В основ математики , теории множеств фон Неймана-Bernays Геделя ( NBG ) является аксиомой теории множеств , которая является консервативным расширением из теории множеств Цермело-Френкеля-Choice (ZFC). NBG вводит понятие о классе , который представляет собой совокупность множеств , определяемых формулой которого кванторы варьируются только над множествами. NBG может определять классы, которые больше, чем наборы, такие как класс всех наборов и класс всех порядковых чисел . Теория множеств Морса – Келли(MK) позволяет определять классы с помощью формул, кванторы которых варьируются от классов. NBG конечно аксиоматизируем, а ZFC и MK - нет.
Ключевой теоремой NBG является теорема существования классов, которая утверждает, что для каждой формулы, кванторы которой действуют только по множествам, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих формуле. Этот класс создается путем отражения пошагового построения формулы с классами. Поскольку все теоретико-множественные формулы строятся из двух видов атомарных формул ( членство и равенство ) и конечного числа логических символов , только конечное число аксиом необходимо для построения классов, удовлетворяющих им. Вот почему NBG конечно аксиоматизируема. Классы также используются для других построений, для обработки теоретико-множественных парадоксов и для формулирования аксиомы глобального выбора , которая сильнее аксиомы выбора ZFC .
Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Основными понятиями его теории были функция и аргумент . Используя эти понятия, он определил класс и множество. [1] Пол Бернейс переформулировал теорию фон Неймана, взяв класс и множество как примитивные понятия. [2] Курт Гёдель упростил теорию Бернейса для доказательства относительной непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума . [3]
Занятия по теории множеств
Использование классов
Классы имеют несколько применений в NBG:
- Они производят конечную аксиоматизацию теории множеств. [4]
- Они используются для утверждения «очень сильной формы аксиомы выбора » [5], а именно аксиомы глобального выбора : существует функция глобального выбора. определены на классе всех непустых множеств таких, что для каждого непустого множества Это сильнее, чем аксиома выбора ZFC: для каждого набора непустых множеств существует функция выбора определено на такой, что для всех [а]
- С теоретико-множественными парадоксами можно справиться, признав, что некоторые классы не могут быть множествами. Например, предположим, что классвсех ординалов - это набор. потомявляется транзитивным множество хорошо упорядоченных по. Итак, по определению,это порядковый номер. Следовательно,, что противоречит быть хорошо организованным Следовательно, это не набор. Поскольку класс, не являющийся набором, называется правильным классом ,это правильный класс. [6]
- Правильные классы полезны в конструкциях. В своем доказательстве относительной непротиворечивости аксиомы глобального выбора и гипотезы обобщенного континуума Гёдель использовал соответствующие классы для построения конструируемой вселенной . Он построил функцию для класса всех ординалов, которая для каждого ординала строит конструктивный набор, применяя операцию построения множества к ранее построенным множествам. Конструируемая вселенная - это образ этой функции. [7]
Схема аксиом против теоремы существования класса
После того, как классы добавлены к языку ZFC, легко преобразовать ZFC в теорию множеств с классами. Сначала добавляется схема аксиомы понимания класса. Эта схема аксиомы гласит: Для каждой формулы который измеряется только по множествам, существует класс состоящий из - кортежи, удовлетворяющие формуле, т. е.Затем схема аксиом замены заменяется единственной аксиомой , использующей класс. Наконец, аксиома расширенности ZFC изменена для обработки классов: если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны. Остальные аксиомы ZFC не изменяются. [8]
Эта теория не имеет конечной аксиоматики. Схема замены ZFC была заменена единственной аксиомой, но была введена схема аксиомы понимания классов.
Чтобы создать теорию с конечным числом аксиом, схема аксиом понимания классов сначала заменяется конечным числом аксиом существования классов . Затем эти аксиомы используются для доказательства теоремы существования классов, из которой следует каждый экземпляр схемы аксиом. [8] Для доказательства этой теоремы требуется всего семь аксиом существования классов, которые используются для преобразования конструкции формулы в построение класса, удовлетворяющего этой формуле.
Аксиоматизация NBG
Классы и наборы
NBG имеет два типа объектов: классы и множества. Интуитивно каждый набор - это тоже класс. Есть два способа аксиоматизировать это. Бернейс использовал многосортную логику с двумя видами: классы и множества. [2] Гёдель избегал сортировки, вводя примитивные предикаты: для " это класс "и для "- это набор »(по-немецки« набор »означает Менге ). Он также ввел аксиомы, утверждающие, что каждый набор является классом и что если класс является членом класса, то это набор. [9] Использование предикатов - стандартный способ устранения сортировки. Эллиотт Мендельсон модифицировал подход Гёделя, сделав все классом и определив предикат множества. в виде [10] Эта модификация устраняет предикат классов Гёделя и его две аксиомы.
Двусторонний подход Бернейса на первый взгляд может показаться более естественным, но он создает более сложную теорию. [b] В теории Бернейса каждое множество имеет два представления: одно как множество, а другое как класс. Кроме того, существуют два отношения принадлежности : первое, обозначенное «∈», находится между двумя наборами; второй, обозначаемый «η», находится между набором и классом. [2] Эта избыточность требуется многосортной логике, потому что переменные разных сортов располагаются в непересекающихся подобластях предметной области .
Различия между этими двумя подходами не влияют на то, что можно доказать, но они влияют на то, как написаны утверждения. Согласно подходу Гёделя, где а также are classes - верное утверждение. В подходе Бернейса это утверждение не имеет смысла. Однако если есть набор, есть эквивалентное утверждение: Определить "набор представляет класс "если они имеют те же наборы, что и члены, т. е. Заявление где установлен представляет класс эквивалентен Гёделевскому [2]
В данной статье использован подход Гёделя с модификацией Мендельсона. Это означает, что NBG является аксиоматической системой в логике предикатов первого порядка с равенством , и ее единственными примитивными понятиями являются класс и отношение принадлежности.
Определения и аксиомы протяженности и спаривания
Набор - это класс, который принадлежит хотя бы к одному классу: является множеством тогда и только тогда, когда . Класс, не являющийся набором, называется правильным классом: является правильным классом тогда и только тогда, когда . [12] Следовательно, каждый класс является либо набором, либо собственным классом, и никакой класс не является и тем, и другим (если теория непротиворечива ).
Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные верхнего регистра распространяются по классам, а переменные нижнего регистра - по множествам. [9] Гёдель также использовал имена, начинающиеся с заглавной буквы, для обозначения конкретных классов, включая функции и отношения, определенные в классе всех множеств. В этой статье используется соглашение Гёделя. Это позволяет нам писать:
- вместо
- вместо
Следующие аксиомы и определения необходимы для доказательства теоремы существования классов.
Аксиома протяженности. Если два класса имеют одинаковые элементы, они идентичны.
- [13]
Эта аксиома обобщает аксиому ZFC о расширении на классы.
Аксиома спаривания . Если а также являются множествами, то существует множество чьи единственные члены а также .
