В математической области дескриптивной теории множеств , pointclass представляет собой совокупность наборов из точек , где точка находится обычно понимаются как элемент некоторого идеального польского пространства . На практике класс точек обычно характеризуется некоторым свойством определимости ; например, совокупность всех открытых множеств в некотором фиксированном наборе польских пространств является точечным классом. (Открытое множество может рассматриваться как в некотором смысле определимое, потому что оно не может быть чисто произвольным набором точек; для любой точки в наборе все точки, достаточно близкие к этой точке, также должны быть в наборе.)
Классы точек находят применение при формулировании многих важных принципов и теорем теории множеств и реального анализа . Сильные теоретико-множественные принципы могут быть сформулированы в терминах детерминированности различных точечных классов, что, в свою очередь, означает, что множества в этих точечных классах (или иногда более крупных) обладают свойствами регулярности, такими как измеримость по Лебегу (и действительно универсальная измеримость ), свойство Бэра. , и идеальное свойство набора .
Базовая структура
На практике теоретики описательных множеств часто упрощают дело, работая в фиксированном польском пространстве, таком как пространство Бэра или иногда пространство Кантора , каждое из которых имеет то преимущество, что оно нульмерно и действительно гомеоморфно его конечным или счетным степеням, так что рассмотрение размерность никогда не возникает. Яннис Мощовакис обеспечивает большую универсальность, фиксируя раз и навсегда набор основных польских пространств, включая набор всех натуральных чисел, набор всех действительных чисел, пространство Бэра и пространство Кантора, а также позволяя читателю добавить любой желаемый идеальный польский язык. космос. Затем он определяет пространство продукта как любое конечное декартово произведение этих базовых пространств. Тогда, например, pointclassвсех открытых множеств означает совокупность всех открытых подмножеств одного из этих пространств продукта. Такой подход предотвращаетот того, чтобы быть надлежащим классом , избегая при этом чрезмерной специфичности в отношении конкретных рассматриваемых польских пространств (учитывая, что основное внимание уделяется тому факту, что представляет собой набор открытых множеств, а не на самих пространствах).
Классы точек жирным шрифтом
Классы точек в иерархии Бореля и в более сложной проективной иерархии представлены греческими буквами с дополнительным и сверхскриптом, выделенными жирным шрифтом; Например,класс точек всех замкнутых множеств ,класс точек всех F σ множеств,- совокупность всех множеств, одновременно являющихся F σ и G δ , аявляется точечным классом всех аналитических множеств .
Множества в таких классах точек должны быть "определяемыми" только до определенной точки. Например, каждый синглтон, установленный в польском пространстве, закрыт, и, следовательно,. Следовательно, не может быть, чтобы каждыйset должен быть «более определимым», чем произвольный элемент польского пространства (скажем, произвольное действительное число или произвольная счетная последовательность натуральных чисел). Тем не менее, точечные классы, выделенные жирным шрифтом, могут (и на практике обычно требуют), чтобы множества в классе были определены относительно некоторого действительного числа, взятого за оракул . В этом смысле принадлежность к классу точек, выделенному жирным шрифтом, является свойством определимости, даже если это не абсолютная определимость, а только определимость относительно возможно неопределимого действительного числа.
Точечные классы, выделенные жирным шрифтом, или, по крайней мере, обычно рассматриваемые, замкнуты относительно сводимости Вэджа ; то есть, для данного набора в классе точек, его прообраз при непрерывной функции (из пространства продуктов в пространство, подмножеством которого является данный набор) также находится в данном классе точек. Таким образом, выделенный жирным шрифтом класс точек представляет собой замкнутое вниз объединение степеней Уэджа .
Классы точек Lightface
У борелевской и проективной иерархий есть аналоги в эффективной дескриптивной теории множеств, в которой свойство определимости больше не относят к оракулу, а делают его абсолютным. Например, если зафиксировать некоторый набор основных открытых окрестностей (скажем, в пространстве Бэра, набор множеств вида { x ∈ω ω | s является начальным сегментом x } для каждой фиксированной конечной последовательности s натуральных чисел) , то открытое, или, множества можно охарактеризовать как все (произвольные) объединения базовых открытых окрестностей. Аналогичный наборы, со светлым лицом , больше не являются произвольными объединениями таких окрестностей, а являются их вычислимыми объединениями. То есть набор лайтфейстакже называется эффективно открытым , если существует вычислимое множество S конечных последовательностей натуральных чисел такое, что данное множество является объединением множеств { x ∈ω ω | s представляет собой начальный отрезок х } , для S в S .
Набор лайтфейс если это дополнение к набор. Таким образом, каждыйset имеет по крайней мере один индекс , который описывает вычислимую функцию, перечисляя базовые открытые множества, из которых он состоит; на самом деле таких индексов у него будет бесконечно много. Аналогично, индекс дляМножество B описывает вычислимой функции , перечисляющий основные открытые множества в дополнении B .
Набор А светолицый если это объединение вычислимой последовательности множеств (то есть существует вычислимое перечисление индексов такие множества, что A - объединение этих множеств). Эта связь между наборами лайтфейсов и их индексами используется для расширения борелевской иерархии лайтфейсов до трансфинитных через рекурсивные порядковые числа . Это создает ту гиперарифметическую иерархию , которая является светолицым аналогом иерархии Бореля. (Конечные уровни гиперарифметической иерархии известны как арифметическая иерархия .)
Аналогичный подход можно применить к проективной иерархии. Его лайтфейсный аналог известен как аналитическая иерархия .
Резюме
Каждый класс по крайней мере такой же большой, как и классы над ним.
Lightface | Жирный шрифт | ||
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (иногда то же самое, что Δ0 1) | Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (если определено) | ||
Δ0 1= рекурсивный | Δ0 1= clopen | ||
Σ0 1= рекурсивно перечислимый | Π0 1 = ко-рекурсивно перечислимый | Σ0 1= G = открытый | Π0 1= F = закрыто |
Δ0 2 | Δ0 2 | ||
Σ0 2 | Π0 2 | Σ0 2= F σ | Π0 2= G δ |
Δ0 3 | Δ0 3 | ||
Σ0 3 | Π0 3 | Σ0 3= G δσ | Π0 3= F σδ |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= арифметический | Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = жирный шрифт арифметический | ||
⋮ | ⋮ | ||
Δ0 α(α рекурсивный ) | Δ0 α(α счетно ) | ||
Σ0 α | Π0 α | Σ0 α | Π0 α |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 ωСК 1 = Π0 ωСК 1 = Δ0 ωСК 1 = Δ1 1= гиперарифметический | Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = Борель | ||
Σ1 1 = лайтфейс аналитический | Π1 1 = лайтфейс коаналитический | Σ1 1= A = аналитический | Π1 1= CA = коаналитический |
Δ1 2 | Δ1 2 | ||
Σ1 2 | Π1 2 | Σ1 2 = PCA | Π1 2 = CPCA |
Δ1 3 | Δ1 3 | ||
Σ1 3 | Π1 3 | Σ1 3 = PCPCA | Π1 3 = CPCPCA |
⋮ | ⋮ | ||
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= аналитический | Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = проективный | ||
⋮ | ⋮ |
Рекомендации
- Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0.