Принцип правильного заказа

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Принцип        правильного упорядочивания»  -  новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июль 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то хорошо заказывающие принцип гласит , что каждое непустое множество натуральных чисел содержит наименьший элемент . ^[1] Другими словами, набор положительных целых чисел упорядочен по своему «естественному» или «величине» порядку, в котором предшествует тогда и только тогда, когда это либо сумма, либо некоторое положительное целое число (другие порядки включают порядок ; и ).${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 2,4,6, ...}$${\ displaystyle 1,3,5, ...}$

Фраза «принцип хорошего порядка» иногда считается синонимом « теоремы о хорошем порядке ». В других случаях подразумевается утверждение, что набор целых чисел содержит хорошо упорядоченное подмножество, называемое натуральными числами , в котором каждое непустое подмножество содержит наименьший элемент.${\ Displaystyle \ {\ ldots, -2, -1,0,1,2,3, \ ldots \}}$

В зависимости от структуры, в которой вводятся натуральные числа, это свойство (второго порядка) множества натуральных чисел является либо аксиомой, либо доказуемой теоремой. Например:

• В арифметики Пеано , арифметики второго порядка и связанных с ними систем, и на самом деле в большинстве (не обязательно) формальных математических методов лечения принципа хорошо упорядочения, принцип является производным от принципа математической индукции , который сам по себе взятой в качестве основной.
• Рассматривая натуральные числа как подмножество действительных чисел и предполагая, что мы уже знаем, что действительные числа полны (опять же, либо как аксиома, либо как теорема о действительной системе счисления), т. Е. Каждое ограниченное (снизу) множество имеет нижнюю грань, то также , скажем, каждый набор натуральных чисел имеет нижнюю грань . Теперь мы можем найти такое целое число , которое лежит в полуоткрытом интервале , и затем показать, что у нас должно быть , и в .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a ^ {*}}$${\ Displaystyle п ^ {*}}$${\ displaystyle a ^ {*}}$${\ Displaystyle (п ^ {*} - 1, п ^ {*}]}$${\ Displaystyle а ^ {*} = п ^ {*}}$${\ Displaystyle п ^ {*}}$${\ displaystyle A}$
• В аксиоматической теории множеств натуральные числа определяются как наименьшее индуктивное множество (т. Е. Множество , содержащее 0 и замкнутое при последующей операции). Можно (даже не прибегая к аксиоме регулярности ) показать, что множество всех натуральных чисел, таких что « хорошо упорядочено», является индуктивным и, следовательно, должно содержать все натуральные числа; из этого свойства можно заключить, что множество всех натуральных чисел также хорошо упорядочено.${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ {0, \ ldots, п \}}$

Во втором смысле эта фраза используется, когда на это предложение полагаются с целью обоснования доказательств, которые принимают следующую форму: чтобы доказать, что каждое натуральное число принадлежит указанному набору , предположим противное, что означает, что набор контрпримеров непусто и, следовательно, содержит наименьший контрпример. Затем покажите, что для любого контрпримера существует еще меньший контрпример, что приводит к противоречию. Этот способ аргументации является противоположностью доказательства по полной индукции . Этот метод беззаботно известен как « минимальный преступный » метод и по своей природе похож на метод « бесконечного спуска » Ферма .${\ displaystyle S}$

Гаррет Биркгоф и Сондерс Мак Лейн написали в «Обзоре современной алгебры», что это свойство, как и аксиома наименьшей верхней границы для действительных чисел, не является алгебраическим; т.е. его нельзя вывести из алгебраических свойств целых чисел (которые образуют упорядоченную область целостности ).

Ссылки [ править ]