- [14]
Как и в ZFC, из аксиомы протяженности следует единственность множества , что позволяет ввести обозначения
Упорядоченные пары определяются:
Кортежи определяются индуктивно с помощью упорядоченных пар:
- [c]
Аксиомы существования классов и аксиома регулярности
Аксиомы существования классов будут использоваться для доказательства теоремы существования классов: для каждой формулы в переменные свободного набора, которые количественно измеряются только по множествам, существует класс- пары, которые его удовлетворяют. Следующий пример начинается с двух классов, которые являются функциями, и создает составную функцию . Этот пример иллюстрирует методы, необходимые для доказательства теоремы существования классов, которые приводят к необходимым аксиомам существования классов.
Пример 1: Если классы а также являются функциями, то составная функция определяется формулой: Поскольку в этой формуле есть две переменные свободного набора, а также теорема существования класса строит класс упорядоченных пар: Поскольку эта формула построена из более простых формул с использованием конъюнкции и экзистенциальная количественная оценка , Класс операция необходима , что занятия проводятся представляющие простые формулы и классов производят представляющие формулы с а также . Чтобы создать класс, представляющий формулу с, пересечение используется с Чтобы создать класс, представляющий формулу с , домен используется с
Перед пересечением кортежи в а также нужен дополнительный компонент, чтобы у них были одинаковые переменные. Компонент добавляется к кортежам а также добавляется к кортежам :
- а также
В определении переменная не ограничивается заявлением так колеблется над классом всех комплектов. Аналогично в определении переменная колеблется над Таким образом, необходима аксиома, которая добавляет дополнительный компонент (значения которого варьируются от ) к кортежам данного класса.
Затем переменные располагаются в том же порядке, чтобы подготовиться к пересечению:
- а также
Чтобы уйти от к и из к требует двух разных перестановок , поэтому необходимы аксиомы, поддерживающие перестановки компонентов кортежа.
Пересечение а также ручки :
С определяется как , принимая домен ручки и производит составную функцию:
Итак, необходимы аксиомы пересечения и области.
Аксиомы существования классов делятся на две группы: аксиомы, управляющие языковыми примитивами, и аксиомы, управляющие кортежами. В первой группе четыре аксиомы, а во второй - три. [d]
Аксиомы для работы с языковыми примитивами:
Членство. Существует класс содержащий все упорядоченные пары, первый компонент которых является членом второго компонента.
- [18]
Пересечение (соединение). Для любых двух классов а также , есть класс состоящий в точности из множеств, принадлежащих обоим а также .
- [19]
Дополнение (отрицание). Для любого класса, есть класс состоящий именно из множеств, не принадлежащих .
- [20]
Домен (экзистенциальный квантификатор). Для любого класса, есть класс состоящий именно из первых компонент упорядоченных пар .
- [21]
По аксиоме протяженности класс в аксиоме пересечения и классе в дополнении и области аксиомы уникальны. Они будут обозначаться: а также соответственно. [e] С другой стороны, протяженность не применима к в аксиоме членства, поскольку он определяет только те множества в которые являются упорядоченными парами.
Первые три аксиомы подразумевают существование пустого класса и класса всех множеств: аксиома принадлежности подразумевает существование класса Из аксиом пересечения и дополнения следует существование , который пуст. По аксиоме протяженности этот класс единственен; это обозначается Дополнение это класс всех множеств, что также уникально по протяженности. Предикат набора, который был определен как , теперь переопределяется как чтобы избежать количественной оценки классов.
Аксиомы для работы с кортежами:
Продукт от. Для любого класса, есть класс состоящий из упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит .
- [23]
Круговая перестановка . Для любого класса, есть класс чьи 3-х кортежи получаются путем применения круговой перестановки к тройкам .
- [24]
Транспонирование . Для любого класса, есть класс чьи 3-х кортежи получаются перестановкой последних двух компонентов 3-х кортежей .
- [25]
По дополнительному принципу продукт аксиома влечет существование единственного класса, который обозначается Эта аксиома используется для определения класса из всех - пары : а также Если является классом, из протяженности следует, что единственный класс, состоящий из -наборов из Например, аксиома принадлежности порождает класс которые могут содержать элементы, не являющиеся упорядоченными парами, а пересечение содержит только упорядоченные пары .
Аксиомы круговой перестановки и транспонирования не подразумевают существования уникальных классов, поскольку они определяют только 3-х кортежи класса. Задавая 3 кортежа, эти аксиомы также определяют -наборы для поскольку: Из аксиом работы с кортежами и аксиомы области следует следующая лемма, которая используется при доказательстве теоремы существования класса.
Лемма о кортеже.
Доказательство: класс: Применить продукт к производить
Класс : Применить транспонирование к производить
Класс : Применить круговую перестановку к производить
Класс : Применить круговую перестановку к , затем примените домен для создания
Для доказательства теоремы существования классов нужна еще одна аксиома: аксиома регулярности . Поскольку существование пустого класса доказано, дается обычная формулировка этой аксиомы. [f]
Аксиома регулярности . В каждом непустом множестве есть хотя бы один элемент, с которым у него нет ничего общего.
Эта аксиома означает, что множество не может принадлежать самому себе: предположим, что и разреши потом поскольку Это противоречит аксиоме регулярности, поскольку единственный элемент в Следовательно, Аксиома регулярности также запрещает бесконечные убывающие последовательности принадлежности множеств:
Гёдель заявил о регулярности для классов, а не для множеств в своей монографии 1940 г., основанной на лекциях, прочитанных в 1938 г. [26] В 1939 г. он доказал, что регулярность для множеств влечет регулярность для классов. [27]
Теорема существования класса
Теорема существования класса. Позволятьбыть формулой, которая дает количественную оценку только по множествам и не содержит свободных переменных, кроме(не обязательно все это). Тогда для всех, существует единственный класс из -наборы такие, что: Класс обозначается [грамм]
Доказательство теоремы будет выполнено в два этапа:
- Правила преобразования используются для преобразования данной формулы в эквивалентную формулу, упрощающую индуктивную часть доказательства. Например, единственными логическими символами в преобразованной формуле являются, , а также , поэтому индукция обрабатывает логические символы всего с тремя регистрами.
- Теорема существования классов доказывается индуктивно для преобразованных формул. Руководствуясь структурой преобразованной формулы, аксиомы существования классов используются для создания уникального класса-наборы, удовлетворяющие формуле.
Правила трансформации. В правилах 1 и 2 ниже а также обозначают переменные множества или класса. Эти два правила исключают все вхождения переменных класса переди все случаи равенства. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 1 или 2, выбирается так, чтобы отличается от других переменных в текущей формуле. Три правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым они могут быть применены. Это дает формулу, которая построена только с, , , , установить переменные и переменные класса где не появляется перед .
- превращается в
- Расширяемость используется для преобразования в
- Логические тождества используются для преобразования подформул, содержащих а также к подформулам, которые используют только а также
Правила преобразования: связанные переменные . Рассмотрим формулу составной функции из примера 1, в которой переменные свободного набора заменены на а также : Индуктивное доказательство устранит , что дает формулу Однако, поскольку теорема существования класса сформулирована для переменных с индексами, эта формула не имеет формы, ожидаемой предположением индукции . Эта проблема решается заменой переменной с участием Связанные переменные во вложенных квантификаторах обрабатываются увеличением нижнего индекса на единицу для каждого последующего квантификатора. Это приводит к правилу 4, которое должно применяться после других правил, поскольку правила 1 и 2 производят количественные переменные.
