Теорема Мергеляна - известный результат комплексного анализа, доказанный армянским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году. В ней утверждается следующее:
Пусть К быть компактное подмножество в комплексной плоскости С таким образом, что С ∖ К будет подключен . Тогда каждая непрерывная функция f : K С , такой , что сужение F на Int ( К ) является голоморфной , может быть аппроксимирована равномерно на К с полиномами . Здесь Int ( К ) обозначает внутренность из K .
Теорема Мергеляна является окончательным развитием и обобщением аппроксимационной теоремы Вейерштрасса и теоремы Рунге . Он дает полное решение классической задачи приближения многочленами.
В случае, когда C ∖ K является не подключен, в исходной задаче приближения многочлены должны быть заменены рациональными функциями . Важный шаг в решении этой дальнейшей проблемы рациональной аппроксимации был также предложен Мергеляном в 1952 г. Дальнейшие глубокие результаты по рациональной аппроксимации принадлежат, в частности, А.Г. Витушкину .
Теоремы Вейерштрасса и Рунге были выдвинуты в 1885 году, а теорема Мергеляна датируется 1951 годом. Эта довольно большая разница во времени неудивительна, поскольку доказательство теоремы Мергеляна основано на новом мощном методе, созданном Мергеляном. После Вейерштрасса и Рунге над той же проблемой работали многие математики (в частности, Уолш , Келдыш и Лаврентьев ). Метод доказательства, предложенный Мергеляном, является конструктивным и остается единственным известным конструктивным доказательством результата.
Смотрите также
Рекомендации
- Леннарт Карлесон , Теорема Мергеляна о равномерной полиномиальной аппроксимации , Матем. Сканд., Т. 15, (1964) 167–175.
- Дитер Гайер, Лекции по комплексному приближению , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X .
- В. Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw – Hill Book Co., Нью-Йорк, (1987), ISBN 0-07-054234-1 .
- А.Г. Витушкин, Полвека как один день , Математические события двадцатого века, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4 / hbk.
Внешние ссылки
- "Теорема Мергеляна" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]