Pointclass

В математической области дескриптивной теории множеств , pointclass представляет собой совокупность наборов из точек , где точка находится обычно понимаются как элемент некоторого идеального польского пространства . На практике класс точек обычно характеризуется некоторым свойством определимости ; например, совокупность всех открытых множеств в некотором фиксированном наборе польских пространств является точечным классом. (Открытое множество можно рассматривать как в некотором смысле определимое, потому что оно не может быть чисто произвольным набором точек; для любой точки в наборе все точки, достаточно близкие к этой точке, также должны быть в наборе.)

Классы точек находят применение при формулировании многих важных принципов и теорем теории множеств и реального анализа . Сильные теоретико-множественные принципы могут быть сформулированы в терминах детерминированности различных классов точек, что, в свою очередь, означает, что множества в этих классах точек (или иногда более крупных) обладают свойствами регулярности, такими как измеримость по Лебегу (и действительно универсальная измеримость ), свойство Бэра. , и идеальное свойство набора .

Базовая структура [ править ]

На практике теоретики описательных множеств часто упрощают дело, работая в фиксированном польском пространстве, таком как пространство Бэра или иногда пространство Кантора , каждое из которых имеет то преимущество, что оно нульмерно и действительно гомеоморфно его конечным или счетным степеням, так что рассмотрение размерность никогда не возникает. Яннис Мощовакис обеспечивает большую общность, фиксируя раз и навсегда набор основных польских пространств, включая набор всех натуральных чисел, набор всех действительных чисел, пространство Бэра и пространство Кантора, а также позволяя читателю добавить любой желаемый идеальный польский язык. Космос. Затем он определяет пространство произведения как любое конечное декартово произведениеэтих основных пространств. Тогда, например, класс точек всех открытых множеств означает совокупность всех открытых подмножеств одного из этих пространств продуктов. Такой подход препятствует тому, чтобы быть надлежащим классом , избегая при этом чрезмерной специфичности в отношении конкретных рассматриваемых польских пространств (учитывая, что основное внимание уделяется тому факту, что это набор открытых множеств, а не самим пространствам).${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}}$

Классы точек жирным шрифтом [ править ]

Классы точек в иерархии Бореля и в более сложной проективной иерархии представлены греческими буквами с дополнительным и сверхскриптом, выделенными жирным шрифтом; например, является точечным классом всех замкнутых множеств , является точечным классом всех F _σ множеств, является совокупностью всех множеств, которые одновременно являются F _σ и G _δ , и является точечным классом всех аналитических множеств .${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta}} _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}}$

Наборы в таких классах точек должны быть "определяемыми" только до определенной точки. Например, каждый синглтон, установленный в польском пространстве, закрыт, и поэтому . Следовательно, не может быть, чтобы каждый набор был «более определимым», чем произвольный элемент польского пространства (скажем, произвольное действительное число или произвольная счетная последовательность натуральных чисел). Тем не менее, выделенные жирным шрифтом точечные классы могут (и на практике обычно требуют), чтобы множества в классе были определяемыми относительно некоторого действительного числа, взятого за оракул . В этом смысле принадлежность точечному классу, выделенному жирным шрифтом, является свойством определимости, даже если это не абсолютная определимость, а только определимость относительно возможно неопределимого действительного числа.${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {0}}$

Точечные классы, выделенные жирным шрифтом, или, по крайней мере, обычно рассматриваемые, замкнуты относительно сводимости Вэджа ; то есть, для данного набора в классе точек, его прообраз при непрерывной функции (от пространства продукта до пространства, подмножеством которого является данный набор) также находится в данном классе точек. Таким образом, выделенный жирным шрифтом класс точек представляет собой замкнутое вниз объединение степеней Вэджа .

Классы точек Lightface [ править ]

У борелевской и проективной иерархий есть аналоги в эффективной дескриптивной теории множеств, в которой свойство определимости больше не относят к оракулу, а делают его абсолютным. Например, если зафиксировать некоторый набор основных открытых окрестностей (скажем, в пространстве Бэра, набор множеств вида { x ∈ω ^ω | s является начальным сегментом x } для каждой фиксированной конечной последовательности s натуральных чисел) , то открытые множества или могут быть охарактеризованы как все (произвольные) объединения базовых открытых окрестностей. Аналогичные множества со световым лицом больше не являются произвольными объединениями таких окрестностей, а являются вычислимыми.${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Sigma}$их союзы. То есть множество является световым , также называемым эффективно открытым , если существует вычислимое множество S конечных последовательностей натуральных чисел такое, что данное множество является объединением множеств { x ∈ω ^ω | s представляет собой начальный отрезок х } , для S в S .${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$

Набор является светлым, если он является дополнением набора. Таким образом, каждый набор имеет по крайней мере один индекс , который описывает вычислимую функцию, перечисляя основные открытые наборы, из которых он состоит; на самом деле таких индексов у него будет бесконечно много. Аналогичным образом , индекс для множества B описывает вычислимую функцию , перечисляющую основные открытые множества в дополнении B .${\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$

Множество A является легким, если оно является объединением вычислимой последовательности множеств (то есть существует вычислимое перечисление индексов множеств, такое что A является объединением этих множеств). Эта связь между наборами лайтфейсов и их индексами используется для расширения борелевской иерархии лайтфейсов до трансфинитных посредством рекурсивных ординалов . Это создает ту гиперарифметическую иерархию , которая является светолицым аналогом иерархии Бореля. (Конечные уровни гиперарифметической иерархии известны как арифметическая иерархия .)${\ displaystyle \ Sigma _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$

Аналогичный подход можно применить к проективной иерархии. Его лайтфейсный аналог известен как аналитическая иерархия .

Резюме [ править ]

Каждый класс по крайней мере такой же большой, как классы над ним.

Ссылки [ править ]

• Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0.