- Если формула не содержит переменных свободного набора, кроме затем связанные переменные, вложенные в кванторы заменяются на . Эти переменные имеют (квантификатор) глубину вложенности .
Пример 2: Правило 4 применяется к формуле который определяет класс, состоящий из всех множеств вида То есть наборы, содержащие не менее и набор, содержащий - Например, где а также есть наборы. С единственная свободная переменная, Количественная переменная появляется дважды в на глубине вложения 2. Его индекс равен 3, потому что Если две области квантификатора находятся на одной и той же глубине вложения, они либо идентичны, либо не пересекаются. Два появления находятся в непересекающихся областях действия кванторов, поэтому они не взаимодействуют друг с другом.
Доказательство теоремы существования класса. Доказательство начинается с применения правил преобразования к данной формуле для получения преобразованной формулы. Поскольку эта формула эквивалентна данной формуле, доказательство завершается доказательством теоремы существования классов для преобразованных формул.
Доказательство теоремы существования классов для преобразованных формул |
---|
При доказательстве используется следующая лемма. Позволять и разреши - класс, содержащий все упорядоченные пары удовлетворение Это, потом может быть расширен до уникального класса из - пары, удовлетворяющие. Это,
1. Если позволять 2. Если позволять 3. Если позволять 4. Пусть Расширяемость подразумевает, что уникальный класс - пары, удовлетворяющие Позволять быть формулой, которая: 1. не содержит свободных переменных, кроме ; Тогда для всех , существует единственный класс из -наборы такие, что: имеет 0 логических символов. Из предположения теоремы следует, что атомарная формула вида или же Если является , строим класс уникальный класс - пары, удовлетворяющие является где Аксиома членства порождает класс содержащий все упорядоченные пары удовлетворение Применим лемму о разложении к чтобы получить является где Аксиома членства порождает класс содержащий все упорядоченные пары удовлетворение Применим утверждение 4 леммы о кортежах к чтобы получить содержащий все упорядоченные пары удовлетворение Применим лемму о разложении к чтобы получить является где Поскольку эта формула неверна по аксиоме регулярности , нет- пары удовлетворяют ему, поэтому Если является , строим класс уникальный класс - пары, удовлетворяющие является где Примените аксиому произведения по к производить класс Применим лемму о разложении к чтобы получить является где Примените аксиому произведения по к производить класс Применим утверждение 4 леммы о кортежах к чтобы получить Применим лемму о разложении к чтобы получить является где потом имеет логические символы, где . Предположим по предположению индукции, что теорема верна для всех с менее чем логические символы. Докажем теорему для с участием логические символы. В этом доказательстве список переменных класса сокращенно , поэтому формула, например - можно записать как С имеет логических символов, предположение индукции подразумевает, что существует единственный класс из -наборы такие, что: По аксиоме дополнения существует класс такой, что Тем не мение, содержит элементы, отличные от -наборы, если Чтобы устранить эти элементы, используйте который является дополнением по отношению к классу из всех - пары. [e] Тогда в силу протяженности уникальный класс -наборы такие, что: Поскольку оба а также иметь меньше чем логических символов, предположение индукции подразумевает, что существуют уникальные классы -кортежи, а также , такое, что: По аксиомам пересечения и протяженности уникальный класс -наборы такие, что: Глубина вложенности квантора на один больше, чем у а дополнительная свободная переменная С имеет логических символов, предположение индукции подразумевает, что существует единственный класс из -наборы такие, что: По аксиомам области и протяженности уникальный класс -наборы такие, что: [h] |
Гёдель указал, что теорема существования класса «является метатеоремой , то есть теоремой о системе [NBG], а не о системе…» [30] Это теорема о NBG, потому что она доказывается в метатеории индукцией по Формулы NBG. Кроме того, его доказательство - вместо использования конечного числа аксиом NBG - индуктивно описывает, как использовать аксиомы NBG для построения класса, удовлетворяющего заданной формуле. Для каждой формулы это описание можно превратить в конструктивное доказательство существования, которое есть в NBG. Следовательно, эта метатеорема может генерировать доказательства NBG, которые заменяют использование теоремы существования классов NBG.
Рекурсивная компьютерная программа лаконично захватывает строительство класса из данной формулы. Определение этой программы не зависит от доказательства теоремы существования классов. Однако доказательство необходимо, чтобы доказать, что класс, построенный программой, удовлетворяет заданной формуле и построен с использованием аксиом. Эта программа написана в псевдокоде, который использует оператор case в стиле Паскаля . [я]
Позволять формула примера 2 . Вызов функции генерирует класс который ниже сравнивается с Это показывает, что конструкция класса отражает построение его определяющей формулы
Расширение теоремы существования класса
Гёдель распространил теорему существования классов на формулы содержащие отношения над классами (например,и унарное отношение ), специальные классы (например, ) и операции (например, а также ). [32] Чтобы расширить теорему существования классов, формулы, определяющие отношения, специальные классы и операции, должны количественно определять только по множествам. потомможно преобразовать в эквивалентную формулу, удовлетворяющую условию теоремы существования классов .
Следующие определения определяют, как формулы определяют отношения, специальные классы и операции:
- Отношение определяется:
- Особый класс определяется:
- Операция определяется:
Термин определяется следующим образом:
- Переменные и специальные классы - это термины.
- Если это операция с аргументы и условия, тогда это термин.
Следующие правила преобразования исключают отношения, специальные классы и операции. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 2b, 3b или 4, выбирается так, чтобы отличается от других переменных в текущей формуле. Правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым они могут быть применены. а также обозначают термины.
- Отношение заменяется его определяющей формулой
- Позволять быть определяющей формулой для специального класса
- заменяется на
- заменяется на
- Позволять определяющая формула для операции
- заменяется на
- заменяется на
- Расширяемость используется для преобразования в
Пример 3: преобразование
Пример 4: преобразование Этот пример показывает, как правила преобразования работают вместе, чтобы исключить операцию.
Теорема существования класса (расширенная версия). Позволять быть формулой, которая дает количественную оценку только по множествам, не содержит свободных переменных, кроме , и может содержать отношения, специальные классы и операции, определенные формулами, которые определяют количественно только по множествам. Тогда для всех существует уникальный класс из -наборы такие, что[j]
Доказательство: примените правила преобразования кдля создания эквивалентной формулы, не содержащей отношений, специальных классов или операций. Эта формула удовлетворяет условию теоремы существования классов. Поэтому для всех есть уникальный класс из - пары, удовлетворяющие
Установить аксиомы
Аксиомы спаривания и регулярности, которые потребовались для доказательства теоремы существования классов, были приведены выше. NBG содержит еще четыре аксиомы набора. Три из этих аксиом имеют дело с классовыми операциями, применяемыми к множествам.
Определение. является функцией, если
В теории множеств определение функции не требует указания области или домена функции (см. Функция (теория множеств) ). Определение функции NBG обобщает определение ZFC от набора упорядоченных пар до класса упорядоченных пар.
