]^{: с. 149}
Некоторые авторы используют название « внешний угол» простого многоугольника, чтобы просто обозначить внешний угол расширения ( не дополнительный!) Внутреннего угла. ^[18] Это противоречит приведенному выше использованию.

Углы, связанные с самолетом [ править ]

Угол между двумя плоскостями (например, двумя смежными гранями многогранника ) называется двугранным углом . ^[13] Его можно определить как острый угол между двумя линиями, нормальными к плоскостям.
Угол между плоскостью и пересекающейся прямой линией равен девяноста градусам минус угол между пересекающейся линией и линией, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной плоскости.

Углы измерения[ редактировать ]

Было высказано предположение , что угловые единицы быть объединены в эту статью. ( Обсудить ) Предлагается с мая 2020 года.

Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, который переводит один из лучей в другой. Углы , которые имеют тот же размер , как говорят, равна или конгруэнтны или равны по мере .

В некоторых контекстах, таких как определение точки на окружности или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно исходной ориентации, углы, которые различаются на точную величину, кратную полному повороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описывающая совокупное вращение объекта в двух измерениях относительно опорной ориентации, углы , которые отличаются от ненулевого кратного полного оборота не эквивалентны.

Угол θ (в радианах) представляет собой частное от s и r .

Для того чтобы измерить угол & thetas , А дуга окружности с центром в вершине угла обращаются, например , с помощью пары циркулей . Отношение длины s дуги к радиусу r окружности является мерой угла в радианах .

Затем значение угла в другой угловой единице получается путем умножения его измерения в радианах на коэффициент масштабирования. k/2 $π$ , где k - мера полного поворота в выбранной единице (например, 360 для градусов или 400 для градиентов ):

\theta =k{\frac {s}{2\pi r}}.

Значение θ, определенное таким образом, не зависит от размера круга: если длина радиуса изменяется, длина дуги изменяется в той же пропорции, поэтому отношение s / r не изменяется. (Доказательство. Формулу выше можно переписать в виде k =θr/s. Один оборот, для которого θ = n единиц, соответствует дуге, равной длине окружности окружности , которая равна 2 $π$ r , поэтому s = 2 $π$ r . Подставляя п для thetas ; и 2 $П$ р для й в формуле, приводит к =номер/2 $π$ r знак равно п/2 $π$ . ) ^{[№ 1]}

Постулат сложения углов [ править ]

Постулат сложения углов утверждает, что если B находится внутри угла AOC , то

m\angle AOC=m\angle AOB+m\angle BOC

Мера угла AOC - это сумма меры угла AOB и меры угла BOC . В этом постулате не имеет значения, в каких единицах измеряется угол, если каждый угол измеряется в одной и той же единице.

Единицы [ править ]

Единицы, используемые для представления углов, перечислены ниже в порядке убывания величины. Из этих единиц наиболее часто используются градус и радиан . Углы, выраженные в радианах, безразмерны для анализа размеров .

Большинство единиц углового измерения определены так, что один оборот (то есть один полный круг) равен n единицам для некоторого целого числа n . Двумя исключениями являются радианы и диаметр.

Поверните ( n = 1): Очередь , также цикл , полный круг , оборот и вращение , это полное круговое движение или меры (как для возврата к той же точке) с кругом или эллипсом. Оборот обозначается сокращенно $τ$ , cyc , rev или rot в зависимости от приложения, но в сокращении rpm (оборотов в минуту) используется только r . Очередь из п единиц получается путем установки K =1/2 $π$ в формуле выше. Эквивалент 1 поворота составляет 360 °, 2 $π$ рад, 400 град и 4 прямых угла. Символ $τ$ также можно использовать в качестве математической константы для представления 2 $π$ радиан. Используется таким образом ( $k = τ / 2π$ ) позволяет выражать радианы в долях оборота. Например, пол-оборота $τ / 2 = π$ .

Квадрант ( n = 4): Квадрант является1/4поворота, т.е. под прямым углом . Это единица, используемая в Элементах Евклида . 1 квад. = 90 ° = $π$ /2 рад = 1/4поворот = 100 град. В немецком языке символ ^∟ использовался для обозначения квадранта.

Секстант ( n = 6): Секстантная ( угол равностороннего треугольника ) является1/6оборота. Это устройство используется в вавилонян , ^[20]^[21] и особенно легко построить с линейкой и циркулем. Градус, угловая минута и секунда дуги - шестидесятеричные единицы вавилонской единицы. 1 вавилонская единица = 60 ° = $π$ / 3 рад ≈ 1.047197551 рад.

