В математике , то гипотеза континуума (сокращенно СН ) гипотеза о возможных размерах бесконечных множеств . Говорится:
Не существует набора, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами .
В теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) это эквивалентно следующему уравнению в числах алеф :.
Гипотеза континуума была выдвинута Георгом Кантором в 1878 году [1], и установление ее истинности или ложности - первая из 23 проблем Гильберта, представленных в 1900 году. Ответ на эту проблему не зависит от ZFC, так что либо гипотеза континуума, либо ее отрицание может быть добавлена в качестве аксиомы в теорию множеств ZFC, при этом результирующая теория согласована тогда и только тогда, когда ZFC согласована. Эта независимость была доказана в 1963 году Полом Коэном , дополнив более раннюю работу Курта Гёделя в 1940 году [2].
Название гипотезы происходит от термина «континуум» для действительных чисел.
История
Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и долгие годы тщетно пытался ее доказать. [3] Он стал первым в списке важных открытых вопросов Давида Гильберта, который был представлен на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Теория аксиоматических множеств на тот момент еще не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 году, что отрицание гипотезы континуума, т. Е. Существование множества промежуточной мощности, не может быть доказано в стандартной теории множеств. [2] Вторая половина независимости гипотезы континуума, т. Е. Недоказуемость отсутствия множества промежуточных размеров, была доказана в 1963 году Полом Коэном . [4]
Мощность бесконечных множеств
Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность или кардинальное число, если между ними существует взаимно однозначное соответствие ( взаимно однозначное соответствие). Интуитивно, если два множества S и T имеют одинаковую мощность, это означает, что можно «спаривать» элементы S с элементами T таким образом, чтобы каждый элемент S был спарен ровно с одним элементом T, и наоборот. наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {желтый, красный, зеленый}.
С бесконечными наборами, такими как набор целых или рациональных чисел , существование биекции между двумя наборами становится труднее продемонстрировать. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют собственное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют собственное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и больше действительных чисел, чем рациональных чисел. Однако этот интуитивный анализ ошибочен; он не принимает во внимание тот факт, что все три набора бесконечны . Оказывается, рациональные числа на самом деле могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и поэтому набор рациональных чисел имеет тот же размер ( мощность ), что и набор целых чисел: оба они являются счетными наборами .
Кантор дал два доказательства того, что мощность множества целых чисел строго меньше множества действительных чисел (см первого несчетность доказательства Кантора и диагональный аргумент Кантора ). Его доказательства, однако, не указывают на то, насколько мощность целых чисел меньше, чем мощность действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса.
Гипотеза континуума утверждает, что набор действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая больше, чем мощность набора целых чисел. То есть, каждый набор, S , действительных чисел либо может быть сопоставлен один-к-одному в целых или действительных числа могут быть сопоставлены один-к-одному в S . Как реальные цифры equinumerous с Powerset целых чисел, и гипотеза континуума утверждает, что не существует множества для которого .
Предполагая аксиому выбора , существует наименьшее кардинальное число больше чем , а гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству . [5]
Независимость от ZFC
Независимость гипотезы континуума (CH) от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пола Коэна .
Гёдель [2] показал, что CH не может быть опровергнуто из ZF, даже если принята аксиома выбора (AC) (создание ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что CH и AC имеют место в конструктивной вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, предполагающей только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы согласованы с ZF, при условии, что сама ZF согласована. Последнее условие не может быть доказано в самой ZF из-за теорем Гёделя о неполноте , но широко считается верным и может быть доказано в более сильных теориях множеств.
Коэн [4] [6] показал, что CH не может быть доказано с помощью аксиом ZFC, завершив полное доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения , который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой выполняется CH, и строится другая модель, которая содержит больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. За доказательство Коэн был награжден медалью Филдса в 1966 году.
Только что описанное доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH не зависит от всех известных больших кардинальных аксиом в контексте ZFC. [7] Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, согласованной с теоремой Кенига . Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, еслиявляется кардиналом неисчислимой конфинальности , то существует принудительное расширение, в котором. Однако, согласно теореме Кенига, неверно предполагать является или же или любой кардинал с конфинальностью .