Определения ZFC наборов операций изображения , объединения и набора мощности также обобщены на операции классов. Образ класса под функцией является Это определение не требует, чтобы Союз класса является Класс мощности является Расширенная версия теоремы существования классов подразумевает существование этих классов. Аксиомы замены, объединения и набора мощности подразумевают, что, когда эти операции применяются к множествам, они производят множества. [34]
Аксиома замещения. Если это функция и это набор, то , То изображение из под , это набор.
Не имея требования в определении дает более сильную аксиому замены, которая используется в следующем доказательстве.
Теорема ( аксиома отделимости НБГ ). Если это набор и является подклассом тогда это набор.
Доказательство: Существование класса теорема конструирует ограничение в тождественной функции к: Поскольку образ под является , из аксиомы замены следует, что это набор. Это доказательство зависит от определения изображения, не имеющего требования поскольку скорее, чем
Аксиома союза. Если - множество, то существует множество, содержащее
Аксиома силового набора. Если - множество, то существует множество, содержащее
- [k]
Теорема. Если это набор, то а также есть наборы.
Доказательство: аксиома союза утверждает, что является подклассом множества , поэтому из аксиомы разделения следует это набор. Точно так же аксиома набора мощности утверждает, что является подклассом множества , поэтому из аксиомы разделения следует, что это набор.
Аксиома бесконечности. Существует непустое множество такое, что для всех в существует в такой, что является собственным подмножеством .
Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества . При обсуждении аксиом существования классов существование пустого классабыло доказано. Теперь докажем, чтоэто набор. Пусть функция и разреши - множество, заданное аксиомой бесконечности. При замене образ под , что равно , это набор.
Аксиома бесконечности NBG подразумевается аксиомой бесконечности ZFC :Первый конъюнкт аксиомы ZFC,, следует первый конъюнкт аксиомы NBG. Второй конъюнкт аксиомы ZFC,, следует второй конъюнкт аксиомы NBG, поскольку Чтобы доказать аксиому бесконечности ZFC из аксиомы бесконечности NBG, требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности ). [l]
Аксиома глобального выбора
Концепция классов позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора - это функция определено на множестве непустых множеств таких, что для всех Аксиома выбора ZFC утверждает, что существует функция выбора для каждого набора непустых множеств. Функция глобального выбора - это функция определены на классе всех непустых множеств таких, что для каждого непустого множества Аксиома глобального выбора утверждает, что существует функция глобального выбора. Из этой аксиомы следует аксиома выбора ZFC, поскольку для любого множества непустых множеств, ( ограничение на к ) - функция выбора для В 1964 году Уильям Б. Истон доказал, что глобальный выбор сильнее аксиомы выбора, используя принуждение для построения модели, которая удовлетворяет аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, кроме аксиомы глобального выбора. [38] Аксиома глобального выбора эквивалентна каждому классу, имеющему хороший порядок, в то время как аксиома выбора ZFC эквивалентна каждому множеству, имеющему хороший порядок. [м]
Аксиома глобального выбора. Существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.
История
Система аксиом фон Неймана 1925 года
Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году. В 1928 году он дал подробное описание своей системы. [39] Фон Нейман основал свою систему аксиом на двух областях примитивных объектов: функциях и аргументах. Эти домены перекрываются - объекты, которые находятся в обоих доменах, называются функциями-аргументами. Функции соответствуют классам в NBG, а функции-аргументы соответствуют множествам. Примитивная операция фон Неймана - это приложение функции , обозначаемое [ a , x ], а не a ( x ), где a - функция, а x - аргумент. Эта операция дает аргумент. Фон Неймана определенные классы и наборы с использованием функций и аргументов функций , которые принимают только два значения, A и B . Он определил х ∈ , если [ , х ] ≠ . [1]
На работу фон Неймана в области теории множеств повлияли статьи Георга Кантора , аксиомы теории множеств Эрнста Цермело 1908 года и критика теории множеств Цермело в 1922 году, независимо друг от друга проведенная Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом . Оба Френкеля и Skolem отметил, что аксиомы Цермело не может доказать существование множества { Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...} , где Z 0 является множество натуральных чисел и Z п + 1 является в комплект питания от Z п . Затем они ввели аксиому замены, которая гарантировала бы существование таких множеств. [40] [n] Однако они не хотели принимать эту аксиому: Френкель заявил, что «Замена была слишком сильной аксиомой для« общей теории множеств »», в то время как «Сколем только написал, что« мы можем ввести «Замещение» ». [42]
Фон Нейман работал над проблемами теории множеств Цермело и предоставил решения для некоторых из них:
- Теория ординалов
- Проблема: теорию порядковых чисел Кантора нельзя развить в теории множеств Цермело, потому что в ней отсутствует аксиома замены. [o]
- Решение: фон Нейман восстановил теорию Кантора, определив порядковые числа с помощью множеств, которые хорошо упорядочены по отношению ∈, [p], и с помощью аксиомы замены для доказательства ключевых теорем об ординалах, например, каждое упорядоченное множество есть порядково-изоморфен порядковому номеру. [o] В отличие от Френкеля и Сколема, фон Нейман подчеркивал, насколько важна аксиома замены для теории множеств: «Фактически, я считаю, что никакая теория ординалов невозможна без этой аксиомы». [45]
- Критерий, определяющий классы, которые слишком велики, чтобы их можно было установить
- Проблема: Цермело не предоставил такой критерий. Его теория множеств избегает больших классов, которые приводят к парадоксам , но не учитывает многие множества, такие как упомянутое Френкелем и Сколемом. [q]
- Решение: Фон Нейман ввел критерий: класс слишком велик, чтобы быть множеством, тогда и только тогда, когда он может быть отображен на класс V всех множеств. Фон Нейман понял, что теоретико-множественных парадоксов можно избежать, не позволяя таким большим классам быть членами какого-либо класса. Комбинируя это ограничение с его критерием, он получил свою аксиому ограничения размера : A класса C не является членом любого класса , если и только если С может быть отображен на V . [48] [r]
- Конечная аксиоматизация
- Проблема: Цермело использовал неточное понятие «определенной пропозициональной функции » в своей аксиоме разделения .
- Решения: Сколем представил схему разделения аксиом, которая позже была использована в ZFC, а Френкель представил эквивалентное решение. [50] Однако Цермело отверг оба подхода, «особенно потому, что они неявно включают понятие натурального числа, которое, по мнению Цермело, должно основываться на теории множеств». [s] Фон Нейман избегал схем аксиом , формализовав понятие «определенной пропозициональной функции» с помощью своих функций, построение которых требует лишь конечного числа аксиом. Это привело к тому, что его теория множеств имела конечное число аксиом. [51] В 1961 году Ричард Монтегю доказал, что ZFC нельзя аксиоматизировать с конечной точностью. [52]
- Аксиома регулярности
- Проблема: теория множеств Цермело начинается с пустого множества и бесконечного множества и повторяет аксиомы спаривания, объединения, набора мощности, разделения и выбора для создания новых множеств. Однако он не ограничивает наборы ими. Например, это позволяет наборы, которые не вполне обоснованные , такие как набор х , удовлетворяющих х ∈ х . [т]
- Решения: Френкель ввел аксиому, исключающую эти множества. Фон Нейман проанализировал аксиому Френкеля и заявил, что она не была «точно сформулирована», но приблизительно говорила: «Помимо множеств ... чье существование абсолютно требуется аксиомами, других множеств нет». [54] Фон Нейман предложил аксиому регулярности как способ исключения необоснованных множеств, но не включил ее в свою систему аксиом. В 1930 году Цермело первым опубликовал систему аксиом, включающую закономерность. [u]
Система аксиом фон Неймана 1929 г.
