В математике дифференциальные включения являются обобщением понятия обыкновенного дифференциального уравнения вида
где F - многозначное отображение , т.е. F ( t , x ) - это множество, а не отдельная точка в. Дифференциальные включения возникают во многих ситуациях, включая дифференциальные вариационные неравенства , спроектированные динамические системы , процесс подметания Моро, линейные и нелинейные динамические системы с дополнительностью, разрывные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы с переключениями и арифметику нечетких множеств . [1]
Например, основное правило кулоновского трения состоит в том, что сила трения имеет величину μN в направлении, противоположном направлению скольжения, где N - нормальная сила, а μ - постоянная величина (коэффициент трения). Однако, если скольжение равно нулю, сила трения может быть любой силой в правильной плоскости с величиной, меньшей или равной мкН . Таким образом, запись силы трения как функции положения и скорости приводит к заданной функции.
Теория
Теория существования обычно предполагает, что F ( t , x ) - полунепрерывная сверху функция от x , измеримая по t , и что F ( t , x ) - замкнутое выпуклое множество для всех t и x . Существование решений начальной задачи.
для достаточно малого промежутка времени [ t 0 , t 0 + ε ) следует ε > 0. Глобальное существование может быть показано при условии, что F не допускает "взрыва" ( в виде для конечного ).
Теория существования дифференциальных включений с невыпуклой F ( t , x ) является активной областью исследований.
Для уникальности решений обычно требуются другие условия. Например, предположимудовлетворяет одностороннему условию Липшица :
для некоторого C для всех x 1 и x 2 . Тогда задача начального значения
имеет уникальное решение.
Это тесно связано с теорией максимальных монотонных операторов , разработанной Минти и Хаймом Брезисом .
Теория Филиппова допускает только разрывы производной, но не допускает разрывов в состоянии, т. е. нужно быть непрерывным. Шацман, а позже Моро (давшие этому общепринятому в настоящее время название) расширили понятие для измерения дифференциального включения (MDI), в котором включение оценивается путем взятия предела сверху для. [2] [3]
Приложения
Дифференциальные включения могут использоваться для понимания и соответствующей интерпретации разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений, таких как кулоновское трение в механических системах и идеальные переключатели в силовой электронике. Важный вклад внесен А.Ф. Филипповым, изучавшим регуляризации разрывных уравнений. В дальнейшем техника регуляризации была использована Н. Н. Красовским в теории дифференциальных игр .
Дифференциальные включения также лежат в основе анализа негладких динамических систем (NSDS) [4], который используется в аналоговом исследовании коммутации электрических цепей с использованием идеализированных компонентных уравнений (например, с использованием идеализированных прямых вертикальных линий для резко экспоненциальных области прямой и пробивной проводимости диодной характеристики ) [5], а также при исследовании некоторых негладких механических систем, таких как скачкообразные колебания в системах с сухим трением или динамика ударных явлений. [6] Программное обеспечение , которое решает системы НСУР существует, например , как INRIA «ы Siconos .
Смотрите также
- Жесткость , которая влияет на ОДУ / DAE для функций с "крутыми поворотами" и которая влияет на численную сходимость.
Рекомендации
- ^ Brogliato, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы с монотонными многозначными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». SIAM Review, vol.62, no 1, pp.3-129, доступно на hal.inria.fr/hal-02379498.
- ^ Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенствами: воздействия и жесткие ограничения . СИАМ. п. 125. ISBN 978-1-61197-070-8.
- ^ Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Springer International Publishing Switzerland, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8.
- ^ Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.
- ^ Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и имитация коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. С. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.
- ^ Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем . Springer Science & Business Media. п. V (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8.
- Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные карты и теория жизнеспособности . Grundl. der Math. Wiss. 264 . Берлин: Springer. ISBN 9783540131052.
- Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (1990). Многозначный анализ . Birkhäuser. ISBN 978-0817648473.
- Деймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110132120.
- Andres, J .; Горневич, Лех (2003). Принципы топологической неподвижной точки для краевых задач . Springer. ISBN 978-9048163182.
- Филиппов А.Ф. (1988). Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями . Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 90-277-2699-Х.