В математической области описательной теории множеств подмножествоиз польского пространства является проективным, если это для некоторого положительного целого числа . Здесь является
- если является аналитической
- если дополнение в, , является
- если есть польское пространство и подмножество такой, что это проекция ; это,
Выбор польского пространства в третьем пункте выше не очень важно; он может быть заменен в определении по фиксированному несчетному польскому пространству, скажем бэровская или Cantor пространства или реальная линия .
Отношение к аналитической иерархии
Существует тесная связь между релятивизированной аналитической иерархией на подмножествах пространства Бэра (обозначенных светлыми буквами а также ) и проективной иерархии на подмножествах пространства Бэра (обозначены жирными буквами а также ). Не каждый подмножество пространства Бэра . Однако верно, что если подмножество X пространства Бэратогда существует набор натуральных чисел A такой, что X является. Аналогичное утверждение верно длянаборы. Таким образом, наборы, классифицируемые проективной иерархией, являются в точности наборами, классифицированными релятивизированной версией аналитической иерархии. Эта взаимосвязь важна для эффективной дескриптивной теории множеств .
Аналогичная взаимосвязь между проективной иерархией и релятивизированной аналитической иерархией имеет место для подмножеств пространства Кантора и, в более общем плане, подмножеств любого эффективного польского пространства .
Таблица
Lightface | Жирный шрифт | ||
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (иногда то же самое, что Δ0 1) | Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (если определено) | ||
Δ0 1= рекурсивный | Δ0 1= clopen | ||
Σ0 1= рекурсивно перечислимый | Π0 1 = ко-рекурсивно перечислимый | Σ0 1= G = открытый | Π0 1= F = закрыто |
Δ0 2 | Δ0 2 | ||
Σ0 2 | Π0 2 | Σ0 2= F σ | Π0 2= G δ |
Δ0 3 | Δ0 3 | ||
Σ0 3 | Π0 3 | Σ0 3= G δσ | Π0 3= F σδ |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= арифметический | Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = жирный арифметический | ||
⋮ | ⋮ | ||
Δ0 α(α рекурсивный ) | Δ0 α(α счетно ) | ||
Σ0 α | Π0 α | Σ0 α | Π0 α |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 ωСК 1 = Π0 ωСК 1 = Δ0 ωСК 1 = Δ1 1= гиперарифметический | Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = Борель | ||
Σ1 1 = лайтфейс аналитический | Π1 1 = световой коаналитический | Σ1 1= A = аналитический | Π1 1= CA = коаналитический |
Δ1 2 | Δ1 2 | ||
Σ1 2 | Π1 2 | Σ1 2 = PCA | Π1 2 = CPCA |
Δ1 3 | Δ1 3 | ||
Σ1 3 | Π1 3 | Σ1 3 = PCPCA | Π1 3 = CPCPCA |
⋮ | ⋮ | ||
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= аналитический | Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = проективный | ||
⋮ | ⋮ |
Рекомендации
- Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
- Роджерс, Хартли (1987) [1967], Теория рекурсивных функций и эффективной вычислимости , первое издание MIT в мягкой обложке, ISBN 978-0-262-68052-3