В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели к NBG. Эта статья была мотивирована его озабоченностью по поводу непротиворечивости аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает многое, на самом деле слишком много». Помимо применения аксиом разделения и замены и теоремы о хорошем порядке , это также означает, что любой класс, мощность которого меньше, чем у V, является множеством. Фон Нейман подумал, что это последнее утверждение выходит за рамки канторовской теории множеств, и пришел к выводу: «Следовательно, мы должны обсудить, не является ли его [аксиома] непротиворечивость даже более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за необходимые канторианские рамки». [57]
Фон Нейман начал свое исследование согласованности с введения своей системы аксиом 1929 года, которая содержит все аксиомы его системы аксиом 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями: аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, который является функцией с той же областью определения, что и R ». [58]
Пусть S - система аксиом фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввел систему аксиом S + Регулярность (который состоит из S и аксиомы регулярности) , чтобы продемонстрировать , что его система 1925 является последовательным по отношению к S . Он доказал:
- Если S непротиворечиво, то S + Регулярность непротиворечива.
- S + Регулярность подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его 1925 системы аксиом , что S + Закономерность не имеет, S + Регулярность подразумевает все аксиомы его системы 1925.
Эти результаты означают: если S непротиворечива, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: если S непротиворечиво, то S + регулярность непротиворечива (результат 1). Используя доказательство от противного , предположим, что система аксиом 1925 года несовместима, или, что то же самое: система аксиом 1925 года подразумевает противоречие. Поскольку из S + регулярности следует аксиома системы 1925 г. (результат 2), из S + регулярности также следует противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Regularity. Следовательно, если S непротиворечива, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива.
Поскольку S - это его система аксиом 1929 года, система аксиом фон Неймана 1925 года согласована с его системой аксиом 1929 года, которая ближе к канторовской теории множеств. Основными различиями между канторовской теорией множеств и системой аксиом 1929 г. являются классы и аксиома выбора фон Неймана. Система аксиом S + Regularity была модифицирована Бернейсом и Гёделем для создания эквивалентной системы аксиом NBG.
Система аксиом Бернейса
В 1929 году Пол Бернейс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, взяв классы и множества в качестве примитивов. Он опубликовал свою работу в серии статей, появившихся с 1937 по 1954 год. [59] Бернейс заявил, что:
Цель модификации системы фон Неймана состоит в том, чтобы оставаться ближе к структуре исходной системы Цермело и в то же время использовать некоторые теоретико-множественные концепции логики Шредера и Principia Mathematica, которые стали известны логикам. Как будет видно, такая компоновка приводит к значительному упрощению. [60]
Бернейс обрабатывал наборы и классы в двухсортированной логике и ввел два примитива членства: один для членства в наборах и один для членства в классах. С помощью этих примитивов он переписал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернейс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом. [61]
Система аксиом Гёделя (NBG)
В 1931 году Бернейс отправил Курту Гёделю письмо, содержащее свою теорию множеств . [36] Гёдель упростил теорию Бернейса, сделав каждое множество классом, что позволило ему использовать только одну сортировку и один примитив членства. Он также ослабил некоторые аксиомы Бернейса и заменил аксиому выбора фон Неймана эквивалентной аксиомой глобального выбора. [62] [v] Гёдель использовал свои аксиомы в своей монографии 1940 г. об относительной непротиворечивости глобального выбора и гипотезе обобщенного континуума. [63]
Гедель выбрал NBG для своей монографии по нескольким причинам: [w]
- Гёдель привел математическую причину - глобальный выбор NBG дает более сильную теорему о согласованности: «Эта более сильная форма аксиомы [выбора], если она согласуется с другими аксиомами, конечно, подразумевает, что более слабая форма также непротиворечива». [5]
- Роберт Соловей предположил: «Я предполагаю, что он [Гёдель] хотел избежать обсуждения технических деталей, связанных с развитием зачатков теории моделей в рамках аксиоматической теории множеств». [67] [x]
- Кеннет Кунен привел причину, по которой Гедель избегал этого обсуждения: «Существует также гораздо более комбинаторный подход к L [ конструируемой вселенной ], разработанный ... [Геделем в его монографии 1940 года] в попытке объяснить свою работу не- логики ... Достоинство этого подхода состоит в том, что он удаляет все остатки логики из трактовки L ». [68]
- Чарльз Парсонс привел философскую причину выбора Гёделя: «Эта точка зрения [что« свойство множества »является примитивом теории множеств] может быть отражена в выборе Гёделем теории с классовыми переменными в качестве основы для ... [его монография] . " [69]
Достижения Гёделя вместе с деталями его презентации привели к известности, которой NBG будет пользоваться в течение следующих двух десятилетий. [70] В 1963 году Пол Коэн доказал свои доказательства независимости для ZF с помощью некоторых инструментов, которые Гёдель разработал для своих доказательств относительной непротиворечивости для NBG. [71] Позже ZFC стал более популярным, чем NBG. Это было вызвано несколькими факторами, в том числе дополнительной работой, необходимой для обработки форсинга в NBG, [72] презентацией форсинга Коэном 1966 года, в которой использовался ZF, [73] [y] и доказательством того, что NBG является консервативным расширением ZFC. [z]
NBG, ZFC и MK
NBG логически не эквивалентен ZFC, потому что его язык более выразительный: он может делать утверждения о классах, которые не могут быть сделаны в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Следовательно, NBG - это консервативное расширение ZFC. NBG подразумевает теоремы, которые не следует из ZFC, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны включать в себя соответствующие классы. Например, это теорема НБС , что глобальная аксиома означает , что собственный класс V может быть вполне упорядочено и что каждый собственный класс может быть введен в один-однозначное соответствие с V . [аа]
Одним из следствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG равно согласованы . Доказательство этого использует принцип взрыва : из противоречия все доказуемо. Предположим, что ZFC или NBG несовместимы. Тогда несовместная теория влечет противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. Согласно свойству консервативного расширения, другая теория также подразумевает эти утверждения. Следовательно, это тоже непоследовательно. Таким образом, хотя NBG более выразителен, он одинаково совместим с ZFC. Этот результат вместе с доказательством относительной непротиворечивости фон Неймана 1929 г. подразумевает, что его система аксиом 1925 г. с аксиомой ограничения размера равнозначна ZFC. Это полностью снимает озабоченность фон Неймана относительной непротиворечивостью этой мощной аксиомы, поскольку ZFC находится в канторианских рамках.
Несмотря на то, что NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Обзор известных результатов такого рода см. В Pudlák 1998 .
Теория множеств Морса – Келли имеет схему аксиом понимания классов, которая включает формулы, кванторы которых простираются до классов. MK - более сильная теория, чем NBG, потому что MK доказывает непротиворечивость NBG, [76] в то время как вторая теорема Гёделя о неполноте подразумевает, что NBG не может доказать непротиворечивость NBG.
Для обсуждения некоторых онтологических и других философских вопросов, поставленных NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, см. Приложение C к Potter 2004 .
