 | Эта статья содержит встроенные цитаты , но они неправильно отформатированы . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В теории групп , одном из разделов абстрактной алгебры , проблема Уайтхеда - это следующий вопрос:
Всякая ли абелева группа A с Ext 1 ( A , Z ) = 0 является свободной абелевой группой ?
Шелах (1974) доказал, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC , стандартных аксиом теории множеств.
Уточнение [ править ]
Условие Ext 1 ( A , Z ) = 0 может быть эквивалентно сформулировано следующим образом: если B - абелева группа, а f : B → A - гомоморфизм сюръективной группы , ядро которого изоморфно группе целых чисел Z , то существует группа гомоморфизм г : → Б с фгом = идентификатор A . Абелевы группы A, удовлетворяющие этому условию, иногда называютГруппы Уайтхеда , поэтому проблема Уайтхеда заключается в следующем: каждая ли группа Уайтхеда свободна?
Предупреждение : Обратное к проблеме Уайтхеда, а именно то, что каждая свободная абелева группа является Уайтхедом, является хорошо известным теоретико-групповым фактом. Некоторые авторы называют группу Уайтхеда только несвободной группой A, удовлетворяющей Ext 1 ( A , Z ) = 0. Затем проблема Уайтхеда спрашивает: существуют ли группы Уайтхеда?
Доказательство Шелы [ править ]
Сахарон Шелах ( 1974 ) показал, что, учитывая каноническую систему аксиом ZFC , проблема не зависит от обычных аксиом теории множеств . Точнее, он показал, что:
- Если каждый набор конструктивен , то каждая группа Уайтхеда свободна;
- Если и аксиома Мартина, и отрицание гипотезы континуума верны , то существует несвободная группа Уайтхеда.
Поскольку согласованность ZFC подразумевает согласованность обоих следующих факторов:
- Аксиома конструктивности (который утверждает , что все множества конструктивны);
- Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума ,
Проблема Уайтхеда не может быть решена в ZFC.
Обсуждение [ править ]
Дж. Х. К. Уайтхед , движимый второй проблемой кузена , впервые поставил эту проблему в 1950-х годах. Стейн (1951) утвердительно ответил на вопрос для счетных групп. Прогресс для больших групп был медленным, и в течение нескольких лет эта проблема считалась важной в алгебре .
Результат Шелаха был совершенно неожиданным. Хотя о существовании неразрешимых утверждений было известно со времен теоремы Гёделя о неполноте 1931 года, предыдущие примеры неразрешимых утверждений (например, гипотеза континуума ) относились к чистой теории множеств . Проблема Уайтхеда была первой чисто алгебраической проблемой, которая оказалась неразрешимой.
Позднее Шелах ( 1977 , 1980 ) показал, что проблема Уайтхеда остается неразрешимой, даже если принять гипотезу континуума. Гипотеза Уайтхеда верна, если все множества конструктивны . То, что это и другие утверждения о несчетных абелевых группах доказуемо независимы от ZFC, показывает, что теория таких групп очень чувствительна к предполагаемой основной теории множеств .
См. Также [ править ]
- Свободная абелева группа
- Кручение белой головки
- Список утверждений, неразрешимых в ZFC
- Утверждения верны, если все наборы конструктивны
Ссылки [ править ]
- Эклоф, Пол С. (1976), «Проблема Уайтхеда неразрешима», The American Mathematical Monthly , The American Mathematical Monthly, Vol. 83, № 10, 83 (10): 775-788, DOI : 10,2307 / 2318684 , JSTOR 2318684 Пояснительный отчет о доказательстве Шелы.
- Эклоф, PC (2001) [1994], "Проблема Уайтхеда" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Шел, S. (1974), "группы Бесконечной абелева, проблема Уайтхед и некоторые конструкции", Израиль Журнал математики , 18 (3): 243-256, DOI : 10.1007 / BF02757281 , MR 0357114 , S2CID 123351674
- Шелах, С. (1977), «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если принять CH. I», Израильский журнал математики , 28 (3): 193–203, doi : 10.1007 / BF02759809 , hdl : 10338.dmlcz / 102427 , Руководство по ремонту 0469757 , S2CID 123029484
- Шела, С. (1980), "Whitehead группы не могут быть свободными, даже если предположить , CH II.", Израиль Журнал математики , 35 (4): 257-285, DOI : 10.1007 / BF02760652 , МР 0594332 , S2CID 122336538
- Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Анна. , 123 : 201-222, DOI : 10.1007 / BF02054949 , МР 0043219 , S2CID 122647212
