Решительность

Детерминированность - это подраздел теории множеств , раздела математики , который исследует условия, при которых тот или иной игрок в игре имеет выигрышную стратегию, и последствия существования таких стратегий. Альтернативно и аналогично «определенность» - это свойство игры, посредством которого существует такая стратегия.

Игры, изучаемые в теории множеств, - это, как правило, игры Гейла – Стюарта - игры для двух игроков с полной информацией, в которых игроки делают бесконечную последовательность ходов и нет ничьих. Область теории игр изучает более общие виды игр, включая игры с розыгрышем, такие как крестики-нолики , шахматы или бесконечные шахматы , или игры с несовершенной информацией, такие как покер .

Основные понятия [ править ]

Игры [ править ]

Первый тип игры, который мы рассмотрим, - это игра двух игроков с совершенной информацией длины ω , в которой игроки играют в натуральные числа . Эти игры часто называют играми Гейла – Стюарта. ^[1]

В такого рода играх два игрока, часто называемые I и II , по очереди играют в натуральные числа, причем I ходит первым. Они играют «вечно»; то есть их игры индексируются натуральными числами. Когда они закончатся, определенное условие определяет, какой игрок выиграл. Это условие не обязательно должно определяться каким-либо определяемым правилом ; это может быть просто произвольная (бесконечно длинная) таблица поиска , в которой указывается, кто выиграл при определенной последовательности игр.

Более формально, рассмотрим подмножество А из Бэра пространства ; напомним, что последняя состоит из всех ω-последовательностей натуральных чисел. Тогда в игре G _A , я играю натуральное число ₀ , то II играет ₁ , то я играет на ₂ , и так далее. Тогда я выиграю игру тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots \ rangle \ in A}$

и в противном случае II выигрывает. Затем называется взятка набор из G _A .

Предполагается, что каждый игрок может видеть все ходы, предшествующие каждому из его ходов, а также знает условия выигрыша.

Стратегии [ править ]

Неформально стратегия игрока - это способ игры, при котором его действия полностью определяются предыдущими играми. Опять же, такой «способ» не обязательно должен быть уловлен каким-либо объяснимым «правилом», он может быть просто таблицей поиска.

Более формально стратегия для игрока I (для игры в смысле предыдущего подраздела) - это функция, которая принимает в качестве аргумента любую конечную последовательность натуральных чисел четной длины и возвращает натуральное число. Если σ - такая стратегия, а <a ₀ ,...,a _2n-1> - последовательность _ходов , то σ (<a ₀ ,...,a _2n-1> ) - это следующая игра, которую я сделаю. , если I следует стратегии σ . Стратегии для II такие же: замена «нечетного» на «четный».

Обратите внимание, что мы пока ничего не сказали о том, хороша ли стратегия в каком-либо смысле . Стратегия может побудить игрока делать агрессивно плохие ходы, и это все равно будет стратегией. На самом деле даже не обязательно знать условие выигрыша для игры, чтобы знать, какие стратегии существуют для игры.

Стратегии победы [ править ]

Стратегия является выигрышной, если игрок, следующий за ней, обязательно должен выиграть, независимо от того, что играет его противник. Например, если σ - стратегия для I , то σ - выигрышная стратегия для I в игре G _A, если для любой последовательности натуральных чисел, которую должен сыграть II , скажем, <a ₁ , a ₃ , a ₅ ,. ..>, последовательность игр, производимая σ, когда II играет таким образом, а именно

${\ Displaystyle \ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1}, \ sigma (\ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1} \ rangle), a_ {3}, \ ldots \ rangle }$

является элементом A .

Решительные игры [ править ]

(Класс) игры (игр) определяется, если для всех экземпляров игры существует выигрышная стратегия для одного из игроков (не обязательно один и тот же игрок для каждого экземпляра). ^[2] Обратите внимание, что не может быть выигрышной стратегии для обоих игроков в одной и той же игре, поскольку, если бы она была, две стратегии могли бы быть сыграны друг против друга. В результате по гипотезе оба игрока выиграют, что невозможно. ^[3]

Решимость из элементарных соображений [ править ]

Определяются все конечные игры с совершенной информацией, в которых не бывает ничьих.