Models
ZFC, NBG, and MK have models describable in terms of the cumulative hierarchy Vα and the constructible hierarchy Lα . Let V include an inaccessible cardinal κ, let X ⊆ Vκ, and let Def(X) denote the class of first-order definable subsets of X with parameters. In symbols where "" denotes the model with domain and relation , and "" denotes the satisfaction relation:
Then:
- (Vκ, ∈) and (Lκ, ∈) are models of ZFC.[77]
- (Vκ, Vκ+1, ∈) is a model of MK where Vκ consists of the sets of the model and Vκ+1 consists of the classes of the model.[78] Since a model of MK is a model of NBG, this model is also a model of NBG.
- (Vκ, Def(Vκ), ∈) is a model of Mendelson's version of NBG, which replaces NBG's axiom of global choice with ZFC's axiom of choice.[79] The axioms of ZFC are true in this model because (Vκ, ∈) is a model of ZFC. In particular, ZFC's axiom of choice holds, but NBG's global choice may fail.[ab] NBG's class existence axioms are true in this model because the classes whose existence they assert can be defined by first-order definitions. For example, the membership axiom holds since the class is defined by:
- (Lκ, Lκ+, ∈), where κ+ is the successor cardinal of κ, is a model of NBG.[ac] NBG's class existence axioms are true in (Lκ, Lκ+, ∈). For example, the membership axiom holds since the class is defined by:
- So E ∈ 𝒫( Lκ). In his proof that GCH is true in L, Gödel proved that 𝒫( Lκ) ⊆ Lκ+. [81] Therefore, E ∈ Lκ+, so the membership axiom is true in ( Lκ, Lκ+, ∈). Likewise, the other class existence axioms are true. The axiom of global choice is true because Lκ is well-ordered by the restriction of Gödel's function (which maps the class of ordinals to the constructible sets) to the ordinals less than κ. Therefore, ( Lκ, Lκ+, ∈) is a model of NBG.
Теория категорий
The ontology of NBG provides scaffolding for speaking about "large objects" without risking paradox. For instance, in some developments of category theory, a "large category" is defined as one whose objects and morphisms make up a proper class. On the other hand, a "small category" is one whose objects and morphisms are members of a set. Thus, we can speak of the "category of all sets" or "category of all small categories" without risking paradox since NBG supports large categories.
However, NBG does not support a "category of all categories" since large categories would be members of it and NBG does not allow proper classes to be members of anything. An ontological extension that enables us to talk formally about such a "category" is the conglomerate, which is a collection of classes. Then the "category of all categories" is defined by its objects: the conglomerate of all categories; and its morphisms: the conglomerate of all morphisms from A to B where A and B are objects.[82] On whether an ontology including classes as well as sets is adequate for category theory, see Muller 2001.
Заметки
- ^ Axiom of global choice explains why it is provably stronger.
- ^ The historical development suggests that the two-sorted approach does appear more natural at first. In introducing his theory, Bernays stated: "According to the leading idea of von Neumann set theory we have to deal with two kinds of individuals, which we may distinguish as sets and classes."[11]
- ^ Gödel defined .[15] This affects the statements of some of his definitions, axioms, and theorems. This article uses Mendelson's definition.[16]
- ^ Bernays' class existence axioms specify unique classes. Gödel weakened all but three of Bernays' axioms (intersection, complement, domain) by replacing biconditionals with implications, which means they specify only the ordered pairs or the 3-tuples of the class. The axioms in this section are Gödel's except for Bernays' stronger product by V axiom, which specifies a unique class of ordered pairs. Bernays' axiom simplifies the proof of the class existence theorem. Gödel's axiom B6 appears as the fourth statement of the tuple lemma. Bernays later realized that one of his axioms is redundant, which implies that one of Gödel's axioms is redundant. Using the other axioms, axiom B6 can be proved from axiom B8, and B8 can be proved from B6, so either axiom can be considered the redundant axiom.[17] The names for the tuple-handling axioms are from the French Wikipédia article: Théorie des ensembles de von Neumann.
- ^ a b This article uses Bourbaki's complement notation and relative complement notation .[22] This prefix relative complement notation is used by the class existence theorem to mirror the prefix logical not ().
- ^ Since Gödel states this axiom before he proves the existence of the empty class, he states it without using the empty class.[5]
- ^ The proofs in this and the next section come from Gödel's proofs, which he gave at the Institute for Advanced Study where he "could count upon an audience well versed in mathematical logic".[28] To make Gödel's proofs more accessible to Wikipedia readers, a few modifications have been made. The goal in this and the next section is to prove Gödel's M4, his fourth class existence theorem. The proof in this section mostly follows the M1 proof,[29] but it also uses techniques from the M3 and M4 proofs. The theorem is stated with class variables rather than M1's symbols for special classes (universal quantification over the class variables is equivalent to being true for any instantiation of the class variables). The major differences from the M1 proof are: unique classes of -tuples are generated at the end of the basis and inductive steps (which require Bernays' stronger product by axiom), and bound variables are replaced by subscripted variables that continue the numbering of the free set variables. Since bound variables are free for part of the induction, this guarantees that, when they are free, they are treated the same as the original free variables. One of the benefits of this proof is the example output of the function Class, which shows that a class's construction mirrors its defining formula's construction.
- ^ One detail has been left out of this proof. Gödel's convention is being used, so is defined to be Since this formula quantifies over classes, it must be replaced with the equivalent Then the three formulas in the proof having the form become which produces a valid proof.
- ^ Recursive computer programs written in pseudocode have been used elsewhere in pure mathematics. For example, they have been used to prove the Heine-Borel theorem and other theorems of analysis.[31]
- ^ This theorem is Gödel's theorem M4. He proved it by first proving M1, a class existence theorem that uses symbols for special classes rather than free class variables. M1 produces a class containing all the -tuples satisfying , but which may contain elements that are not -tuples. Theorem M2 extends this theorem to formulas containing relations, special classes, and operations. Theorem M3 is obtained from M2 by replacing the symbols for special classes with free variables. Gödel used M3 to define which is unique by extensionality. He used to define Theorem M4 is obtained from M3 by intersecting the class produced by M3 with to produce the unique class of -tuples satisfying the given formula. Gödel's approach, especially his use of M3 to define , eliminates the need for Bernays' stronger form of the product by axiom.[33]
- ^ Gödel weakened Bernays' axioms of union and power set, which state the existence of these sets, to the above axioms that state there is a set containing the union and a set containing the power set.[35] Bernays published his axioms after Gödel, but had sent them to Gödel in 1931.[36]
- ^ Since ZFC's axiom requires the existence of the empty set, an advantage of NBG's axiom is that the axiom of the empty set is not needed. Mendelson's axiom system uses the ZFC's axiom of infinity and also has the axiom of the empty set.[37]
- ^ For having a well-ordering implying global choice, see Implications of the axiom of limitation of size. For global choice implying the well-ordering of any class, see Kanamori 2009, p. 53.