θ = s / r рад = 1 рад.

Радиан ( n = 2 $π$ = 6,283...): Радианах угол , образуемый дугой окружности, имеющей ту же длину, что и радиус круга. В случае радиана для формулы, приведенной ранее, радиан из n = 2 $π$ единиц получается путем установки k =2 $π$ /2 $π$ = 1. Один оборот равен 2 $π$ радиан, а один радиан равен180/ $π$ градусов, или около 57,2958 градусов. Радиан сокращенно обозначается как рад , хотя этот символ часто опускается в математических текстах, где подразумеваются радианы, если не указано иное. При использовании радианов углы считаются безразмерными. Радиан используется практически во всех математических работах, помимо простой практической геометрии, например, из-за приятных и «естественных» свойств, которые тригонометрические функции демонстрируют, когда их аргументы выражены в радианах. Радиан - это (производная) единица измерения угла в системе СИ .

Положение часов ( n = 12): Положение часов - это относительное направление объекта, описываемое по аналогии с 12-часовыми часами . Представьте себе циферблат, лежащий прямо или плоско перед собой, и отождествите двенадцатичасовые отметки с направлениями, в которые они указывают.

Часовой угол ( n = 24): Астрономический часовой угол равен1/24оборота. Так как эта система поддается измерению объекты этот цикл один раз в день (например, относительное положение звезд), то шестидесятеричной субъединиц называются минута времени и секунда времени . Они отличаются от угловых минут и секунд и в 15 раз больше их. 1 час = 15 ° = $π$ /12 рад = 1/6 четырехъядерный. знак равно1/24 поворот = 16+2/3 град.

(Компас) точка или ветер ( n = 32): Пункт , используемый в навигации , является1/32оборота. 1 балл =1/8прямого угла = 11,25 ° = 12,5 град. Каждая точка делится на четыре четвертных пункта, так что 1 поворот равен 128 четвертям.

Гексаконтада ( n = 60): Hexacontade является единицей 6 ° , что Эратосфен используется, так что целая очередь была разделена на 60 единиц.

Печус ( n = 144–180): Pechus была вавилонская единица , равная примерно 2 ° или 2+1/2°.

Бинарная степень ( n = 256): Двоичная степень , также известная как двоичный радиан (или Brad ), является1/256оборота. ^[22] Двоичная степень используется в вычислениях, так что угол может быть эффективно представлен в одном байте (хотя и с ограниченной точностью). Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного целого поворота на 2 ⁿ равных частей для других значений n . ^[23]
Степень ( n = 360): Степень , обозначается малым индексом окружности (°), составляет 1/360 оборота, так что один оборот составляет 360 °. Случай градусов по формуле , приведенной ранее, степени из п = 360 ° единиц получается путем установки K =360 °/2 $π$ . Одно из преимуществ этой старой шестидесятеричной единицы состоит в том, что многие углы, обычно используемые в простой геометрии, измеряются как целое число градусов. Доли градуса могут быть записаны в обычной десятичной системе счисления (например, 3,5 ° для трех с половиной градусов), но также используются шестидесятеричные единицы «минута» и «секунда» системы «градус-минута-секунда», особенно по географическим координатам и по астрономии и баллистике .

Диаметр части ( n = 376,99..): Часть диаметра (иногда используется в исламской математике)1/60радиан. Одна «часть диаметра» составляет приблизительно 0,95493 °. На оборот приходится около 376,991 деталей диаметром.

Град ( n = 400): Град , называемый также класс , gradian или угольник , является1/400поворота, то есть прямой угол равен 100 град. ^[4] Это десятичная единица квадранта. Км исторически определяются как Centi -grad дуги вдоль большого круга Земли, поэтому километр десятичного аналогом шестидесятеричных морских миль. Град используется в основном в триангуляции .

Миллирадский: Миллирадиан (мил или мрад) определяется как одна тысячная радиана, что означает, что один оборот на один оборот составляет 2000π мил (или приблизительно 6283,185 ... мил), и почти все прицелы для огнестрельного оружия откалиброваны по этому определению. . Кроме того, есть еще три производных определения, используемых для артиллерии и навигации, которые приблизительно равны миллирадиану. Согласно этим трем другим определениям, один оборот составляет ровно 6000, 6300 или 6400 мил, что соответствует диапазону от 0,05625 до 0,06 градусов (от 3,375 до 3,6 минут). Для сравнения, истинный миллирадиан составляет приблизительно 0,05729578 ... градуса (3,43775 ... минуты). Один « миллион НАТО » определяется как1/6400круга. Как и в случае с истинным миллирадианом, каждое из других определений использует удобное свойство миллирадиана субтензий, то есть то, что значение одного миллирадиана приблизительно равно углу, образуемому шириной 1 метр, если смотреть с расстояния 1 км (2 $π$ /6400 = 0,0009817 ... ≈ 1/1000).

