В геометрии , то вписанная или вписанная окружность из треугольника является самым большим кругом , содержащийся в треугольнике; он касается ( касается ) трех сторон. Центр вписанной является треугольник центр под названием треугольника вписанной . [1]
Вневписанная или вневписанный круг [2] треугольник представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательная к одной из его сторон и касательной к продолжениям двух другихов . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. [3]
Центр вписанной окружности, называемый центром , можно найти как пересечение трех биссектрис внутреннего угла . [3] [4] Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (в вершине, например) и внешние биссектрисы двух других. Центр этой вневписанной окружности называется эксцентром относительно вершины.Или эксцентриком из. [3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . [5] : с. 182
Все правильные многоугольники имеют касательные со всех сторон вписанные окружности, но не все многоугольники; те, что есть, являются касательными многоугольниками . См. Также Касательные линии к окружностям .
Окружность и инцентр
Предполагать имеет вписанную окружность с радиусом и центр . Позволять быть длиной , длина , а также длина . Также позвольте, , а также быть точками соприкосновения, где вписанный круг касается , , а также .
Incenter
Вписанной является точкой , где внутренний угол биссектрисы из встретиться.
Расстояние от вершины к центру это: [ необходима ссылка ]
Трехлинейные координаты
Эти координаты трилинейных для точки в треугольнике есть отношение всех расстояний до сторон треугольника. Поскольку центр центра находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты центра центра равны [6]
Барицентрические координаты
В барицентрических координатах для точки в треугольнике Дайте весы таким образом, что точка является взвешенным средним позиций треугольника вершин. Барицентрические координаты инцентратора даются [ цитата ]
где , , а также - длины сторон треугольника, или, что то же самое (используя закон синусов ):
где , , а также - углы при трех вершинах.
Декартовы координаты
В декартовы координаты из вписанной представляют собой взвешенное среднее значение координат вершин с использованием трех длины сторон треугольника по отношению к периметру (то есть, используя барицентрические координаты , приведенные выше, нормированные на сумму к единице) в качестве весов. Веса положительны, так что центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в, , а также , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины , , а также , то стимул находится в [ ссылка ]
Радиус
Радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами длины , , дается [7]
- где
См . Формулу Герона .
Расстояния до вершин
Обозначая центр в виде , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению [8]
Кроме того, [9]
где а также - радиус описанной окружности и внутренний радиус треугольника соответственно.
Прочие свойства
Совокупность центров треугольников может быть задана структурой группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе стимул образует элемент идентичности . [6]
Вписанная окружность и ее свойства радиуса
Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания
Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например: [10]
Прочие свойства
Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на длины а также , а также , а также а также . Тогда вписанная окружность имеет радиус [11]
а площадь треугольника равна
Если высоты по сторонам длины, , а также находятся , , а также , то радиус составляет одну треть гармонического среднего этих высот; то есть [12]
Произведение на радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности треугольника со сторонами , , а также это [5] : 189, # 298 (d)
Некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности: [13]
Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). Для любого треугольника их может быть один, два или три. [14]
Обозначая центр вписанной окружности в виде , имеем [15]
и [16] : 121, # 84
Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот. [17] : 289
Квадратное расстояние от инцентратора до центра окружности дается по [18] : 232
- ,
и расстояние от центра до центра из девяти точек окружности является [18] : 232
Центр находится в среднем треугольнике (вершины которого являются серединами сторон). [18] : 233, лемма 1.
Отношение к площади треугольника
Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. [19] Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно, причем равенство сохраняется только для равносторонних треугольников . [20]
Предполагать имеет вписанную окружность с радиусом и центр . Позволять быть длиной , длина , а также длина . Теперь вписанная окружность касается в какой-то момент , и другие правильно. Таким образом, радиусэто высота над уровнем моря в. Следовательно, имеет базовую длину и высота , и площадь . По аналогии, имеет площадь а также имеет площадь . Поскольку эти три треугольника разлагаются, мы видим, что область это: [ необходима ссылка ]
- а также
где это площадь а также его полупериметр .
Для альтернативной формулы рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна а другая сторона равна . То же верно и для. Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, а его общая площадь составляет: [ необходима цитата ]
Треугольник Жергонна и точка
Gergonne треугольник (из) определяется тремя точками касания вписанной окружности с трех сторон. Точка соприкосновения напротив обозначается , так далее.