- ^ In 1917, Dmitry Mirimanoff published a form of replacement based on cardinal equivalence.[41]
- ^ a b In 1928, von Neumann stated: "A treatment of ordinal number closely related to mine was known to Zermelo in 1916, as I learned subsequently from a personal communication. Nevertheless, the fundamental theorem, according to which to each well-ordered set there is a similar ordinal, could not be rigorously proved because the replacement axiom was unknown."[43]
- ^ von Neumann 1923. Von Neumann's definition also used the theory of well-ordered sets. Later, his definition was simplified to the current one: An ordinal is a transitive set that is well-ordered by ∈.[44]
- ^ After introducing the cumulative hierarchy, von Neumann could show that Zermelo's axioms do not prove the existence of ordinals α ≥ ω + ω, which include uncountably many hereditarily countable sets. This follows from Skolem's result that Vω+ω satisfies Zermelo's axioms[46] and from α ∈ Vβ implying α < β.[47]
- ^ Von Neumann stated his axiom in an equivalent functional form.[49]
- ^ Skolem's approach implicitly involves natural numbers because the formulas of an axiom schema are built using structural recursion, which is a generalization of mathematical recursion over the natural numbers.
- ^ Mirimanoff defined well-founded sets in 1917.[53]
- ^ Akihiro Kanamori points out that Bernays lectured on his axiom system in 1929-1930 and states that "… he and Zermelo must have arrived at the idea of incorporating Foundation [regularity] almost at the same time."[55] However, Bernays did not publish the part of his axiom system containing regularity until 1941.[56]
- ^ Proof that von Neumann's axiom implies global choice: Let Von Neumann's axiom implies there is a function such that The function is a global choice function since for all nonempty sets
Proof that global choice implies von Neumann's axiom: Let be a global choice function, and let be a relation. For let where is the set of all sets having rank less than Let Then is a function that satisfies von Neumann's axiom since and - ^ Gödel used von Neumann's 1929 axioms in his 1938 announcement of his relative consistency theorem and stated "A corresponding theorem holds if T denotes the system of Principia mathematica".[64] His 1939 sketch of his proof is for Zermelo set theory and ZF.[65] Proving a theorem in multiple formal systems was not unusual for Gödel. For example, he proved his incompleteness theorem for the system of Principia mathematica, but pointed out that it "holds for a wide class of formal systems ...".[66]
- ^ Gödel's consistency proof builds the constructible universe. To build this in ZF requires some model theory. Gödel built it in NBG without model theory. For Gödel's construction, see Gödel 1940, pp. 35–46 or Cohen 1966, pp. 99–103.
- ^ Cohen also gave a detailed proof of Gödel's relative consistency theorems using ZF.[74]
- ^ In the 1960s, this conservative extension theorem was proved independently by Paul Cohen, Saul Kripke, and Robert Solovay. In his 1966 book, Cohen mentioned this theorem and stated that its proof requires forcing. It was also proved independently by Ronald Jensen and Ulrich Felgner, who published his proof in 1971.[75]
- ^ Both conclusions follow from the conclusion that every proper class can be put into one-to-one correspondence with the class of all ordinals. A proof of this is outlined in Kanamori 2009, p. 53.
- ^ Easton built a model of Mendelson's version of NBG in which ZFC's axiom of choice holds but global choice fails.
- ^ In the cumulative hierarchy Vκ, the subsets of Vκ are in Vκ+1. The constructible hierarchy Lκ produces subsets more slowly, which is why the subsets of Lκ are in Lκ+ rather than Lκ+1.[80]
Рекомендации
- ^ a b von Neumann 1925, pp. 221–224, 226, 229; English translation: van Heijenoort 2002b, pp. 396–398, 400, 403.
- ^ a b c d Bernays 1937, pp. 66–67.
- ^ Gödel 1940, p. [page needed].
- ^ Gödel 1940, pp. 3–7.
- ^ a b c Gödel 1940, p. 6.
- ^ Gödel 1940, p. 25.
- ^ Gödel 1940, pp. 35–38.
- ^ a b "The Neumann-Bernays-Gödel axioms". Encyclopædia Britannica. Retrieved 17 January 2019.
- ^ a b Gödel 1940, p. 3.
- ^ Mendelson 1997, pp. 225–226.
- ^ Bernays 1937, p. 66.
- ^ Mendelson 1997, p. 226.
- ^ Gödel's axiom A3 (Gödel 1940, p. 3).
- ^ Gödel's axiom A4 (Gödel 1940, p. 3).
- ^ Gödel 1940, p. 4).
- ^ Mendelson 1997, p. 230.
- ^ Kanamori 2009, p. 56; Bernays 1937, p. 69; Gödel 1940, pp. 5, 9; Mendelson 1997, p. 231.
- ^ Gödel's axiom B1 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Gödel's axiom B2 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Gödel's axiom B3 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Gödel's axiom B4 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Bourbaki 2004, p. 71.
- ^ Bernays' axiom b(3) (Bernays 1937, p. 5).
- ^ Gödel's axiom B7 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Gödel's axiom B8 (Gödel 1940, p. 5).
- ^ Gödel 1940, p. 6; Kanamori 2012, p. 70.
- ^ Kanamori 2009, p. 57; Gödel 2003, p. 121. Both references contain Gödel's proof but Kanamori's is easier to follow since he uses modern terminology.
- ^ Dawson 1997, p. 134.
- ^ Gödel 1940, pp. 8–11
- ^ Gödel 1940, p. 11.
- ^ Gray 1991.
- ^ Gödel 1940, pp. 11–13.
- ^ Gödel 1940, pp. 8–15.
- ^ Gödel 1940, pp. 16–18.
- ^ Bernays 1941, p. 2; Gödel 1940, p. 5).
- ^ a b Kanamori 2009, p. 48; Gödel 2003, pp. 104–115.
- ^ Mendelson 1997, pp. 228, 239.
- ^ Easton 1964, pp. 56a–64.
- ^ von Neumann 1925, von Neumann 1928.
- ^ Ferreirós 2007, p. 369.
- ^ Mirimanoff 1917, p. 49.
- ^ Kanamori 2012, p. 62.
- ^ Hallett 1984, p. 280.
- ^ Kunen 1980, p. 16.
- ^ von Neumann 1925, p. 223 (footnote); English translation: van Heijenoort 2002b, p. 398 (footnote).
- ^ Kanamori 2012, p. 61
- ^ Kunen 1980, pp. 95–96. Uses the notation R(β) instead of Vβ.
- ^ Hallett 1984, pp. 288–290.
- ^ von Neumann 1925, p. 225; English translation: van Heijenoort 2002b, p. 400.
- ^ Fraenkel, Historical Introduction in Bernays 1991, p. 13.
- ^ von Neumann 1925, pp. 224–226; English translation: van Heijenoort 2002b, pp. 399–401.
- ^ Montague 1961.
- ^ Mirimanoff 1917, p. 41.
- ^ von Neumann 1925, pp. 230–232; English translation: van Heijenoort 2002b, pp. 404–405.
- ^ Kanamori 2009, pp. 53–54.
- ^ Bernays 1941, p. 6.
- ^ von Neumann 1929, p. 229; Ferreirós 2007, pp. 379–380.
- ^ Kanamori 2009, pp. 49, 53.
- ^ Kanamori 2009, pp. 48, 58. Bernays' articles are reprinted in Müller 1976, pp. 1–117.
- ^ Bernays 1937, p. 65.
- ^ Kanamori 2009, pp. 48–54.