Угловая минута ( n = 21 600): Угловая минута (или МОА , угловая минута или просто минута ) равна1/60 степени = 1/21 600повернуть. Обозначается простым штрихом (′). Например, 3 ° 30 ′ равно 3 × 60 + 30 = 210 минут или 3 + 30/60= 3,5 градуса. Также иногда используется смешанный формат с десятичными дробями, например 3 ° 5,72 ′ = 3 + 5,72/60градусов. Морских миль исторически определяется как минуты дуги вдоль большого круга Земли.

Во - вторых дуги ( п = 1296000): Второй дуги (или угловой секунды , или просто второй ) является1/60 угловой минуты и 1/3600степени. Обозначается двойным штрихом (″). Например, 3 ° 7 ′ 30 ″ равно 3 +7/60 + 30/3600 градусов, или 3,125 градуса.

Миллиарксекунда ( n = 1 296 000 000): мас
Микродуговая секунда ( n = 1 296 000 000 000): мкс

Положительные и отрицательные углы [ править ]

Хотя определение измерения угла не поддерживает концепцию отрицательного угла, часто бывает полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и / или повороты в противоположных направлениях относительно некоторой ссылки.

В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя его сторонами с вершиной в начале координат. Исходная сторона находится на положительной оси х , а с другой стороны или на стороне терминала определяется мерой от исходной стороны в радианах, градусах, или поворотов. С положительными углами, представляющими повороты к положительной оси y, и отрицательными углами, представляющими повороты к отрицательной оси y . Когда декартовы координаты представлены стандартной позицией , определяемой осью x вправо и осью y- ось направлена вверх, положительное вращение - против часовой стрелки, отрицательное вращение - по часовой стрелке .

Во многих случаях угол - θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45 °, фактически эквивалентна ориентации, представленной как 360 ° - 45 ° или 315 °. Хотя конечное положение такое же, физическое вращение (движение) на -45 ° не то же самое, что вращение на 315 ° (например, вращение человека, держащего метлу, лежащую на пыльном полу, оставит визуально разные следы подметаемых областей на полу).

В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно быть определено относительно некоторой ссылки, которая обычно представляет собой вектор, проходящий через вершину угла и перпендикулярный плоскости в в котором лежат лучи угла.

В навигации , подшипники или азимут измеряется по отношению к северу. По соглашению, если смотреть сверху, углы пеленга по часовой стрелке положительные, поэтому пеленг 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные пеленги не используются в навигации, поэтому ориентация на северо-запад соответствует пеленгу 315 °.

Альтернативные способы измерения размера угла [ править ]

Есть несколько альтернатив измерению размера угла по углу поворота. Сорт склона , или градиент равен тангенсу угла, или иногда (редко) на синус . Градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) крутизна уклона приблизительно равна величине угла в радианах.

В рациональной геометрии спрэд между двумя линиями определяется как квадрат синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус его дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к тому же значению для разброса между линиями.

Астрономические приближения [ править ]

Астрономы измеряют угловое разделение объектов в градусах от точки наблюдения.

0,5 ° - это примерно ширина солнца или луны.
1 ° - это примерно ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
10 ° - это примерно ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
20 ° - это примерно ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.

Эти измерения явно зависят от индивидуального объекта, и вышеизложенное следует рассматривать только как приблизительное практическое правило .

Углы между кривыми [ править ]

Угол между двумя кривыми в Р определен как угол между касательным A и B при P .

Угол между прямой и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривыми (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Различные названия (сейчас редко, если вообще используются) были даны частным случаям: - амфициртовый ( греч . Ἀμφἀ , с обеих сторон, κυρτός, выпуклый) или циссоидальный (греч. Κισσός, плющ), двояковыпуклый; ксистроидальный или систроидальный ( греч . ξυστρίς, инструмент для соскабливания), вогнуто-выпуклый; амфикоэльский ( греч . κοίλη, пустотелый) или angulus lunularis , двояковогнутый. ^[24]

Поперечные и тройные углы [ править ]

В древнегреческие математики умели делить пополам угол (разделить его на два угла равной меры) , используя только циркуль и угольник , но могли только определенные углы делить на три равные части. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что для большинства углов это построение невозможно.