Реальные игры с идеальной информацией, такие как крестики-нолики , шахматы или бесконечные шахматы , всегда заканчиваются за конечное число ходов (в шахматных играх предполагается, что применяется правило 50 ходов). Если такая игра модифицируется так, что конкретный игрок выигрывает при любом условии, когда игра называлась бы ничьей, то это всегда определяется. ^[3] Условие, что игра всегда заканчивается (т. Е. Все возможные расширения конечной позиции приводят к выигрышу для одного и того же игрока) за конечное число ходов соответствует топологическому условию, что множество A дает условие выигрыша для G является открыто - замкнутым в топологии изПространство Бэра .

Например, изменение правил игры с целью сделать ничью выигрышной для черных делает шахматы решительной игрой. ^[4] Как это часто бывает, в шахматах есть конечное количество позиций и правила «ничья за повторением», поэтому с этими модифицированными правилами, если игра продолжается достаточно долго без победы белых, черные в конечном итоге могут добиться победы (из-за модификация розыгрыша = выигрыш за черных).

Доказательство того, что такие игры детерминированы, довольно просто: игрок I просто играет, чтобы не проиграть ; то есть игрок I играет, чтобы убедиться, что у игрока II не будет выигрышной стратегии после моего хода. Если игрок I не может этого сделать, это означает, что у игрока II с самого начала была выигрышная стратегия. С другой стороны, если игрок, которого я могу играть таким образом, я должен выиграть, потому что игра закончится после некоторого конечного числа ходов, и игрок, которого я не мог проиграть в этот момент.

Это доказательство на самом деле не требует, чтобы игра всегда заканчивалась за конечное число ходов, а только чтобы она заканчивалась за конечное число ходов, когда II выигрывает. Это условие, топологический, является то , что множество будет закрыто . Этот факт - все замкнутые игры детерминированы - называется теоремой Гейла – Стюарта . Обратите внимание, что по симметрии также определяются все открытые игры. (Игра открыта, если я могу выиграть, только выиграв за конечное число ходов.)

Решительность от ZFC [ править ]

Дэвид Гейл и Ф.М. Стюарт доказали, что открытые и закрытые игры решают. Детерминированность для второго уровня иерархии Бореля была продемонстрирована Вулфом в 1955 году. В течение следующих 20 лет дополнительное исследование с использованием все более сложных аргументов установило, что третий и четвертый уровни иерархии Бореля являются детерминированными. ^{[ указать ]}

В 1975 году Дональд А. Мартин доказал, что все игры Бореля детерминированы; то есть, если A - борелевское подмножество пространства Бэра, то G _A определено. Этот результат, известный как детерминированность по Борелю , является наилучшим возможным результатом детерминированности, доказываемым в ZFC, в том смысле, что детерминированность следующего более высокого класса Wadge не доказуема в ZFC.

В 1971 году , прежде, чем Мартин получил свое доказательство, Харви Фридман показал , что любое доказательство Бореля детерминированности следует использовать аксиому замены существенным образом, для того , чтобы итерируем POWERSET аксиому трансфинитно часто. Работа Фридмана дает поэтапный результат, детализирующий, сколько итераций аксиомы powerset необходимо, чтобы гарантировать определенность на каждом уровне иерархии Бореля .

Для любого натурального числа п , ZFC \ P доказывает детерминированности в п - го уровня разностной иерархии из множеств, но ZFC \ P не доказывает , что для любого целого п п го уровня разности иерархии множеств определяется. См. Обратную математику для других отношений между определенностью и подсистемами арифметики второго порядка .${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {3} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {3} ^ {0}}$

Решительность и большие кардиналы [ править ]

Между определенностью и крупными кардиналами существует тесная взаимосвязь . В общем, более сильные большие кардинальные аксиомы доказывают определенность более крупных точечных классов , находящихся выше в иерархии Уэджа , а определенность таких точечных классов, в свою очередь, доказывает существование внутренних моделей немного более слабых больших кардинальных аксиом, чем те, которые используются для доказательства определенности pointclass в первую очередь.