- ^ Kanamori 2009, p. 56.
- ^ Kanamori 2009, pp. 56–58; Gödel 1940, p. [page needed].
- ^ Gödel 1990, p. 26.
- ^ Gödel 1990, pp. 28–32.
- ^ Gödel 1986, p. 145.
- ^ Solovay 1990, p. 13.
- ^ Kunen 1980, p. 176.
- ^ Gödel 1990, p. 108, footnote i. The paragraph containing this footnote discusses why Gödel considered "property of set" a primitive of set theory and how it fit into his ontology. "Property of set" corresponds to the "class" primitive in NBG.
- ^ Kanamori 2009, p. 57.
- ^ Cohen 1963.
- ^ Kanamori 2009, p. 65: "Forcing itself went a considerable distance in downgrading any formal theory of classes because of the added encumbrance of having to specify the classes of generic extensions."
- ^ Cohen 1966, pp. 107–147.
- ^ Cohen 1966, pp. 85–99.
- ^ Ferreirós 2007, pp. 381–382; Cohen 1966, p. 77; Felgner 1971.
- ^ Mostowski 1950, p. 113, footnote 11. Footnote references Wang's NQ set theory, which later evolved into MK.
- ^ Kanamori 2009b, pp. 18, 29.
- ^ Chuaqui 1981, p. 313 proves that (Vκ, Vκ+1, ∈) is a model of MKTR + AxC. MKT is Tarski's axioms for MK without Choice or Replacement. MKTR + AxC is MKT with Replacement and Choice (Chuaqui 1981, pp. 4, 125), which is equivalent to MK.
- ^ Mendelson 1997, p. 275.
- ^ Gödel 1940, p. 54; Solovay 1990, pp. 9–11.
- ^ Gödel 1940, p. 54.
- ^ Adámek, Herrlich & Strecker 2004, pp. 15–16, 40.
Библиография
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (1st ed.), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3.
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990], Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (Dover ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46934-8.
- Bernays, Paul (1937), "A System of Axiomatic Set Theory—Part I", The Journal of Symbolic Logic, 2 (1): 65–77, doi:10.2307/2268862, JSTOR 2268862.
- Bernays, Paul (1941), "A System of Axiomatic Set Theory—Part II", The Journal of Symbolic Logic, 6 (1): 1–17, doi:10.2307/2267281, JSTOR 2267281.
- Bernays, Paul (1991), Axiomatic Set Theory (2nd Revised ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2.
- Bourbaki, Nicolas (2004), Elements of Mathematics: Theory of Sets, Springer, ISBN 978-3-540-22525-6.
- Chuaqui, Rolando (1981), Axiomatic Set Theory: Impredicative Theories of Classes, North-Holland, ISBN 0-444-86178-5.* Cohen, Paul (1963), "The Independence of the Continuum Hypothesis", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 50 (6): 1143–1148, Bibcode:1963PNAS...50.1143C, doi:10.1073/pnas.50.6.1143, PMC 221287, PMID 16578557.
- Cohen, Paul (1966), Set Theory and the Continuum Hypothesis, W. A. Benjamin.
- Cohen, Paul (2008), Set Theory and the Continuum Hypothesis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46921-8.
- Dawson, John W. (1997), Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel, Wellesley, MA: AK Peters.
- Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals (PhD thesis), Princeton University.
- Felgner, Ulrich (1971), "Comparison of the axioms of local and universal choice" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 71: 43–62, doi:10.4064/fm-71-1-43-62.
- Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd revised ed.), Basel, Switzerland: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
- Gödel, Kurt (1940), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (Revised ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1.
- Gödel, Kurt (2008), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, with a foreword by Laver, Richard (Paperback ed.), Ishi Press, ISBN 978-0-923891-53-4.
- Gödel, Kurt (1986), Collected Works, Volume 1: Publications 1929–1936, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9.
- Gödel, Kurt (1990), Collected Works, Volume 2: Publications 1938–1974, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6.
- Gödel, Kurt (2003), Collected Works, Volume 4: Correspondence A–G, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5.
- Gray, Robert (1991), "Computer programs and mathematical proofs", The Mathematical Intelligencer, 13 (4): 45–48, doi:10.1007/BF03028342.
- Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (Hardcover ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1.
- Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (Paperback ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853283-5.
- Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, Springer, ISBN 978-3-540-88867-3.
- Kanamori, Akihiro (2009), "Bernays and Set Theory" (PDF), Bulletin of Symbolic Logic, 15 (1): 43–69, doi:10.2178/bsl/1231081769, JSTOR 25470304.
- Kanamori, Akihiro (2012), "In Praise of Replacement" (PDF), Bulletin of Symbolic Logic, 18 (1): 46–90, doi:10.2178/bsl/1327328439, JSTOR 41472440.
- Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (Hardcover ed.), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8.
- Kunen, Kenneth (2012), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (Paperback ed.), North-Holland, ISBN 978-0-444-56402-3.
- Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2. - Pp. 225–86 contain the classic textbook treatment of NBG, showing how it does what we expect of set theory, by grounding relations, order theory, ordinal numbers, transfinite numbers, etc.
- Mirimanoff, Dmitry (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52.
- Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", in Buss, Samuel R. (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Pergamon Press, pp. 45–69.
- Mostowski, Andrzej (1950), "Some impredicative definitions in the axiomatic set theory" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 37: 111–124, doi:10.4064/fm-37-1-111-124.
- Muller, F. A. (1 September 2001), "Sets, classes, and categories" (PDF), British Journal for the Philosophy of Science, 52 (3): 539–73, doi:10.1093/bjps/52.3.539.
- Müller, Gurt, ed. (1976), Sets and Classes: On the Work of Paul Bernays, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Volume 84, Amsterdam: North Holland, ISBN 978-0-7204-2284-9.
- Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction (Hardcover ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0.
- Potter, Michael (2004p), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction (Paperback ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927041-5.
- Pudlák, Pavel (1998), "The Lengths of Proofs" (PDF), in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Elsevier, pp. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1.
- Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [Revised and corrected edition: first published in 1996 by Oxford University Press], Set Theory and the Continuum Problem, Dover, ISBN 978-0-486-47484-7.
- Solovay, Robert M. (1990), "Introductory note to 1938, 1939, 1939a and 1940", Kurt Gödel Collected Works, Volume 2: Publications 1938–1974, Oxford University Press, pp. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6.
- von Neumann, John (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X., 1: 199–208.
- English translation: van Heijenoort, Jean (2002a) [1967], "On the introduction of transfinite numbers", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (Fourth Printing ed.), Harvard University Press, pp. 346–354, ISBN 978-0-674-32449-7.
- English translation: van Heijenoort, Jean (2002b) [1967], "An axiomatization of set theory", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (Fourth Printing ed.), Harvard University Press, pp. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
- von Neumann, John (1925), "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 154: 219–240.
- von Neumann, John (1928), "Die Axiomatisierung der Mengenlehre", Mathematische Zeitschrift, 27: 669–752, doi:10.1007/bf01171122.
- von Neumann, John (1929), "Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 160: 227–241.
Внешние ссылки
- "von Neumann-Bernays-Gödel set theory". PlanetMath.
- Szudzik, Matthew. "von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory". MathWorld.