Точечный продукт и обобщения [ править ]

В евклидовом пространстве угол θ между двумя евклидовыми векторами u и v связан с их скалярным произведением и их длиной по формуле

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Эта формула предоставляет простой способ найти угол между двумя плоскостями (или криволинейными поверхностями) по их нормальным векторам и между наклонными линиями по их векторным уравнениям.

Внутренний продукт [ править ]

Чтобы определить углы в абстрактном реальном внутреннем пространстве продукта , мы заменяем евклидово скалярное произведение ( · ) внутренним произведением , т. Е. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

В сложном внутреннем пространстве продукта выражение для косинуса выше может давать нереальные значения, поэтому оно заменяется на

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

или, чаще, используя абсолютное значение, с

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

Последнее определение игнорирует направление векторов и, таким образом, описывает угол между одномерными подпространствами и охватываемыми векторами и соответственно. $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {v}$

Углы между подпространствами [ править ]

Определение угла между одномерными подпространствами и дается формулой $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|

в гильбертовом пространстве может быть расширен до подпространств любых конечных размеров. Учитывая два подпространства , с , то это приводит к определению углов называются каноническими или основные углами между подпространствами. ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {W}}$ $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ $k$

Углы в римановой геометрии [ править ]

В римановой геометрии , то метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Где U и V - касательные векторы, а g _ij - компоненты метрического тензора G ,

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

Гиперболический угол [ править ]

Гиперболический угол является аргументом из гиперболической функции так же , как круговая угол является аргументом круговой функции . Сравнение может быть визуализировано как размер отверстий гиперболического сектора и кругового сектора, поскольку площади этих секторов соответствуют угловым величинам в каждом случае. В отличие от кругового угла, гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечные серии по их угловому аргументу, круговые функции представляют собой просто чередующиеся серии.формы гиперболических функций. Это переплетение двух типов угла и функции было объяснено Леонардом Эйлером во « Введении в анализ бесконечного» .

Углы в географии и астрономии [ править ]

В географии местоположение любой точки на Земле можно определить с помощью географической системы координат . Эта система определяет широту и долготу любого местоположения в виде углов, лежащих в центре Земли, используя экватор и (обычно) гринвичский меридиан в качестве ориентиров.

В астрономии заданная точка на небесной сфере (то есть видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любой из нескольких астрономических систем координат , где точки отсчета меняются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое разделение двух звезд , представляя две линии, проходящие через центр Земли , каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями можно измерить - это угловое расстояние между двумя звездами.

И в географии, и в астрономии направление визирования может быть указано в виде вертикального угла, такого как высота / возвышение по отношению к горизонту, а также азимут по отношению к северу .

Астрономы также измеряют видимый размер объектов как угловой диаметр . Например, полная луна имеет угловой диаметр примерно 0,5 °, если смотреть с Земли. Можно сказать: «Диаметр Луны составляет угол в полградуса». Формула малого угла может использоваться для преобразования такого углового измерения в отношение расстояния к размеру.

См. Также [ править ]

Биссектриса угла
Угловая скорость
Аргумент (комплексный анализ)
Астрологический аспект
Центральный угол
Проблема угла часов
Двугранный угол
Теорема о внешнем угле
Золотой угол
Расстояние большого круга
Вписанный угол
Иррациональный угол
Фаза (волны)
Транспортир
Телесный угол для концепции угла в трех измерениях.
Сферический угол
Превосходный угол
Трисекция
Зенитный угол

Примечания [ править ]

^ Этот подход, однако, требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса r , в дополнение к проблеме «выбранных единиц измерения». Более плавный подход заключается в измерении угла по длине соответствующей дуги единичной окружности. Здесь «единица» может быть выбрана безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным сегментом на реальной линии. См., Например, Радослав М. Димитрич. ^[19]

Ссылки [ править ]