Измеримые кардиналы [ править ]

Из существования измеримого кардинала следует, что каждая аналитическая игра (также называемая Σ ¹ ₁ игрой) определена, или, что то же самое, каждая коаналитическая (или Π ¹ ₁ ) игра определена. (См. Определения в Проективной иерархии .)

На самом деле измеримого кардинала более чем достаточно. Более слабый принцип - наличие 0 # достаточно для доказательства коаналитической определенности, и немного больше: точный результат состоит в том, что существование 0 ^# эквивалентно определенности всех уровней иерархии разностей ниже уровня ω ² , т.е. ω · n- Π ¹ ₁ определенность для каждого .${\ displaystyle n}$

От измеримого кардинала мы можем очень немного улучшить это до определенности ω ² - Π ¹ ₁ . Из существования более измеримых кардиналов можно доказать определенность большего числа уровней иерархии разностей над Π ¹ ₁ .

Доказательство определенности от острых предметов [ править ]

Для каждого вещественного числа г , детерминированность эквивалентно существованию г ^# . Чтобы проиллюстрировать, как большие кардиналы приводят к определенности, вот доказательство определенности при наличии r ^# .${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (г)}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (г)}$

Пусть A - подмножество пространства Бэра. A = p [ T ] для некоторого дерева T (построенного из r ) на (ω, ω). (То есть x∈A тогда и только тогда из некоторых у , это путь через Т .)${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (г)}$${\ displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ...)}$

Учитывая частичную игру s , пусть будет поддеревом T, согласованным с s, при условии max (y ₀ , y ₁ , ..., y _{len (s) -1} ) <len (s). Дополнительное условие гарантирует, что это конечно. Согласованность означает, что каждый проход имеет форму где - начальный сегмент s .${\ displaystyle T_ {s}}$${\ displaystyle T_ {s}}$${\ displaystyle T_ {s}}$${\ displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {i}, y_ {i}))}$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {i})}$

Чтобы доказать, что A определено, определите вспомогательную игру следующим образом:
в дополнение к обычным ходам игрок 2 должен выполнить отображение в ординалы (ниже достаточно большого ординала κ ) так, чтобы${\ displaystyle T_ {s}}$

• каждый новый ход расширяет предыдущее отображение и
• упорядочение порядковых согласуется с порядка Клини-Брауэра о .${\ displaystyle T_ {s}}$

Напомним, что порядок Клини – Брауэра подобен лексикографическому порядку, за исключением того, что если s правильно расширяет t, то s < t . Это хороший порядок, если дерево хорошо обосновано.

Вспомогательная игра открыта. Доказательство: если игрок 2 не проигрывает на конечном этапе, то объединение всех (которое является деревом, которое соответствует игре) является хорошо обоснованным, и поэтому результат не вспомогательной игры не находится в A.${\ displaystyle T_ {s}}$

Таким образом определяется вспомогательная игра. Доказательство: с помощью трансфинитной индукции для каждого порядкового номера α вычислите набор позиций, в которых игрок 1 может добиться выигрыша за α шагов, где позиция, в которой игрок 2 должен двигаться, проигрывает (для игрока 2) за α шагов тогда и только тогда, когда для каждого хода полученный результат позиция проигрывает менее чем за α шагов. Одна стратегия для игрока 1 состоит в том, чтобы уменьшать α с каждой позицией (скажем, выбирая наименьшее α и разрывая ничьи, выбирая наименьший ход), а одна стратегия для игрока 2 - выбирать наименьшее (на самом деле любой будет работать) ход, который не ведет на позицию с присвоенным α. Обратите внимание, что L ( r ) содержит набор выигрышных позиций, а также выигрышные стратегии, указанные выше.

Выигрышная стратегия для игрока 2 в исходной игре приводит к выигрышной стратегии во вспомогательной игре: поддерево T, соответствующее выигрышной стратегии, хорошо обосновано, поэтому игрок 2 может выбирать ординалы на основе порядка Клини – Брауэра в дереве. Также тривиально выигрышная стратегия для игрока 2 во вспомогательной игре дает выигрышную стратегию для игрока 2 в исходной игре.