Гипотеза континуума тесно связана со многими положениями анализа , точечной топологии и теории меры . В результате его независимости многие существенные гипотезы в этих областях впоследствии оказались независимыми.
Независимость от ZFC означает, что подтверждение или опровержение CH в ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не повсеместно признаются как устранение всякого интереса к гипотезе континуума. Проблема Гильберта остается активной темой исследований; см. Woodin [8] [9] и Peter Koellner [10] для обзора текущего состояния исследований.
Гипотеза континуума была не первым утверждением, независимым от ZFC. Непосредственным следствием теоремы Гёделя о неполноте , которая была опубликована в 1931 году, является то, что существует формальное утверждение (по одному для каждой подходящей схемы нумерации Гёделя ), выражающее непротиворечивость ZFC, которая не зависит от ZFC, при условии, что ZFC непротиворечива. Гипотеза континуума и выбранная аксиома были одними из первых математических утверждений, которые оказались независимыми от теории множеств ZF.
Аргументы за и против гипотезы континуума
Гёдель считал, что CH ложно, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, только показывает, что аксиомы Цермело – Френкеля неадекватно характеризуют универсум множеств. Гёдель был платоником и поэтому не имел проблем с утверждением истинности или ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хотя и был формалистом , [11] также склонен отвергать CH.
Исторически сложилось так, что математики, которые отдавали предпочтение «богатой» и «большой» вселенной множеств, были против CH, в то время как те, кто предпочитал «аккуратную» и «управляемую» вселенную, выступали за CH. Параллельные аргументы были сделаны за и против аксиомы конструктивности , из которой следует CH. Совсем недавно Мэтью Форман указал, что онтологический максимализм может фактически использоваться для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, которые имеют одинаковые действительные числа, модели с «большим количеством» наборов действительных чисел имеют больше шансов удовлетворить CH. [12]
Другая точка зрения состоит в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. Эта точка зрения была выдвинута еще в 1923 году Сколемом , еще до первой теоремы Гёделя о неполноте. Сколем спорил на основе того, что сейчас известно как парадокс Сколема , и позже он был поддержан независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно, чтобы установить элементарные свойства множеств и мощностей. Чтобы возразить против этой точки зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, поддерживаемые интуицией, и разрешить СН в том или ином направлении. Хотя аксиома конструктивности разрешает CH, она обычно не считается интуитивно верной, как и CH обычно считается ложной. [13]
Были предложены по крайней мере две другие аксиомы, которые имеют значение для гипотезы континуума, хотя в настоящее время эти аксиомы не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг [14] представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга , утверждению, основанному на доводах определенных интуитивных представлений о вероятностях . Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно верна», но другие не согласны. Сложный аргумент против CH, разработанный У. Хью Вудином , привлек значительное внимание с 2000 года. [8] [9] Форман не отвергает аргумент Вудина прямо, но призывает к осторожности. [15]
Соломон Феферман утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. [16] Он предлагает теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных кванторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предполагает, что утверждение математически "определен", если полуинтуиционистская теория может доказать . Он предполагает, что CH не определен в соответствии с этим понятием, и предлагает, следовательно, считать, что CH не имеет истинностного значения. Питер Кёлльнер написал критический комментарий к статье Фефермана. [17]
Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает подход мультивселенной к теории множеств и утверждает, что «гипотеза континуума основана на представлении о мультивселенной благодаря нашим обширным знаниям о том, как она ведет себя в мультивселенной, и, в результате, она больше не может быть решена таким образом. раньше надеялись на ". [18] В аналогичном ключе Сахарон Шелах написал, что он «не согласен с чисто платонической точкой зрения, что интересные проблемы в теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Я мысленно представляю, что у нас есть множество возможных теорий множеств, каждая из которых соответствует ZFC ». [19]
Гипотеза обобщенного континуума
Обобщенная гипотеза континуума (ОСИ) утверждает , что если мощностный лежит бесконечное множество в положении между бесконечным множеством S , и что из набора мощности из S , то она имеет ту же мощность , как либо S или. То есть для любого бесконечного кардинала нет кардинала такой, что . GCH эквивалентен:
- для каждого порядкового номера[5] (иногда называемая гипотезой алефа Кантора ).
