В математической области теории множеств , аксиома Мартина , введенный Дональд А. Мартин и Роберт М. Соловеем , [1] является утверждением , что не зависит от обычных аксиом теории множеств ZFC . Это подразумевается гипотезой континуума , но согласуется с ZFC и отрицанием гипотезы континуума. Неформально он говорит, что все кардиналы меньше, чем мощность континуума ,, веди себя примерно как . Интуицию, стоящую за этим, можно понять, изучив доказательство леммы Расиовой – Сикорского . Это принцип, который используется для контроля определенных аргументов принуждения .
Утверждение аксиомы Мартина
Для любого кардинала k мы определяем утверждение, обозначаемое MA ( k ):
Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепи (далее ccc), и любого семейства D плотных множеств в P, такого что | D | ≤ K , есть фильтр F на P такое , что F П д отлична от опорожнить для каждого г в D .
Поскольку это теорема ZFC, MA () не выполняется, аксиома Мартина формулируется следующим образом:
Аксиома Мартина (MA): для любого k <, MA ( k ) выполняется.
В этом случае (для применения ccc) антицепь - это подмножество A из P такое, что любые два различных члена A несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих из них в частичном порядке ). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев .
MA () просто правда. Это известно как лемма Расиовы – Сикорского .
MA () неверно: [0, 1] - компактное хаусдорфово пространство , которое сепарабельно и, следовательно, ccc. В нем нет изолированных точек , поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединениемного очков. (См. Условие, эквивалентное ниже.)
Эквивалентные формы MA (k)
Следующие утверждения эквивалентны MA ( k ):
- Если X - компактное хаусдорфово топологическое пространство , удовлетворяющее ccc, то X не является объединением k или меньшего числа нигде не плотных подмножеств.
- Если P - непустое направленное вверх ccc ч. М. И Y - семейство конфинальных подмножеств P с | Y | ≤ K , то есть вверх-направленное множество таким образом, что встречает каждый элемент Y .
- Пусть A - ненулевая булева алгебра ccc, а F - семейство подмножеств A с | F | ≤ к . Тогда существует булев гомоморфизм φ: A → Z / 2 Z такой, что для любого X в F либо существует a в X с φ ( a ) = 1, либо существует верхняя граница b для X с φ ( b ) = 0.
Последствия
Аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных , аналитических и топологических следствий:
- Объединение k или меньшего числа нулевых множеств в безатомной σ-конечной борелевской мере на польском пространстве равно нулю. В частности, объединение к или меньшим числом подмножеств R по мере Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
- Компактное хаусдорфово пространство X с | X | <2 к является последовательно компактным , то есть, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
- Никакой неглавный ультрафильтр на N не имеет базы мощности < k .
- Эквивалентно для любого х в β N \ N мы имеем х ( х ) ≥ K , где χ является символ из х , и так х (β N ) ≥ K .
- MA () следует, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, означает, что прямых Суслина нет ).
- MA + ¬CH подразумевает, что существует несвободная группа Уайтхеда ; Шелах использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.
Дальнейшее развитие
- Аксиома Мартина имеет обобщения, называемые аксиомой собственного принуждения и максимумом Мартина .
- Шелдон В. Дэвис предположил в своей книге, что аксиома Мартина мотивирована теоремой Бэра о категориях . [2]
Рекомендации
- ^ Мартин, Дональд А .; Соловей, Роберт М. (1970). «Внутренние расширения Коэна» . Аня. Математика. Логика . 2 (2): 143–178. DOI : 10.1016 / 0003-4843 (70) 90009-4 . Руководство по ремонту 0270904 .
- ^ Дэвис, Шелдон В. (2005). Топология . Макгроу Хилл. п. 29. ISBN 0-07-291006-2.
дальнейшее чтение
- Фремлин, Дэвид Х. (1984). Следствия аксиомы Мартина . Кембриджские трактаты по математике, вып. 84. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-25091-9.
- Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .