В комплексном анализе разложение частичной дроби — это способ записи мероморфной функции f(z) в виде бесконечной суммы рациональных функций и многочленов . Когда f(z) — рациональная функция, это сводится к обычному методу частных дробей .
Используя полиномиальное длинное деление и метод частичной дроби из алгебры, любую рациональную функцию можно записать в виде суммы членов формы 1 / (az + b) k + p(z) , где a и b являются комплексными, k равно целое число, а p(z) — многочлен. Точно так же, как полиномиальная факторизация может быть обобщена до теоремы Вейерштрасса о факторизации , существует аналогия с разложениями в неполные дроби для некоторых мероморфных функций.
Правильная рациональная функция, т. е. такая, у которой степень знаменателя больше степени числителя, имеет разложение на частичную дробь без полиномиальных членов. Аналогично мероморфная функция f(z) , для которой | ф (г) | стремится к 0, когда z стремится к бесконечности, по крайней мере, так же быстро, как | 1/z |, имеет разложение без полиномиальных членов.
Пусть f(z) — функция, мероморфная на конечной комплексной плоскости с полюсами в точках λ 1 , λ 2 , ..., и пусть ( Γ 1 , Γ 2 , ...) — последовательность простых замкнутых кривых такая, что:
Записав PP( f(z) ; z = λ k ) для главной части лорановского разложения f относительно точки λ k , мы имеем
λ 0 следует установить равным 0, потому что даже если f(z) сама по себе не имеет полюса в 0, остатки f(z)/z j+1 в z = 0 все равно должны быть включены в сумму.