Аксиома конструктивности

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Аксиома конструктивности является возможной аксиомой для теории множеств в математике , которая утверждает , что каждое множество конструктивно . Аксиома обычно записывается как V = L , где V и L обозначают вселенную фон Неймана и конструктивную вселенную соответственно. Аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем , несовместима с утверждением о существовании точного нуля и более сильными аксиомами с большими кардиналами (см. Список свойств с большими кардиналами). Обобщения этой аксиомы исследуются в теории внутренних моделей .

Последствия [ править ]

Из аксиомы конструктивности следует аксиома выбора (AC), учитывая теорию множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF). Он также решает многие естественные математические вопросы, которые не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности подразумевает гипотезу обобщенного континуума , отрицание гипотезы Суслина и существование аналитического (фактически ) неизмеримого набора действительных чисел , которые не зависят от ZFC.${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$

Аксиома конструктивности подразумевает отсутствие тех больших кардиналов с силой согласованности, большей или равной 0 ^# , которая включает некоторые «относительно маленькие» большие кардиналы. Таким образом, ни один кардинал не может быть ω ₁ - Erdős в L . Хотя L действительно содержит начальные порядковые числа этих больших кардиналов (когда они существуют в супермодели L ), и они все еще являются начальными порядковыми числами в L , он исключает вспомогательные структуры (например, меры ), которые наделяют этих кардиналов их большими кардинальными свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие теоретико-множественные вопросы, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди реалистических теоретиков множеств , которые считают, что аксиома конструктивности истинна или ложна, большинство полагает, что она ложна. Отчасти это связано с тем, что это кажется излишне «ограничивающим», поскольку допускает только определенные подмножества данного набора без явных оснований полагать, что это все они. Отчасти потому, что этой аксиоме противоречат достаточно сильные большие кардинальные аксиомы . Эта точка зрения особенно ассоциируется с Кабалом или "Калифорнийской школой", как сказал бы Сахарон Шелах .

Значение [ править ]

Основное значение аксиомы конструктивности в Курта Гёделя доказательство «s относительной последовательности из аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума в теории множеств фон Неймана-Bernays-Гёделя . (Доказательство переносится на теорию множеств Цермело – Френкеля , которая стала более распространенной в последние годы.)

А именно, Гёдель доказал, что относительно непротиворечиво (т. Е. Если может доказать противоречие, то и может ), и что в${\ Displaystyle V = L}$${\displaystyle ZFC+(V=L)}$${\displaystyle ZF}$${\displaystyle ZF}$

${\displaystyle V=L\implies AC\land GCH,}$

тем самым устанавливая, что AC и GCH также относительно согласованы.

Доказательство Гёделя было дополнено в более поздние годы результатом Пола Коэна о том, что как AC, так и GCH независимы , т.е. что отрицания этих аксиом ( и ) также относительно согласованы с теорией множеств ZF.${\displaystyle \lnot AC}$${\displaystyle \lnot GCH}$

Утверждения верны в L [ править ]

Вот список утверждений, которые справедливы в конструируемой вселенной (обозначенной L ):

• Гипотеза обобщенного континуума и, как следствие,
  • Аксиома выбора
• Бриллиантовый костюм
  • Клубный костюм
• Глобальная площадь
• Существование болот
• Отрицание гипотезы Суслина
• Отсутствие 0 # и как следствие
  • Отсутствие всех больших кардиналов, что подразумевает существование измеримого кардинала
• Истинность гипотезы Уайтхеда , что каждая абелева группа с Ext ¹ ( A , Z ) = 0 является свободной абелевой группой .
• Существование определимого исправного порядка всех множеств (формула для которого может быть указана явно). В частности, L удовлетворяет V = HOD .

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструктивно ), эти предложения также верны во вселенной фон Неймана , разрешая многие предложения теории множеств и некоторые интересные вопросы анализа.

Ссылки [ править ]

• Девлин, Кейт (1984). Конструктивность . Springer-Verlag . ISBN 3-540-13258-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Сколько там реальных чисел? , Кейт Девлин, Математическая ассоциация Америки , июнь 2001 г.