В числе Beth обеспечивает альтернативную запись для этого условия: для каждого порядкового номера . Гипотеза континуума - это частный случай кардинального. GCH был впервые предложен Филипом Журденом . [20] О ранней истории GCH см. Мур. [21]
Подобно CH, GCH также не зависит от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH подразумевает аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы детерминированности , AD), поэтому выбор и GCH не независимы в ZF; нет моделей ZF, в которых GCH держится, а AC выходит из строя. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая мощность n меньше некоторого числа алефов и, таким образом, может быть упорядочена. Это делается путем демонстрации того, что n меньше, чемкоторое меньше, чем его собственное число Хартогса, - здесь используется равенство; для полного доказательства см. Gillman. [22]
Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V = L (аксиома о том, что каждое множество конструктивно относительно ординалов) и, следовательно, согласуется с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH выходит из строя, является моделью, в которой GCH выходит из строя, и, таким образом, GCH не может быть доказан из ZFC. В. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, для доказательства теоремы Истона , которая показывает, что она совместима с ZFC для произвольно больших кардиналов. не удовлетворить . Намного позже Форман и Вудин доказали, что (в предположении последовательности очень больших кардиналов) непротиворечиво, что выполняется для каждого бесконечного кардинала . Позже Вудин расширил это, показав последовательность для каждого . Карми Меримович [23] показал, что для каждого n ≥ 1 согласно ZFC, для каждого κ, 2 κ является n- м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай [24] доказал, что если γ - ординал и для каждого бесконечного кардинала κ, 2 κ является γ-м преемником κ, то γ конечно.
Для любых бесконечных множеств A и B, если есть инъекция из A в B, то есть инъекция из подмножеств A в подмножества B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B, . Если A и B конечны, более сильное неравенстводержит. Из GCH следует, что это строгое более сильное неравенство выполняется как для бесконечных кардиналов, так и для конечных кардиналов.
Значение GCH для кардинального возведения в степень
Хотя обобщенная гипотеза континуума напрямую относится только к кардинальному возведению в степень с основанием 2, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень. во всех случаях. GCH подразумевает, что: [25]
- когда α ≤ β +1;
- когда β +1 < α и , где cf - операция конфинальности ; а также
- когда β +1 < α и .
Первое равенство (при α ≤ β +1) следует из:
- , пока:
- ;
Третье равенство (когда β +1 < α и) следует из:
- , по теореме Кенига , а:
Где для каждого γ используется GCH для приравнивания а также ; используется как эквивалент аксиомы выбора .
Смотрите также
- Число Бет
- Мощность
- Ω-логика
- Проблема Ветцеля
Рекомендации
- Мэдди, Пенелопа (июнь 1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . Ассоциация символической логики. 53 (2): 481–511. DOI : 10.2307 / 2274520 . JSTOR 2274520 .
- ^ Кантор, Георг (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 84 (84): 242–258. DOI : 10,1515 / crll.1878.84.242 .
- ^ а б в Гёдель, К. (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Издательство Принстонского университета.
- ^ Добен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Издательство Принстонского университета. С. 134–7 . ISBN 9780691024479.
- ^ а б Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858 . PMC 221287 . PMID 16578557 .
- ^ а б Гольдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
- ^ Коэн, Пол Дж. (15 января 1964 г.). "Независимость гипотезы континуума, II" . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Полномочный код : 1964PNAS ... 51..105C . DOI : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR 72252 . PMC 300611 . PMID 16591132 .
- ^ Феферман, Соломон (февраль 1999 г.). «Нужны ли математике новые аксиомы?». Американский математический ежемесячник . 106 (2): 99–111. CiteSeerX 10.1.1.37.295 . DOI : 10.2307 / 2589047 .
- ^ а б Вудин, У. Хью (2001). "Гипотеза континуума, часть I" (PDF) . Уведомления AMS . 48 (6): 567–576.