Остается показать, что с использованием r ^# вышеупомянутая выигрышная стратегия для игрока 1 во вспомогательной игре может быть преобразована в выигрышную стратегию в исходной игре. r ^# дает собственный класс I неразличимых ординалов ( L ( r ), ∈, r ) . По неразличимости, если κ и ординалы во вспомогательном ответе находятся в I , то ходы игрока 1 не зависят от вспомогательных ходов (или от κ), и поэтому стратегия может быть преобразована в стратегию для исходной игры (поскольку игрок 2 может продержаться с неразличимым для любого конечного числа шагов). Предположим, что игрок 1 проигрывает в исходной игре. Тогда дерево, соответствующее пьесе, хорошо обосновано. Следовательно, игрок 2 может выиграть вспомогательную игру, используя вспомогательные ходы, основанные на неразличимых (поскольку порядок неразличимых элементов превышает порядок Клини – Брауэра в дереве), что противоречит победе игрока 1 во вспомогательной игре.

Кардиналы Вудина [ править ]

Если есть кардинал Вудена с измеримым кардиналом над ним, то Π ¹ ₂ определенность выполняется. В более общем смысле, если имеется n кардиналов Вудена с измеримым кардиналом над всеми, то имеет место Π ¹ _{n + 1} определенность. Из Π ¹ _{n + 1} детерминированности следует, что существует транзитивная внутренняя модель, содержащая n кардиналов Вудена.

${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$(светлолицый) определенность равнозначна кардиналу Вудена. Если определенность верна, то для конуса Тьюринга x (то есть для каждого действительного x достаточно высокой степени Тьюринга ) L [ x ] удовлетворяет OD-определенности (то есть определенности игр на целых числах длины ω и определимости выигрыша) , а в HOD ^{L [ x ]} - кардинал Вудена.${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L [x]}}$

Проективная детерминированность [ править ]

Если кардиналов Вудена бесконечно много, то проективная определенность имеет место; то есть определяется каждая игра, условие выигрыша которой является проективным множеством . Из проективной детерминированности следует, что для каждого натурального числа n существует транзитивная внутренняя модель, удовлетворяющая наличию n кардиналов Вудена.

Аксиома определенности [ править ]

Аксиома детерминированности , или AD , утверждает , что каждые два игроков полной информации длину со, в которой игроки играют Naturals, определяются.

AD доказуемо ложно от ZFC; используя аксиому выбора, можно доказать существование неопределенной игры. Однако, если существует бесконечно много кардиналов Вудена с измеримой над всеми, то L (R) - модель ZF , удовлетворяющая AD.

Последствия определенности [ править ]

Свойства регулярности для наборов реалов [ править ]

Если является подмножеством Бэра пространства таким образом, что игра Банаха-Мазура для А определяется, то либо II имеет выигрышную стратегию, в этом случае является скудный , или я имеет выигрышную стратегию, в этом случае является comeager на некоторых открытая окрестность ^[1] .

Это не совсем означает, что A обладает свойством Бэра , но оно приближается: простая модификация аргумента показывает, что если Γ является адекватным классом точек , так что каждая игра в Γ определена, то каждый набор вещественных чисел в Γ имеет собственность Бэра.

На самом деле этот результат не является оптимальным; рассматривая развернутую игру Банаха – Мазура, мы можем показать, что из определенности Γ (для Γ с достаточными свойствами замыкания) следует, что каждое множество вещественных чисел, являющееся проекцией множества в Γ, обладает свойством Бэра. Так, например, существование измеримого кардинала предполагает Π ¹ ₁ определенность, что, в свою очередь, означает, что каждый набор Σ ¹ ₂ вещественных чисел обладает свойством Бэра.

Рассматривая другие игры, мы можем показать, что из детерминированности Π ¹ _n следует, что каждое Σ ¹ _{n +1} множество действительных чисел обладает свойством Бэра, измеримо по Лебегу (фактически универсально измеримо ) и обладает свойством совершенного множества .

