В математической области топологии , A G & delta множество является подмножеством из топологического пространства , которое является счетным пересечением из открытых множеств . Обозначения возникли в немецком языке с G для Gebiet ( немецкий : область или район), означающего открытое множество в этом случае и δ для Durchschnitt ( немецкий : пересечение). [ необходима цитата ] Также используется термин внутренний ограничивающий набор . G δ множеств, и их двойственные Fσ множества , являются вторым уровнем борелевской иерархии .
Определение
В топологическом неформатированном пространстве G & delta множество является счетным пересечением из открытых множеств . Множества G δ - это в точности уровень Π0
2множества борелевской иерархии .
Примеры
- Любое открытое множество тривиально является множеством G δ .
- Эти иррациональные числа являются G & delta множество в действительных чисел R . Они могут быть записаны в виде счетного пересечения открытых множеств { д } с , где Q является рациональным .
- Множество рациональных чисел Q является не а ^ & delta множество в R . Если Q были пересечение открытых множеств А п , каждый из А п будет плотно в R , так как Q плотно в R . Однако приведенная выше конструкция дала иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустое множество как счетное пересечение открытых плотных множеств в R , что является нарушением теоремы Бэра о категории .
- Множество непрерывности любой вещественной функции является G & delta подмножество своей области (смотрите раздел свойства для более общего и полного заявления).
- Множество нулей производной всюду дифференцируемой вещественнозначной функции на R является множеством G δ ; это может быть плотное множество с пустой внутренней частью , как показывает конструкция Помпейу .
Более сложный пример множества G δ дается следующей теоремой:
Теорема: множествосодержит плотное G δ подмножество метрического пространства. (См. Функцию Вейерштрасса § Плотность нигде не дифференцируемых функций .)
Характеристики
Понятие множеств G δ в метрических (и топологических ) пространствах связано с понятием полноты метрического пространства, а также с теоремой Бэра о категории . См. Результат о полностью метризуемых пространствах в списке свойств ниже.
множества и их дополнения также важны в реальном анализе , особенно в теории меры .
Основные свойства
- Дополнением множества А G & delta множества является F сг множество, и наоборот.
- Пересечение счетного числа множеств G δ является множеством G δ .
- Объединение конечного числа множеств G δ является множеством G δ .
- Счетное объединение G δ множеств (которое можно было бы назвать G δσ множеством), вообще говоря , не является G δ множеством. Например, рациональные числа Q не образуют G & delta множество в R .
- В топологическом пространстве нулевое множество каждой действительной непрерывной функцииявляется множеством G δ , так как является пересечением открытых множеств , .
- В метризуемом пространстве каждое замкнутое множество является множеством G δ и, соответственно, каждое открытое множество является множеством F σ . [1] Действительно, замкнутое множество - нулевое множество непрерывной функции , где указывает расстояние от точки до набора . То же самое и в псевдометризуемых пространствах.
- В первом счетном пространстве T 1 каждый элемент является множеством G δ . [2]
- Подпространство из полностью метризуемых пространств X сам по себе вполне метризуемо тогда и только тогда , когда является G & delta множества в X . [3] [4]
Следующие результаты относятся к польским пространствам : [5]
- Позволять быть польским пространством. Тогда подмножествос топологией подпространства польская тогда и только тогда, когда это G δ, множество.
- Топологическое пространство польский тогда и только тогда, когда он гомеоморфен G δ подмножеству компактного метрического пространства .
Множество непрерывности действительных функций
Свойство множеств состоит в том, что они - возможные множества, на которых функция из топологического пространства в метрическое пространство непрерывна . Формально: множество точек, в которых такая функция непрерывно является набор. Это потому, что непрерывность в точке можно определить как формула, а именно: для всех положительных целых чисел , есть открытый набор содержащий такой, что для всех в . Если значение фиксировано, набор для которого существует такое открытое сам является открытым множеством (являющимся объединением открытых множеств), а универсальный квантор насоответствует (счетному) пересечению этих множеств. В реальной строке верно и обратное; для любого G δ подмножество вещественной прямой, существует функция F : R → R , непрерывная точно в точках A . Как следствие, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. Функцию попкорна ), невозможно построить функцию, которая была бы непрерывной только на рациональных числах.
G δ пространство
A G & delta ; пространство [6] является топологическим пространством , в котором каждое замкнутое множество является G & delta ; множество ( Джонсон 1970 ). Нормальное пространство , которое является также G & delta пространства называется совершенно нормальным . Например, любое метризуемое пространство совершенно нормально.
Смотрите также
- F σ множество , двойственное понятие; обратите внимание, что «G» - немецкий ( Gebiet ), а «F» - французский ( fermé ).
- P -пространство , любое пространство, обладающее тем свойством, что каждоемножествоG δ открыто
Заметки
- ^ Уиллард, 15С, стр. 105
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/1882733
- ^ Уиллард, теорема 24.12, с. 179
- ^ Энгелькинг, теоремы 4.3.23 и 4.3.24 на стр. 274. Из исторических заметок на с. 276, прямая импликация была показана в частном случае С. Мазуркевичем и в общем случае М. Лаврентьевым; обратная импликация была показана в частном случае П. Александровым и в общем случае Ф. Хаусдорфом.
- ^ Фремлин, стр. 334
- ^ Стин и Зеебах, стр. 162
Рекомендации
- Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
- Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . ван Ностранд . п. 134 .
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Руководство по ремонту 0507446 .
- Fremlin, DH (2003) [2003]. «4, Общая топология». Теория меры, Том 4 . Петербург, Англия: Логистика электронных книг. ISBN 0-9538129-4-4. Архивировано из оригинала на 1 ноября 2010 года . Проверено 1 апреля 2011 года .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Dover 1970 года), Addison-Wesley
- Джонсон, Рой А. (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник . 77 (2): 172–176. DOI : 10.2307 / 2317335 . JSTOR 2317335 .