Этот треугольник Жергонна, , Также известная как контактный треугольник или Intouch треугольник из. Его площадь
где , , а также - площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр исходного треугольника, а, , а также - длины сторон исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания . [21]
Три линии , а также пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , обозначенной как(или центр треугольника X 7 ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в нем. [22]
Точка Жергонна треугольника имеет ряд свойств, в том числе то, что она является симедианной точкой треугольника Жергонна. [23]
Трилинейные координаты для вершин треугольника касания задаются [ ссылка ]
Трилинейные координаты для точки Жергонна даются [ ссылка ]
или, что то же самое, по закону синуса ,
Excircles и excenters
Вневписанная или вневписанный круг [24] треугольник представляет собой окружность , лежащая вне треугольника, касательная к одной из его сторон и касательной к продолжениям двух другихов . В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. [3]
Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (в вершине , например) и внешние биссектрисы двух других. Центр этой вневписанной окружности называется эксцентром относительно вершины.Или эксцентриком из. [3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . [5] : 182
Трехлинейные координаты эксцентров
В то время как вписанные вимеет трилинейные координаты , у эксцентриков есть трилинейки , , а также . [ необходима цитата ]
Exradii
Радиусы вневписанных окружностей называются эксрадиусами .
Экстрадиус вневписанной окружности напротив (так трогательно , с центром в ) равно [25] [26]
- где
См . Формулу Герона .
Вывод формулы exradii [27]
Пусть вневписанная окружность сбоку прикоснуться к стороне продлен в , и пусть радиус этой вневписанной окружности равен и его центр будет .
потом это высота , так имеет площадь . По аналогичному аргументу имеет площадь а также имеет площадь . Таким образом, площадь треугольника является
- .
Итак, по симметрии, обозначая как радиус вписанной окружности,
- .
По закону косинусов мы имеем
Объединяя это с идентичностью , у нас есть
Но , и другие
что является формулой Герона .
В сочетании с этим , у нас есть
По аналогии, дает
а также
Прочие свойства
Из приведенных выше формул видно, что вневписанная окружность всегда больше, чем вписанная, и что наибольшая вневписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вневписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает: [28]
Другие свойства вневписанной окружности
Круглая оболочка вневписанных окружностей внутренне касается каждой из вневписанных окружностей и, таким образом, является окружностью Аполлония . [29] Радиус этого круга Аполлония равен где - радиус вписанной окружности и - полупериметр треугольника. [30]
Между радиусом , радиус описанной окружности , полупериметр , а радиусы вневписанных окружностей , , : [13]
Окружность, проходящая через центры трех вневписанных окружностей, имеет радиус . [13]
Если является ортоцентр из, то [13]
Треугольник Нагеля и точка Нагеля
Nagel треугольник или extouch треугольник из обозначается вершинами , , а также это три точки, в которых вневписанные круги касаются ссылки и где противоположен и т. д. Это также известный как extouch треугольника из. Окружность из extouchназывается круг Mandart . [ необходима цитата ]
Три линии , а также называются разделителями треугольника; каждая из них делит пополам периметр треугольника, [ цитата необходима ]
Разделители пересекаются в одной точке, точка Нагеля треугольника (или центр треугольника X 8 ).
Трилинейные координаты для вершин треугольника вне касания задаются [ ссылка ]
Трилинейные координаты точки Нагеля даются [ ссылка ]
или, что то же самое, по закону синуса ,
Точка Нагеля изотомно сопряжена с точкой Жергонна. [ необходима цитата ]
Связанные конструкции
Девятиточный круг и точка Фейербаха
В геометрии круг из девяти точек - это круг, который можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных точек пересечения, определяемых треугольником. Вот эти девять пунктов : [31] [32]
- Середина каждой стороны треугольника
- Лапка каждой высоты
- Середина отрезка от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах).
В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность любого треугольника с девятью точками касается снаружи трех вневписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что: [ необходима цитата ]
- ... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах 1822 )
Центр треугольника, в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .
Внутренний и эксцентральный треугольники
Точки пересечения биссектрис внутреннего угла с сегментами , , и- вершины внутреннего треугольника . Трилинейные координаты вершин внутреннего треугольника задаются формулой [ необходимая цитата ]
Excentral треугольник опорного треугольника имеет вершины в центрах Вневписанных эталонного треугольника. Его стороны находятся на биссектрисах внешнего угла опорного треугольника (см. Рисунок вверху страницы ). Трилинейные координаты вершин эксцентрального треугольника задаются формулой [ необходима цитата ]
Уравнения для четырех кругов
Позволять - переменная точка в трилинейных координатах , и пусть, , . Четыре описанных выше кружка эквивалентны любому из двух приведенных уравнений: [33] : 210–215
- Вокруг:
- - внеокружность:
- - внеокружность:
- - внеокружность:
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:
где а также - радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно, и это расстояние между центром описанной окружности и центром.
Для вневписанных кругов уравнение аналогично:
где - радиус одной из вневписанных окружностей, а - это расстояние между центром описанной окружности и центром этой вневписанной окружности. [34] [35] [36]
Обобщение на другие полигоны
Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Эти четырехугольники называются касательными . Среди множества их свойств, пожалуй, наиболее важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито . [ необходима цитата ]
В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, который имеет вписанную окружность (то есть ту, которая касается каждой стороны), называется касательным многоугольником . [ необходима цитата ]
Смотрите также
- Circumgon
- Описанный круг - круг, проходящий через все вершины многоугольника.
