Проблемы с кузиной
В математике проблемы Кузена — это два вопроса с несколькими комплексными переменными , касающиеся существования мероморфных функций , заданных в терминах локальных данных. Они были введены в особых случаях Пьером Кузеном в 1895 году. Теперь они ставятся и решаются для любого комплексного многообразия M в терминах условий на M .
Для обеих задач задано открытое покрытие M множествами U i и мероморфная функция f i на каждом U i .
голоморфна на U i ; _ другими словами, что f разделяет сингулярное поведение данной локальной функции. Данное условие на очевидно необходимо для этого; так что проблема сводится к вопросу, достаточно ли этого. Случай одной переменной — это теорема Миттаг-Леффлера о задании полюсов, когда М — открытое подмножество комплексной плоскости . Теория римановых поверхностей показывает, что потребуется некоторое ограничение на M. Задача всегда может быть решена на многообразии Штейна .
Первую проблему Кузена можно понять в терминах когомологий пучков следующим образом. Пусть K — пучок мероморфных функций и O — пучок голоморфных функций на M . Глобальное сечение K переходит в глобальное сечение фактор -пучка K / O . Обратный вопрос — это первая проблема Кузина: для заданного глобального сечения K / O существует ли глобальное сечение K , из которого оно возникает? Таким образом, задача состоит в том, чтобы охарактеризовать образ карты
точен, поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима, если первая группа когомологий H1 ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.
— ненулевая голоморфная функция, где она определена. Требуется мероморфная функция f на M такая, что