Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Теорема Цермело» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о теореме Цермело в теории игр, см . Теорему Цермело (теория игр) .
Не путать с принципом хорошего порядка .

В математике теорема о хорошем порядке , также известная как теорема Цермело , утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено . Множество Х является вполне упорядоченным с помощью строгого общего порядка , если каждое непустое подмножество X имеет наименьший элемент под упорядочения. Теорема о хорошем порядке вместе с леммой Цорна являются наиболее важными математическими утверждениями, которые эквивалентны аксиоме выбора (часто называемой AC, см. Также Аксиома выбора § Эквиваленты ). [1] [2] Эрнст Цермеловвел аксиому выбора как «неоспоримый логический принцип», чтобы доказать теорему о хорошем порядке. [3] Из теоремы об упорядочивании можно сделать вывод, что каждое множество подвержено трансфинитной индукции , что математики считают мощной техникой. [3] Одним из известных следствий теоремы является парадокс Банаха – Тарского .

История [ править ]

Георг Кантор считал теорему о хорошем порядке «фундаментальным принципом мышления». [4] Однако считается трудным или даже невозможным визуализировать упорядочение ; такая визуализация должна включать аксиому выбора. [5] В 1904 году Дьюла Кёниг утверждал, что доказал, что такой порядок не может существовать. Через несколько недель Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве. [6] Однако оказалось, что теорема о хорошем порядке эквивалентна выбранной аксиоме в том смысле, что любой из них вместе с аксиомами Цермело – Френкеля достаточно для доказательства другой в логике первого порядка.(то же самое относится и к лемме Цорна ). В логике второго порядка , однако, теорема о хорошем порядке строго сильнее, чем аксиома выбора: из теоремы о хорошем порядке можно вывести аксиому выбора, но из аксиомы выбора нельзя вывести теорему о хорошем порядке. [7]

Есть хорошо известный анекдот по поводу трех утверждений и их относительной податливости интуиции:

Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип хорошего порядка явно неверен, и кто может сказать о лемме Цорна ? [8]

Доказательство AC [ править ]

Аксиома выбора может быть доказана с помощью теоремы о хорошем порядке следующим образом.

Для того, чтобы функция выбора для сбора непустых множеств, Е , взять объединение множеств в Е и назовем его X . Существует хороший порядок X ; пусть R будет таким порядком. Функция, чтобы каждый набор S из Е связывает наименьший элемент S , в соответствии с предписанием (ограничение на S из) R , является функция выбора для сбора E .

Существенным моментом этого доказательства является то, что оно включает только один произвольный выбор - R ; применение теоремы о хорошем упорядочении к каждому члену S из E по отдельности не сработает, поскольку теорема только утверждает существование хорошего упорядочения, и выбор для каждого S хорошего упорядочения не будет проще, чем выбор элемента.

Заметки [ править ]

  1. ^ Kuczma Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств . Берлин: Springer. п. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  2. ^ Хазевинкель, Михель (2001). Энциклопедия математики: Приложение . Берлин: Springer. п. 458. ISBN. 1-4020-0198-3. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  3. ^ а б Тьерри, Виалар (1945). Справочник по математике . Нордерштедт: Springer. п. 23. ISBN 978-2-95-519901-5.
  4. ↑ Георг Кантор (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545–591.
  5. ^ Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности . Издательство Кембриджского университета. п. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Плоткин, JM (2005), «Введение в« концепцию мощности в теории множеств » », Хаусдорф на упорядоченных множествах , История математики, 25 , Американское математическое общество, стр. 23–30, ISBN 9780821890516
  7. ^ Шапиро, Стюарт (1991). Основы без фундаментализма: аргументы в пользу логики второго порядка . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853391-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  8. ↑ Krantz, Steven G. (2002), «Аксиома выбора», в Krantz, Steven G. (ed.), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science , Birkhäuser Boston, pp. 121–126, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 9781461201151

Внешние ссылки [ править ]

  • Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/wellord2.html