Теорема Миттаг-Леффлера

В комплексном анализе теорема Миттаг - Леффлера касается существования мероморфных функций с заданными полюсами . И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции в виде суммы частичных дробей . Это сестра теоремы Вейерштрасса о факторизации , которая утверждает существование голоморфных функций с заданными нулями . Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлер .

Пусть — открытое множество и замкнутое дискретное подмножество . Для каждого в позвольте быть многочленом в . Существует мероморфная функция на такая, что для каждого функция имеет только устранимую особенность в точке . В частности, главная часть at равна . Более того, голоморфна на . ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {С}}$ ${\ Displaystyle Е \ подмножество D}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle р_ {а} (г)}$ ${\ Displaystyle 1 / (за)}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle а \ в Е}$ ${\ Displaystyle е (г) -p_ {а} (г)}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle р_ {а} (г)}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle D \ setminus E}$

Одна из возможных схем доказательства выглядит следующим образом. Если конечно, то достаточно взять . Если не является конечным, рассмотрите конечную сумму где конечное подмножество . Хотя может не сходиться по мере того, как F приближается к E , можно вычесть правильно выбранные рациональные функции с полюсами за пределами D (предусмотренные теоремой Рунге ) без изменения главных частей и таким образом, что сходимость гарантируется. ${\ Displaystyle Е}$ ${\ textstyle f (z) = \ sum _ {a \ in E} p_ {a} (z)}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ textstyle S_ {F} (z) = \ sum _ {a \ in F} p_ {a} (z)}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle S_ {F} (г)}$ ${\ Displaystyle S_ {F} (г)}$