| Геометрия |
|---|
 |
| Геометры |
Абсолютная геометрия является геометрией на основе системы аксиом для евклидовой геометрии без постулата или любым из его вариантов. Традиционно это означало использование только первых четырех постулатов Евклида , но, поскольку их недостаточно в качестве основы евклидовой геометрии, используются другие системы, такие как аксиомы Гильберта без аксиомы параллельности. [1] Термин был введен Бойяй в 1832. [2] Это иногда называют нейтральную геометрией , [3] , поскольку это является нейтральным по отношению к постулату.
Свойства [ править ]
Можно подумать, что абсолютная геометрия - довольно слабая система, но это не так. Действительно, в « Элементах » Евклида первые 28 предложений и предложение 31 избегают использования постулата параллельности и, следовательно, справедливы в абсолютной геометрии. В абсолютной геометрии можно также доказать теорему о внешнем угле (внешний угол треугольника больше любого из удаленных углов), а также теорему Саккери – Лежандра , которая утверждает, что сумма мер углов в треугольник имеет не более 180 °. [4]
Предложение 31 - это построение прямой, параллельной данной прямой, через точку не на данной прямой. [5] Поскольку для доказательства требуется только использование предложения 27 (теорема об альтернативном внутреннем угле), это верная конструкция в абсолютной геометрии. Точнее, для любой прямой l и любой точки P, не лежащей на l , существует по крайней мере одна прямая, проходящая через P, которая параллельна l . Это можно доказать, используя знакомую конструкцию: для прямой l и точки P, не лежащих на l , опустите перпендикуляр m с P нал , а затем возвести перпендикулярную п к т через P . По теореме об альтернативном внутреннем угле l параллельно n . (Теорема об альтернативном внутреннем угле утверждает, что если прямые a и b пересекаются трансверсалью t таким образом, что существует пара совпадающих альтернативных внутренних углов, то a и b параллельны.) Вышеупомянутая конструкция и теорема об альтернативном внутреннем угле не зависят от постулата параллельности и, следовательно, верны в абсолютной геометрии. [6]
В абсолютной геометрии также доказуемо , что две линии , перпендикулярная к той же линии не может пересекаться (что делает эти две линии параллельно по определению параллельных линий), доказывают , что углы вершины Саккери четырехугольника не могут быть тупыми , и что сферическая геометрия не является абсолютная геометрия.
Связь с другими геометриями [ править ]
Теоремы абсолютной геометрии верны в гиперболической геометрии , которая является неевклидовой геометрией , а также в евклидовой геометрии . [7]
Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в этой теории вообще нет параллельных прямых, но это теорема абсолютной геометрии, что параллельные прямые действительно существуют. Однако можно изменить систему аксиом так, чтобы абсолютная геометрия, определенная модифицированной системой, включала сферическую и эллиптическую геометрии, не имеющие параллельных линий. [8]
Абсолютная геометрия - это расширение упорядоченной геометрии , и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии верны в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает, что первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты) противопоставляются аффинной геометрии , которая не принимает третью и четвертую аксиомы Евклида. (3: «Чтобы описать круг с любым центром и радиусом расстояния .», 4: «Все прямые углы равны друг другу».) Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии. [9]
Геометрия специальной теории относительности была разработана , начиная с девятью аксиом и одиннадцать положений абсолютной геометрии. [10] [11] Затем авторы Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис выходят за рамки абсолютной геометрии, когда они вводят гиперболическое вращение как преобразование, связывающее две системы отсчета .
Плоскости Гильберта [ править ]
Плоскость, удовлетворяющая аксиомам Гильберта инцидентности , промежуточности и конгруэнтности, называется плоскостью Гильберта . [12] Гильбертовые плоскости являются моделями абсолютной геометрии. [13]
Неполнота [ править ]
Абсолютная геометрия - это неполная аксиоматическая система в том смысле, что можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом противоречивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллельных прямых и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно.
См. Также [ править ]
- Аффинная геометрия
- Программа Эрланген
- Основы геометрии
- Геометрия падения
- Неевклидова геометрия
Заметки [ править ]
- Перейти ↑ Faber 1983 , pg. 131
- ^ В « Приложении, демонстрирующем абсолютную науку о космосе: независимо от истинности или ложности Аксиомы XI Евклида (ни в коем случае не решенной ранее) » ( Faber 1983 , pg. 161)
- ^ Гринберг цитирует В. Преновица и М. Джордана (Гринберг, стр. Xvi) за то, что они использовали термин нейтральная геометрия для обозначения той части евклидовой геометрии, которая не зависит от постулата Евклида о параллельности. Он говорит, что слово « абсолют» в абсолютной геометрии ошибочно подразумевает, что все остальные геометрии зависят от него.
- ^ Видно несовместимость абсолютной геометрии с эллиптической геометрией, потому что в последней теории все треугольники имеют суммы углов больше 180 °.
- Перейти ↑ Faber 1983 , p. 296
- Перейти ↑ Greenberg 2007 , p. 163
- ^ Действительно, абсолютная геометрия на самом деле является пересечением гиперболической геометрии и евклидовой геометрии, когда они рассматриваются как наборы утверждений.
- Перейти ↑ Ewald, G. (1971), Geometry: An Introduction , Wadsworth
- ^ Косетер 1969 , стр. 175-6
- ^ Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) "Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма" Труды Американской академии искусств и наук 48: 387–507
- ^ Синтетическое пространство-время , сборник используемых аксиом и доказанных теорем Уилсоном и Льюисом. Архивировано WebCite
- Перейти ↑ Hartshorne, 2005 , p.97
- ^ Гринберг 2010 , p.200
Ссылки [ править ]
- Кокстер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons
- Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
- Гринберг, Марвин Джей (2007), Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
- Гринберг, Марвин Джей (2010), «Старые и новые результаты в основах элементарной плоской евклидовой и неевклидовой геометрии» (PDF) , Mathematical Association of America Monthly , 117 : 198–219
- Хартсхорн, Робин (2005), Геометрия: Евклид и дальше , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
- Памбуккейн, Виктор Аксиоматизация гиперболической и абсолютной геометрий , в: Неевклидовы геометрии (А. Прекопа и Э. Мольнар, ред.). Мемориальный том Яноша Бойяи. Доклады международной конференции по гиперболической геометрии, Будапешт, Венгрия, 6–12 июля 2002 г. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer, 119–153, 2006.
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с абсолютной геометрией на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная геометрия» . MathWorld .
