Функция выбора

Функция выбора ( селектор , выбор ) представляет собой математическую функцию F , которая определена на некоторой коллекции X непустых множеств и присваивает каждому множеству S в этой коллекции некоторый элемент ф ( S ) из S . Другими словами, F является функцией выбора X тогда и только тогда , когда она принадлежит к прямому произведению из X .

Пример [ править ]

Пусть X  = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. Тогда функция , которая назначает 7 к множеству {1,4,7}, 9 к {9}, и {2 до 2,7} является функция выбора на X .

История и важность [ править ]

Цермело (1904) введены функции выбора , а также в качестве аксиомы выбора (АС) и доказана теорема хорошо упорядоченность , ^[1] , который гласит , что каждый набор может быть вполне упорядочено . AC утверждает, что каждый набор непустых множеств имеет функцию выбора. Более слабая форма AC, аксиома счетного выбора (AC _ω ) утверждает, что каждое счетное множество непустых множеств имеет функцию выбора. Однако при отсутствии AC или AC _ω некоторые наборы все же могут иметь функцию выбора.

• Если - конечное множество непустых множеств, то можно построить функцию выбора для , выбирая по одному элементу из каждого члена. Это требует только конечного числа вариантов, поэтому ни AC, ни AC _ω не нужны.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Если каждый член является непустым множеством, а объединение хорошо упорядочено, то можно выбрать наименьший элемент каждого члена . В этом случае можно было одновременно хорошо упорядочить каждый член , сделав только один выбор хорошего порядка объединения, поэтому ни AC, ни AC _ω не потребовались. (Этот пример показывает, что из теоремы о хорошем порядке следует AC. Обратное также верно, но менее тривиально.)${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ bigcup X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Функция выбора многозначной карты [ править ]

Даны два множества X и Y , пусть F быть многозначное отображение из X и Y (эквивалентно, является функцией от X к набору мощности из Y ).${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Функция называется быть выбор из F , если:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$

Существование более регулярных функций выбора, а именно непрерывных или измеримых выборок, важно в теории дифференциальных включений , оптимальном управлении и математической экономике . ^[2] См. Теорему о выборе .

Функция тау Бурбаки [ править ]

Николя Бурбаки использовал эпсилон-исчисление для своих основ, у которых был символ, который можно интерпретировать как выбор объекта (если он существует), который удовлетворяет заданному предложению. Итак, if - это предикат, то это один конкретный объект, который удовлетворяет (если он существует, в противном случае он возвращает произвольный объект). Следовательно, мы можем получить кванторы из функции выбора, например, эквивалентной . ^[3]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \tau _{x}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$

Однако оператор выбора Бурбаки сильнее обычного: это оператор глобального выбора. То есть подразумевает аксиому глобального выбора . ^[4] Гильберт понял это, когда ввел эпсилон-исчисление. ^[5]

См. Также [ править ]

• Аксиома счетного выбора
• Парадокс Хаусдорфа
• Геминепрерывность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материал из функции Choice на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .