Ультрапродукт

Ультрапроизведение является математической конструкцией , которая проявляется главным образом в абстрактной алгебре и математической логике , в частности , в теории моделей и теории множеств . Ультрапродукт - это частное от прямого произведения семейства структур . Все факторы должны иметь одинаковую подпись . Ультрастепень является частным случаем этой конструкции , в которой все факторы равны.

Например, сверхспособности можно использовать для создания новых полей из заданных. В гиперреальном числе , ультрастепени из действительных чисел , являются частным случаем этого.

Некоторые яркие приложения ультрапроизведений включают очень элегантные доказательства своей теоремы компактности и полноту теоремы , Кейслер «s ультрастепень теорему, которая дает алгебраическую характеристику семантического понятия элементарной эквивалентности, и представление Robinson-zákon использования надстроек и их мономорфизмы для построения нестандартных моделей анализа, ведущих к росту области нестандартного анализа , который был впервые предложен (как приложение теоремы компактности) Абрахамом Робинсоном .

Определение [ править ]

Общий метод получения ультрапроизведений использует множество индексов I , в структуру M _I для каждого элемента I из I (все той же подписи ), и ультрафильтр U на I . Обычно это рассматривается в случае, когда I бесконечно, а U содержит все кофинитные подмножества I , т. Е. U не является главным ультрафильтром . В основном случае ультрапроизведение изоморфно одному из факторов.

Алгебраические операции над декартовым произведением

${\ displaystyle \ prod _ {я \ in I} M_ {i}}$

определены поточечно (например, для двоичной функции +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ), а отношение эквивалентности определяется a ~ b, если

${\ displaystyle \ left \ {я \ in I: a_ {i} = b_ {i} \ right \} \ in U,}$

а ультрапроизведение является фактормножеством по ~. Поэтому ультрапродукт иногда обозначают как

${\ displaystyle \ prod _ {я \ in I} M_ {i} / U.}$

Можно определить конечно-аддитивную меру m на индексном множестве I , сказав, что m ( A ) = 1, если A ∈ U, и = 0 в противном случае. Тогда два члена декартового произведения эквивалентны в точности, если они равны почти всюду на множестве индексов. Ультрапродукт - это совокупность сгенерированных таким образом классов эквивалентности.

Таким же образом можно расширить и другие отношения :

${\ displaystyle R ([a ^ {1}], \ dots, [a ^ {n}]) \ iff \ left \ {i \ in I: R ^ {M_ {i}} (a_ {i} ^ { 1}, \ dots, a_ {i} ^ {n}) \ right \} \ in U,}$

где [ а ] обозначает класс эквивалентности а по отношению к ~.

В частности, если каждое M _i является упорядоченным полем , то и ультрапроизведение - тоже.

Ультрастепень является ультрапроизведением , для которого всех факторов M _я равен:

${\ Displaystyle M ^ {I} / U = \ prod _ {я \ in I} M / U. \,}$

В более общем смысле приведенное выше построение может быть выполнено всякий раз, когда U является фильтром на I ; получившаяся модель называется сокращенным продуктом .${\ displaystyle \ prod _ {я \ in I} M_ {i} / U}$

Примеры [ править ]

В Гипердействительных номерах являются ультрапроизведением одной копии действительных чисел для каждого натурального числа, в отношении ультрафильтра над натуральными числами , содержащих все коконечны наборами. Их порядок является продолжением порядка действительных чисел. Например, последовательность ω, заданная ω _i  =  i, определяет класс эквивалентности, представляющий гиперреалистическое число, которое больше любого действительного числа.

Аналогичным образом можно определить нестандартные целые числа , нестандартные комплексные числа и т. Д., Взяв ультрапроизведение копий соответствующих структур.

В качестве примера переноса отношений в ультрапроизведение рассмотрим последовательность ψ, определенную формулой ψ _i  = 2 i . Поскольку ψ _i  >  ω _i  =  i для всех i , отсюда следует, что класс эквивалентности ψ _i  = 2 i больше, чем класс эквивалентности ω _i  =  i , поэтому его можно интерпретировать как бесконечное число, которое больше, чем тот, который изначально был построен. Однако пусть χ _i  =  i для i, не равного 7, нох ₇  = 8. Набор индексов, по которым совпадают со и х, является членом любого ультрафильтра (поскольку со и х совпадают почти всюду), поэтому со и х принадлежат одному классу эквивалентности.