- ^ а б Вудин, У. Хью (2001). "Гипотеза континуума, часть II" (PDF) . Уведомления AMS . 48 (7): 681–690.
- ^ Кельнер, Питер (2011). "Гипотеза континуума" (PDF) . Изучение границ независимости (цикл лекций в Гарварде) .
- ^ Гудман, Николас Д. (1979). «Математика как объективная наука». Американский математический ежемесячник . 86 (7): 540–551. DOI : 10.2307 / 2320581 . Руководство по ремонту 0542765 .
Этот взгляд часто называют формализмом. Более или менее подобные позиции можно найти у Хаскелла Карри [5], Авраама Робинсона [17] и Пола Коэна [4].
- Перейти ↑ Maddy 1988 , p. 500.
- ^ Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Амстердам: Северная Голландия. п. 171. ISBN. 978-0-444-85401-8.
- ^ Фрейлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков в линию действительного числа». Журнал символической логики . Ассоциация символической логики. 51 (1): 190–200. DOI : 10.2307 / 2273955 . JSTOR 2273955 .
- ^ Форман, Мэтт (2003). «Была ли принята гипотеза о континууме?» (PDF) . Проверено 25 февраля 2006 года .
- ^ Феферман, Соломон (2011). «Является ли гипотеза континуума определенной математической проблемой?» (PDF) . Изучение границ независимости (цикл лекций в Гарварде) .
- ^ Кельнер, Питер (2011). "Феферман О неопределенности CH" (PDF) .
- ^ Хэмкинс, Джоэл Дэвид (2012). «Теоретико-множественная мультивселенная». Rev. Symb. Журнал . 5 (3): 416–449.
- ^ Шелах, Сахарон (2003). «Логические мечты». Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) . 40 (2): 203–228. arXiv : математика / 0211398 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-03-00981-9 .
- ^ Журден, Филипп EB (1905). «О трансфинитных числах экспоненциальной формы» . Философский журнал . Серия 6. 9 : 42–56. DOI : 10.1080 / 14786440509463254 .
- ^ Мур, Грегори Х. (2011). «Ранняя история гипотезы обобщенного континуума: 1878–1938». Вестник символической логики . 17 (4): 489–532. DOI : 10.2178 / BSL / 1318855631 . Руководство по ремонту 2896574 .
- ^ Гиллман, Леонард (2002). «Два классических сюрприза относительно аксиомы выбора и гипотезы континуума» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 109 . DOI : 10.2307 / 2695444 .
- ^ Меримович, Карми (2007). «Степенная функция с фиксированной конечной щелью всюду». Журнал символической логики . 72 (2): 361–417. arXiv : математика / 0005179 . DOI : 10.2178 / JSL / 1185803615 . Руководство по ремонту 2320282 .
- ^ Патай, Л. (1930). "Untersuchungen über die-reihe". Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn (на немецком языке). 37 : 127–142.
- ^ Хайден, Сеймур; Кеннисон, Джон Ф. (1968). Теория множеств Цермело-Френкеля . Колумбус, Огайо: издательство Charles E. Merrill Publishing Company. п. 147, упражнение 76.
Источники
- Эта статья включает в себя материал из гипотезы обобщенного континуума о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License . Архивировано 8 февраля 2017 года в Wayback Machine.
дальнейшее чтение
- Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
- Dales, HG; Вудин, WH (1987). Введение в независимость для аналитиков . Кембридж.
- Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Академическая пресса.
- Гёдель, К .: Что такое проблема континуума Кантора? , перепечатано в сборнике Бенасеррафа и Патнэма « Философия математики» , 2-е изд., Cambridge University Press, 1983. Обзор аргументов Гёделя против CH.
- Мартин, Д. (1976). «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в « Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта», Труды симпозиумов по чистой математике XXVIII, Ф. Браудер, редактор. Американское математическое общество, 1976, стр. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
- Макгоф, Нэнси. «Гипотеза континуума» .
Внешние ссылки
- Судзик, Мэтью и Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза континуума" . MathWorld .