В комплексном анализе , теорема Рунге (также известный как теорема Рунге приближении ) назван в честь немецкого математика Карла Рунге , который первым доказал это в 1885. году он заявляет следующее:
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Runge_theorem.svg/220px-Runge_theorem.svg.png)
Обозначив через C множество комплексных чисел , пусть К является компактным подмножеством из С и пусть F быть функцией , которая является голоморфной на открытом множестве , содержащем K . Если представляет собой набор , содержащий по меньшей мере один сложный номер из каждой ограниченной связной компоненты из C \ K , то существует последовательность от рациональных функций , которые равномерно сходятся к F на К и таким , что всем полюсам функцийнаходятся в А.
Обратите внимание, что не каждое комплексное число в A должно быть полюсом каждой рациональной функции последовательности. Мы просто знаем, что для всех членовчто у имеют полюсы, эти полюсы лежат в А .
Одним из аспектов, который делает эту теорему такой убедительной, является то, что можно выбрать множество A произвольно. Другими словами, можно выбрать любые комплексные числа из ограниченных компонент связности C \ K, и теорема гарантирует существование последовательности рациональных функций с полюсами только среди этих выбранных чисел.
В частном случае, когда C \ K - связное множество (в частности, когда K односвязно), множество A в теореме, очевидно, будет пустым. Поскольку рациональные функции без полюсов являются просто полиномами , мы получаем следующее следствие : если K - компактное подмножество C такое, что C \ K - связное множество, а f - голоморфная функция на открытом множестве, содержащем K , то существует последовательность многочленовкоторый приближается к f равномерно на K (предположения можно ослабить, см . теорему Мергеляна ).
Теорема Рунге обобщает следующее: можно взять A как подмножество сферы Римана C ∪ {∞} и потребовать, чтобы A пересекала также неограниченную связную компоненту K (которая теперь содержит ∞). То есть, в приведенной выше формулировке, рациональные функции могут оказаться иметь полюс на бесконечности, а в более общей формулировке полюс может быть выбран вместо того, чтобы в любом месте в неограниченной связной компоненте C \ K .
Доказательство
Элементарное доказательство, данное Сарасон (1998) , происходит следующим образом. В открытом множестве существует замкнутый кусочно-линейный контур Γ, содержащий K внутри. По интегральной формуле Коши
для ш в K . Для равномерного приближения контурного интеграла по K можно использовать аппроксимирующие суммы Римана . Каждый член в сумме является скалярным кратным ( z - w ) −1 для некоторой точки z на контуре. Это дает равномерное приближение рациональной функцией с полюсами на Γ.
Чтобы преобразовать это в приближение с полюсами в определенных точках в каждом компоненте дополнения K , достаточно проверить это для членов вида ( z - w ) −1 . Если z 0 - точка в том же компоненте, что и z , возьмите кусочно-линейный путь от z к z 0 . Если две точки расположены достаточно близко на пути, любая рациональная функция с полюсами только в первой точке может быть разложена в ряд Лорана по второй точке. Эта серия Laurent может быть усечена , чтобы дать рациональную функцию с полюсами лишь во второй точке равномерно близко к исходной функции на K . Продвигаясь пошагово по пути от z к z 0, исходная функция ( z - w ) −1 может быть последовательно модифицирована, чтобы дать рациональную функцию с полюсами только в точке z 0 .
Если z 0 - бесконечно удаленная точка, то с помощью описанной выше процедуры рациональная функция ( z - w ) −1 может быть сначала аппроксимирована рациональной функцией g с полюсами в R > 0, где R настолько велико, что K лежит в w < R . Разложение в ряд Тейлора г о 0 можно затем усеченного дать полиномиальная аппроксимация на K .
Смотрите также
Рекомендации
- Конвей, Джон Б. (1997), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
- Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций одной комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2905-X
- Сарасон, Дональд (1998), Заметки по теории сложных функций , Тексты и литература по математике, 5 , Hindustan Book Agency, стр. 108–115, ISBN 81-85931-19-4
Внешние ссылки
- "Теорема Рунге" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]