- Экс касательный четырехугольник
- Теорема Харкорта - Площадь треугольника от его сторон и расстояния от вершин до любой прямой, касающейся его вписанной окружности.
- Circumconic и inconic - коническое сечение, которое проходит через вершины треугольника или касается его сторон.
- Вписанная сфера
- Сила точки
- Штайнер инеллипс
- Тангенциальный четырехугольник
- Теорема триллия - утверждение о свойствах вписанных и описанных кругов
Заметки
- ↑ Кей (1969 , стр.140)
- ^ Altshiller-суд (1925 , стр. 74)
- ^ a b c d e Альтшиллер-Корт (1925 , с. 73)
- ↑ Кей (1969 , стр.117)
- ^ a b c Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover, 2007 (исходный текст 1929 г.).
- ^ a b Энциклопедия треугольных центров, заархивированная 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , дата обращения 28 октября 2014 г.
- ↑ Кей (1969 , стр.201)
- ^ Аллер, Патрисия Р .; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство тождества эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165. .
- ^ Альтшиллер-Корт, Натан (1980), College Geometry , Dover Publications. # 84, стр. 121.
- ↑ Mathematical Gazette , июль 2003 г., 323-324.
- ↑ Чу, Томас, Пентагон , весна 2005 г., стр. 45, проблема 584.
- ↑ Кей (1969 , стр.203)
- ^ a b c d Белл, Эми, "Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратное и обобщение", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
- ^ Kodokostas, Димитриос, "Треугольник Эквалайзеры," Математика Magazine 83, апрель 2010, стр. 141-146.
- ^ Аллер, Патрисия Р .; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство тождества эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.
- ^ Altshiller-Суд, Натан. Геометрия колледжа , Dover Publications, 1980.
- ^ Posamentier, Альфред С. и Lehmann, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
- ^ а б в Францсен, Уильям Н. (2011). «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF) . Форум Геометрикорум . 11 : 231–236. Руководство по ремонту 2877263 ..
- ^ Coxeter, HSM "Введение в геометрию 2-е изд. Wiley, 1961".
- ^ Минда, Д., и Фелпс, С., «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены», American Mathematical Monthly 115, октябрь 2008 г., 679-689: Теорема 4.1.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Контактный треугольник". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
- ↑ Кристофер Дж. Брэдли и Джефф С. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
- ^ Деков, Деко (2009). "Компьютерная математика: точка Жергонна" (PDF) . Журнал компьютерной евклидовой геометрии . 1 : 1–14. Архивировано из оригинального (PDF) 05.11.2010.
- ^ Altshiller-суд (1925 , стр. 74)
- ^ Altshiller-суд (1925 , стр. 79)
- ↑ Кей (1969 , стр.202)
- ^ Altshiller-суд (1925 , стр. 79)
- ^ Бейкер, Маркус, "Сборник формул для площади плоского треугольника", Анналы математики , часть 1 в томе. 1 (6), январь 1885 г., 134–138. (См. Также часть 2 в томе 2 (1), сентябрь 1885, 11-18.)
- ↑ Гринберг, Дарий и Ю, Пол, «Круг Аполлония как круг Такера», Forum Geometricorum 2, 2002: стр. 175-182.
- ↑ Стеванович, Милорад Р., «Круг Аполлония и связанные с ним центры треугольников», Forum Geometricorum 3, 2003, 187–195.
- ^ Altshiller-суд (1925 , стр. 103-110)
- ^ Kay (1969 , стр. 18245)
- ^ Витворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 г. (ориг. Дейтон, Белл и Ко, 1866 г.). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
- ^ Нельсон, Роджер, "Неравенство треугольника Эйлера через доказательство без слов", Mathematics Magazine 81 (1), февраль 2008 г., стр. 58-61.
- ^ Джонсон, Р. А. Современная геометрия , Houghton Mifflin, Бостон, 1929: стр. 187.
- ↑ Емельянов, Лев, и Емельянова, Татьяна. «Формула Эйлера и пористость Понселе», Forum Geometricorum 1, 2001: стр. 137–140.
Рекомендации
- Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 52013504
- Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN 69012075
- Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
- Поцелуй, Шандор (2006). "Ортопедические и интуитивно понятные треугольники". Форум Geometricorum (6): 171–177.
Внешние ссылки
- Вывод формулы для радиуса вписанной окружности треугольника
- Вайсштейн, Эрик В. «Окружение» . MathWorld .
Интерактивный
- Треугольник, вписанный в окружность, окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
- Построение центра / вписанной окружности треугольника с помощью циркуля и линейки Интерактивная анимированная демонстрация
- Теорема о равных вписанных окружностях при разрубании узла
- Теорема о пяти вписанных окружностях при разрубании узла
- Пары вписанных окружностей в четырехугольник в разрубленном узле
- Интерактивный Java-апплет для Incenter