Теоремы о периодичности [ править ]

• Из первой теоремы о периодичности следует, что для любого натурального числа n , если ∆ ¹ _{2 n +1} определенность, то Π ¹ _{2 n +1} и Σ ¹ _{2 n +2} обладают свойством предварительной упорядоченности (и что Σ ¹ _{2 n +1} и Π ¹ _{2 п +-} у не имеет prewellordering свойства, а скорее имеет свойство разделения ).
• Из второй теоремы о периодичности следует, что для любого натурального числа n , если Δ ¹ _{2 n +1} определенность, то Π ¹ _{2 n +1} и Σ ¹ _{2 n} обладают свойством масштабирования . ^[5] В частности, если проективная детерминированность верна, то каждое проективное отношение имеет проективную униформизацию .
• Теорема третьей периодичности дает достаточное условие для игры , чтобы иметь определимую выигрышную стратегию.

Приложения к разрешимости некоторых теорий второго порядка [ править ]

В 1969 году Майкл О. Рабина доказал , что теория второго порядка из п преемников разрешима . ^[6] Ключевой компонент доказательства требует показать детерминированность игр на четность , которые лежат на третьем уровне иерархии Бореля .

Детерминированность Wadge [ править ]

Вэджа детерминированность является утверждение , что для всех пар A , B подмножеств Бэра пространства , то игра Вэджа G ( , Б ) определяется. Аналогично для класса точек Γ, детерминированность Вэджа - это утверждение, что для всех множеств A , B в Γ определена игра Вэджа G ( A , B ).

Детерминированность Вэджа подразумевает принцип полулинейной упорядоченности для порядка Вэджа . Еще одно следствие детерминированности Вэджа - свойство идеального множества .

В общем случае определенность Γ Wadge является следствием определенности булевых комбинаций множеств в Γ. В проективной иерархии , Π ¹ ₁ Вэджа детерминированность эквивалентно П ¹ ₁ детерминированности, как доказано Лео Харрингтона . Этот результат был распространен Hjorth доказать , что Π ¹ ₂ Wadge детерминированность (а на самом деле полулинейное принцип упорядочения для П ^- ₂ ) уже означает Π ¹ ₂ детерминированности.

Более общие игры [ править ]

Игры, в которых играемые предметы не являются натуральными числами [ править ]

Детерминированность игр на ординалах с ординально определимой выплатой и длиной ω означает, что для любого регулярного кардинала κ > ω не существует порядковых определимых непересекающихся стационарных подмножеств κ, составленных из ординалов конфинальности ω. Сила последовательности гипотезы детерминированности неизвестна, но ожидается, что она будет очень высокой.

Игры на деревьях [ править ]

Длинные игры [ править ]

Существование ω ₁ кардиналов Вудена означает, что для каждого счетного ординала α определены все игры с целыми числами длины α и проективным выигрышем. Грубо говоря, α кардиналы Вудена соответствуют определенности игр на вещественных числах длины α (с простым набором выигрышей). Предполагая предел числа кардиналов Вудена κ с o ( κ ) = κ ⁺⁺ и ω кардиналов Вудина выше κ , игры с переменной счетной длиной, в которых игра заканчивается, как только ее длина становится допустимой относительно линии игры и с проективным выигрышем, считаются определенный. Предполагая, что некоторая гипотеза итерабельности доказуема, существование измеримого кардинала Вудена влечет определенность открытых игр длины ω ₁и проективный выигрыш. (В этих играх условие выигрыша для первого игрока запускается на счетной стадии, поэтому выплата может быть закодирована как набор реалов.)

Относительно предела Вудина кардиналов Вудина и измеримого над ними, согласованно, что определяется каждая игра с целыми числами длины ω ₁ и порядковым определимым выигрышем. Предполагается, что гипотеза детерминированности равно согласуется с пределом Вудина кардиналов Вудена. ω ₁ является максимальным в том смысле, что существуют неопределенные игры на целых числах длины ω ₁ + ω и порядковой определимой выигрыше.