^ Сидоров 2001
^ Слокум 2007
↑ Чисхолм, 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 177–178
^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 17 августа 2020 .
^ «Углы - острые, тупые, прямые и правые» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Угол" . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 .
^ «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 года .
Перейти ↑ Wong & Wong 2009 , pp. 161–163
^ Евклид . Элементы . Предложение I: 13.
^ a b Shute, Shirk & Porter 1960 , стр. 25–27.
Перейти ↑ Jacobs 1974 , p. 255.
^ "Дополнительные углы" . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .
^ a b Чисхолм 1911
^ «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .
Перейти ↑ Jacobs 1974 , p. 97.
^ Хендерсон и Таймина 2005 , стр. 104.
^ a b c Джонсон, Роджер А. Продвинутая евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.
^ Д. Цвиллинджер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 270как цитируется в Weisstein, Eric W. "Внешний угол" . MathWorld .
^ Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Обучение математике . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 года . Проверено 6 августа 2019 .
^ Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки . CUP Архив. п. 7 .
^ Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.
^ "Руководство программиста ooPIC - Глава 15: URCP" . ooPIC Руководство и технические характеристики - ooPIC Компилятор Ver 6.0 . Savage Innovations, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала на 2008-06-28 . Проверено 5 августа 2019 .
^ Харгривз, Шон . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано 30 июня 2019 года . Проверено 5 августа 2019 .
↑ Чисхолм, 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 178

Библиография [ править ]

Хендерсон, Дэвид В .; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Pearson Prentice Hall, стр. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
Heiberg, Johan Ludvig (1908), Heath, TL (ed.), Euclid , The Thirteen Books of Euclid's Elements, 1 , Cambridge : Cambridge University Press..
Сидоров, Л.А. (2001) [1994], "Угол" , Энциклопедия математики , EMS Press
Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, стр.97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
Слокум, Джонатан (2007), Предварительный индоевропейский лексикон - данные Pokorny PIE , исследовательский отдел Техасского университета: центр лингвистических исследований , данные получены 2 февраля 2010 г.
Шут, Уильям Дж .; Ширк, Уильям В .; Портер, Джордж Ф. (1960), Плоская и сплошная геометрия , American Book Company, стр. 25–27
Вонг, Так-вах; Вонг, Мин-сим (2009), «Углы в пересекающихся и параллельных линиях», New Century Mathematics , 1B (1-е изд.), Гонконг: Oxford University Press, стр. 161–163, ISBN 978-0-19-800177-5

Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в открытом доступе : Chisholm, Hugh, ed. (1911), " Угол ", Британская энциклопедия , 2 (11-е изд.), Cambridge University Press, стр. 14

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме « Углы (геометрия)» .

"Угол" , Британская энциклопедия , 2 (9-е изд.), 1878, стр. 29–30.

[20] Этот подход, однако, требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса r , в дополнение к проблеме «выбранных единиц измерения». Более плавный подход заключается в измерении угла по длине соответствующей дуги единичной окружности. Здесь «единица» может быть выбрана безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным сегментом на реальной линии. См., Например, Радослав М. Димитрич. ^[19]

[1] Сидоров 2001

[2] Слокум 2007

[3] Чисхолм, 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 177–178

[:0-4] «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 17 августа 2020 .

[5] «Углы - острые, тупые, прямые и правые» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .

[6] Вайсштейн, Эрик В. "Угол" . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 .

[7] «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 года .

[tb-8] Перейти ↑ Wong & Wong 2009 , pp. 161–163

[9] Евклид . Элементы . Предложение I: 13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-10] Shute, Shirk & Porter 1960 , стр. 25–27.

[FOOTNOTEJacobs1974255-11] Перейти ↑ Jacobs 1974 , p. 255.

[12] "Дополнительные углы" . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .

[Chisholm_1911-13] Чисхолм 1911

[14] «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .

[FOOTNOTEJacobs197497-15] Перейти ↑ Jacobs 1974 , p. 97.

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-16] Хендерсон и Таймина 2005 , стр. 104.

[Johnson-17] Джонсон, Роджер А. Продвинутая евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.

[18] Д. Цвиллинджер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 270как цитируется в Weisstein, Eric W. "Внешний угол" . MathWorld .

[Dimitric_2012-19] Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Обучение математике . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 года . Проверено 6 августа 2019 .

[Jeans_1947-21] Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки . CUP Архив. п. 7 .

[Murnaghan_1946-22] Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.

[ooPIC-23] "Руководство программиста ooPIC - Глава 15: URCP" . ooPIC Руководство и технические характеристики - ooPIC Компилятор Ver 6.0 . Savage Innovations, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала на 2008-06-28 . Проверено 5 августа 2019 .

[Hargreaves_2010-24] Харгривз, Шон . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано 30 июня 2019 года . Проверено 5 августа 2019 .

[25] Чисхолм, 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 178

[1]