Подмножество из топологического пространства имеет свойство Бэра ( Бэр собственности , названный в честь Рене-Луи Бэра ), или называется почти открыто множеством, если оно отличается от открытого множества с помощью множества скудного ;
Определения [ править ]
Подмножество из топологического пространства называется почти открыто , и , как говорит, имеет свойство Бэра или свойство Бэра , если существует открытое множество такого , что является скудным подмножеством , где обозначает симметрическую разность . [1] Кроме того, имеет свойство Бэра в узком смысле , если для любого подмножества из пересечения имеет Бэр свойство относительно . [2]
Свойства [ править ]
Семейство множеств со свойством Бэра образует σ-алгебру . То есть дополнение почти открытого множества почти открыто, и любое счетное объединение или пересечение почти открытых множеств снова почти открыто. [1] Поскольку каждое открытое множество почти открыто (пустое множество скудно), отсюда следует, что каждое борелевское множество почти открыто.
Если подмножество польского пространства обладает свойством Бэра, то его соответствующая игра Банаха-Мазура будет определена . Обратное неверно; однако, если каждая игра в данном адекватном классе очков определена, то каждая партия имеет свойство Бэра. Следовательно, из проективной детерминированности , которая, в свою очередь, следует из достаточно больших кардиналов , каждое проективное множество (в польском пространстве) обладает свойством Бэра. [3]
Из аксиомы выбора следует, что существуют множества вещественных чисел без свойства Бэра. В частности, набор Витали не обладает свойством Бэра. [4] Достаточно уже более слабых вариантов выбора: из теоремы о булевом простом идеале следует, что на множестве натуральных чисел существует неглавный ультрафильтр ; каждый такой ультрафильтр индуцирует через двоичное представление вещественных чисел набор вещественных чисел без свойства Бэра. [5]
См. Также [ править ]
- Почти открытая карта - карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
- Теорема Бэра о категории
- Открытый набор - базовое подмножество топологического пространства.
Ссылки [ править ]
- ^ a b Окстоби, Джон К. (1980), "4. Свойство Бэра", Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Kuratowski, Казимир (1966), топология. Vol. 1 , Academic Press и Польские научные издательства.
- ^ Беккер, Ховард; Кехрис, Александр С. (1996), Теория описательных множеств действий польских групп , Серия лекций Лондонского математического общества, 232 , Cambridge University Press, Кембридж, стр. 69, DOI : 10.1017 / CBO9780511735264 , ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877.
- ^ Oxtoby (1980) , стр. 22.
- ^ Blass, Andreas (2010), "Ультрафильтры и теория множеств", Ультрафильтры по математике , Современная математика, 530 , Providence, RI: Американское математическое общество, с 49-71,. Дои : 10,1090 / conm / 530/10440 , MR 2757533 . См., В частности, стр. 64 .
Внешние ссылки [ править ]
- Статья Springer Encyclopaedia of Mathematics о свойстве Бэра