В теории больших кардиналов , стандартная конструкция взять ультрапроизведение всей теоретико-множественной вселенной относительно некоторой тщательно выбраны Ультрафильтр U . Свойства этого ультрафильтра U имеют сильное влияние на свойства ультрапродукта (более высокого порядка); например, если U является σ -полным, то ультрапродукт снова будет хорошо обоснованным. (См. Измеримый кардинал в качестве прототипа.)

Теорема Лоса [ править ]

Теорема Лося, также называемая фундаментальной теоремой об ультрапроизведениях , принадлежит Ежи Лосю (фамилия произносится[ˈWɔɕ] , примерно «стирка»). Он утверждаетчто любая первый порядок формула верна в ультрапроизведениях тогда и только тогдакогда множество индексов я такиечто формула верна в М _я является членом U . Точнее:

Пусть σ - сигнатура, ультрафильтр над множеством , и пусть для каждого - σ -структура. Позвольте быть ультрапроизведением относительно , то есть, Тогда для каждого , где и для каждой σ- формулы ,${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M = \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U.}$${\ displaystyle a ^ {1}, \ ldots, a ^ {n} \ in \ prod M_ {i}}$${\ displaystyle a ^ {k} = (a_ {i} ^ {k}) _ {я \ in I}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle M \ models \ phi [[a ^ {1}], \ ldots, [a ^ {n}]] \ iff \ {i \ in I: M_ {i} \ models \ phi [a_ {i} ^ {1}, \ ldots, a_ {i} ^ {n}] \} \ в U.}$

Теорема доказывается индукцией по сложности формулы . Тот факт, что является ультрафильтром (а не просто фильтром), используется в предложении отрицания, а аксиома выбора необходима на этапе квантификатора существования. В качестве приложения получается теорема переноса для гиперреальных полей .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle U}$

Примеры [ править ]

Пусть R будет унарное отношение в структуре М , и образуют ультрастепень М . Тогда множество имеет аналог ^* S в ультрастепени и формулы первого порядка с участием S справедливы и для ^* S . Например, пусть M - действительные числа, и пусть Rx - верное число, если x - рациональное число. Тогда в M мы можем сказать, что для любой пары рациональных чисел x и y существует другое число z такое, что z не рационально и x  <  z  <  y${\ Displaystyle S = \ {х \ в M | Rx \}}$. Поскольку это может быть переведено в логическую формулу первого порядка на соответствующем формальном языке, из теоремы Лоса следует, что ^* S обладает тем же свойством. То есть мы можем определить понятие гиперрациональных чисел, которые являются подмножеством гиперреальных чисел, и они имеют те же свойства первого порядка, что и рациональные числа.

Однако рассмотрим архимедово свойство вещественных чисел, которое гласит, что не существует действительного числа x такого, что x  > 1, x  > 1 + 1, x  > 1 + 1 + 1, ... для каждого неравенства в бесконечном списке. . Теорема Лоса не применима к свойству Архимеда, потому что свойство Архимеда не может быть указано в логике первого порядка. Фактически, свойство архимеда неверно для гиперреалов, как показано построением гиперреального числа ω выше.

Прямые пределы сверхспособностей (ультралиты) [ править ]

Для ультрапроизведения последовательности метрических пространств см Ultralimit .

В теории моделей и теории множеств , то прямой предел последовательности ультрастепеней часто рассматриваются. В теории моделей эту конструкцию можно назвать сверхпредельной или предельной сверхмощностью .

Начиная со структуры A ₀ и ультрафильтра D ₀ , они образуют сверхмощность A ₁ . Затем повторите процесс, чтобы сформировать A ₂ , и так далее. Для каждого n существует каноническое диагональное вложение . На предельных стадиях, таких как A _ω , образуют прямой предел более ранних стадий. Можно продолжить трансфинитное.${\ displaystyle A_ {n} \ to A_ {n + 1}}$

См. Также [ править ]

• Теорема компактности  - Теорема
• Теорема Левенгейма – Сколема
• Принцип переноса  - что все утверждения одного языка, которые верны для одной структуры, верны для другой структуры.

Ссылки [ править ]

• Белл, Джон Лейн; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N .; Санкаппанавар, HP (2000) [1981]. Курс универсальной алгебры (изд. Millennium).