Игры с несовершенной информацией [ править ]

В любой интересной игре с неполной информацией выигрышной стратегией будет смешанная стратегия : то есть она даст некоторую вероятность различных ответов на одну и ту же ситуацию. Если оптимальные стратегии обоих игроков являются смешанными, то результат игры не может быть определенно определяющим (как это может быть для чистых стратегий , поскольку они детерминированы ). Но распределение вероятностей результатов для противоположных смешанных стратегий можно рассчитать. Игра, требующая смешанных стратегий, определяется как определенная, если существует стратегия, которая дает минимальное ожидаемое значение.(над возможными контр-стратегиями), превышающими заданное значение. Против этого определения четко определены все конечные игры с нулевой суммой для двух игроков . Однако детерминированность бесконечных игр с несовершенной информацией (игры Блэквелла) менее очевидна. ^[7]

В 1969 году Дэвид Блэквелл доказал, что некоторые «бесконечные игры с несовершенной информацией» (теперь называемые «играми Блэквелла») детерминированы, а в 1998 году Дональд А. Мартин доказал, что обычная (игра с идеальной информацией) определенность для точечных классов, выделенных жирным шрифтом, влечет определенность Блэквелла для pointclass. Это, в сочетании с теоремой Мартина Бореля об определенности , означает, что все игры Блэквелла с борелевскими функциями выигрыша определены. ^{[8] [9]}Мартин предположил, что обычная детерминированность и детерминированность Блэквелла для бесконечных игр эквивалентны в строгом смысле (т. Е. Определенность Блэквелла для точечного класса, выделенного жирным шрифтом, в свою очередь, подразумевает обычную определенность для этого точечного класса), но по состоянию на 2010 г. не было доказано, что определенность Блэквелла подразумевает детерминированность игры с идеальной информацией. ^[10]

Квазистратегии и квазиопределенность [ править ]

См. Также [ править ]

• ω-автомат
• Решенная игра
• Строго определенная игра
• Топологическая игра

Сноски [ править ]

1. ^ Это предполагаетчтояпытаюсь получить пересечение окрестностей играли быть синглтончей единственным элемент является элементомA. Некоторые авторы ставят эту цель вместо игрокаII; это использование требует соответствующей модификации приведенных выше замечаний.

Ссылки [ править ]

• Гейл, Дэвид и Стюарт, FM (1953). Kuhn, HW; Такер, А. В. (ред.). Бесконечные игры с точной информацией . Вклад в теорию игр, Том II . Анналы математических исследований 28. Princeton University Press. С. 245–266. ISBN 9780691079356.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Харрингтон, Лео (январь 1978 г.). «Аналитическая определенность и 0 #». Журнал символической логики . 43 (4): 685–693. DOI : 10.2307 / 2273508 . JSTOR  2273508 .
• Хьорт, Грег (январь 1996 г.). « Π ¹ ₂ градуса Wadge». Анналы чистой и прикладной логики . 77 : 53–74. DOI : 10.1016 / 0168-0072 (95) 00011-9 .
• Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Мартин, Дональд А. (1975). «Борелевская определенность». Анналы математики . Вторая серия. 102 (2): 363–371. DOI : 10.2307 / 1971035 . JSTOR  1971035 .
• Мартин, Дональд А. и Джон Р. Стил (январь 1989 г.). «Доказательство проективной определенности» . Журнал Американского математического общества . 2 (1): 71–125. DOI : 10.2307 / 1990913 . JSTOR  1990913 .
• Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-70199-2.
• Вудин, В. Хью (1988). «Сверхкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 85 (18): 6587–6591. Bibcode : 1988PNAS ... 85.6587W . DOI : 10.1073 / pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979 .
• Мартин, Дональд А. (2003). «Простое доказательство того, что определенность предполагает измеримость по Лебегу». Ренд. Сем. Мат. Univ. Pol. Турин . 61 (4): 393–399. ( PDF )
• Вулф, П. (1955). «Строгая определенность некоторых бесконечных игр» . Pacific J. Math . 5 (5): Дополнение I: 841–847. DOI : 10,2140 / pjm.1955.5.841 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Большие кардиналы и решительность» в Стэнфордской энциклопедии философии