В общей топологии , теории множеств и теории игр , Банаха - Мазура игра является топологическим игра для двух игроков, пытаясь придавить элементы в наборе (пространства). Концепция игры Банаха – Мазура тесно связана с концепцией пространств Бэра . Эта игра была первой бесконечной позиционной игрой с идеальной информацией, которую нужно было изучить. Оно было введено Станиславом Мазур как проблема 43 в книге шотландского , а также вопросы Мазура об этом ответили Банахом.
Определение
Позволять - непустое топологическое пространство , фиксированное подмножество а также семейство подмножеств обладающие следующими свойствами:
- Каждый член имеет непустой интерьер.
- Каждое непустое открытое подмножество содержит член .
Игроки, а также поочередно выбирать элементы из сформировать последовательность
побеждает тогда и только тогда, когда
Иначе, побеждает. Это называется общей игрой Банаха – Мазура и обозначается через
Характеристики
- имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда относится к первой категории в(набор относится к первой категории или является скудным, если это счетное объединение нигде не плотных множеств ).
- Если полное метрическое пространство, имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда является comeager в некотором непустом открытом подмножестве
- Если имеет собственность Бэра в, тогда определен.
- Просеиваемые и сильно отсеиваемые пространства, введенные Шоке, могут быть определены в терминах стационарных стратегий в подходящих модификациях игры. Позволять обозначают модификацию где семейство всех непустых открытых множеств в а также выигрывает игру если и только если
- потом отсеивается тогда и только тогда, когда имеет стационарную выигрышную стратегию в
- Маркова выигрышной стратегии для в можно свести к стационарной выигрышной стратегии. Кроме того, если имеет выигрышную стратегию в , тогда имеет выигрышную стратегию, зависящую только от двух предыдущих ходов. Это все еще нерешенный вопрос, является ли выигрышная стратегия для можно свести к выигрышной стратегии, которая зависит только от двух последних ходов .
- называется слабо - благоприятно, если имеет выигрышную стратегию в . Потом, является бэровским пространством тогда и только тогда, когда не имеет выигрышной стратегии в . Отсюда следует, что каждый слабо-благоприятное пространство - пространство Бэра.
Было предложено много других модификаций и специализаций основной игры: для более подробного описания их см. [1987].
Наиболее частый частный случай возникает, когда а также состоят из всех закрытых интервалов в единичном интервале. потом побеждает тогда и только тогда, когда а также побеждает тогда и только тогда, когда . Эта игра обозначается
Простое доказательство: выигрышные стратегии
Естественно спросить, какие наборы делает иметь выигрышную стратегию в. Очевидно, что если пустой, имеет выигрышную стратегию, поэтому вопрос можно неформально перефразировать так: насколько «малый» (соответственно «большой») (соответственно дополнение в ) должно быть, чтобы гарантировать, что имеет выигрышную стратегию. Следующий результат дает представление о том, как работают доказательства, использованные для получения свойств в предыдущем разделе:
- Предложение. имеет выигрышную стратегию в если счетно, равно T 1 , и не имеет изолированных точек.
- Доказательство. Проиндексируйте элементы X как последовательность: Предполагать была выбрана если непустая внутренность тогда непустое открытое множество в так можешь выбрать потом выбирает и аналогичным образом можешь выбрать что исключает . Продолжая таким образом, каждая точка будет исключен набором так что пересечение всех не будет пересекаться .
Предположения о являются ключом к доказательству: например, если имеет дискретную топологию и состоит из всех непустых подмножеств , тогда не имеет выигрышной стратегии, если (на самом деле, у ее оппонента есть выигрышная стратегия). Подобные эффекты случаются, еслиимеет недискретную топологию и
Более сильный результат относится в наборы первого порядка.
- Предложение. имеет выигрышную стратегию в если и только если это скудное .
Это не означает, что имеет выигрышную стратегию, если не скудный. Фактически, если полное метрическое пространство, то имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда есть некоторые такой, что это подходящее подмножество Может случиться так, что ни один из игроков не имеет выигрышной стратегии: пусть - единичный интервал и - семейство отрезков в единичном интервале. Игра определяется, имеет ли целевой набор свойство Бэра , то есть отличается ли он от открытого набора скудным набором (но обратное неверно). Предполагая аксиому выбора , существуют подмножества единичного интервала, для которых игра Банаха – Мазура не определена.
Рекомендации
- [1957] Окстоби, Дж. К. Игра Банаха – Мазура и теорема о категории Банаха , Вклад в теорию игр, Том III, Анналы математических исследований 39 (1957), Принстон, 159–163
- [1987] Телгарски, Р. Дж. Топологические игры: К 50-летию игры Банаха – Мазура , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), стр. 227–276.
- [2003] Джулиан П. Ревальски Игра Банах – Мазур: история и недавние события , заметки семинара, Пуэнт-а-Питр, Гваделупа, Франция, 2003–2004 гг.
Внешние ссылки
- "Игра Банаха – Мазура" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]