В логике и математике , противопоставление относится к умозаключению о переходе от условного оператора в его логически эквивалентные контрапозиции и ассоциированное доказательство метод , известный как доказательство по противопоставлению. [1] Противоположное высказывание имеет свои антецедент и следствие перевернутыми и перевернутыми . Например, противоположностью условного утверждения « Если идет дождь, то я ношу пальто», является утверждение « Если я не ношу пальто, значит, дождя не будет». В формулах: контрапозитив есть . [2] Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда его противоположное утверждение истинно. [3]
Контрапозитив можно сравнить с тремя другими условными утверждениями, относящимися к :
- Инверсия ( обратная ),
- « Если не идет дождь, я не ношу пальто ». В отличие от контрапозитива, истинность инверсии совсем не зависит от того, было ли истинным исходное предложение, как показано здесь.
- Преобразование ( обратное ),
- « Если я ношу пальто, значит, идет дождь ». Обратное на самом деле является противоположностью обратного, и поэтому всегда имеет то же значение истинности, что и обратное (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же значение истинности, что и исходное суждение).
- Отрицание ,
- « Дело не в том, что если идет дождь, я ношу свое пальто », или, что то же самое, « Иногда, когда идет дождь, я не ношу свое пальто» . Если отрицание верно, то первоначальное утверждение ( и, в более широком смысле, контрапозитив) ложен.
Обратите внимание, что если истинно и дано одно ложное (т. Е. ), То логически можно сделать вывод, что оно также должно быть ложным (т. Е. ). Это часто называют законом контрапозитива или правилом вывода modus tollens . [4]
Интуитивное объяснение [ править ]
На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, это также должно быть в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «все A находится в B» как:
Также ясно , что все , что не в B (синяя область) не может быть в пределах, либо. Это утверждение, которое можно выразить как:
является противоположностью вышеприведенного утверждения. Поэтому можно сказать, что
- .
На практике эту эквивалентность можно использовать, чтобы упростить доказательство утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что у каждой девушки в Соединенных Штатах (A) каштановые волосы (B), он может либо попытаться доказать напрямую , проверив, что у всех девочек в Соединенных Штатах действительно каштановые волосы, либо попытаться докажите , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то это было бы опровергнуто , и то же самое .
В общем, для любого оператора , где подразумевает B , не B всегда подразумевает не является . В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.
Формальное определение [ править ]
Предложение Q подразумевается предложением P, когда выполняется следующее соотношение:
Здесь говорится, что «если тогда » или «если Сократ - человек , то Сократ - человек ». В условной , такие как это, является предшествующая , и это следствие . Одно утверждение противоположно другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным следствием другого, и наоборот. Таким образом, противозачаточные средства обычно имеют форму:
- .
То есть: «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если нет, то P не так». В нашем примере это передается так: «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противоречит оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности одно утверждение фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно.
Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных выражениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных универсальных условных выражениях, если они похожи. Таким образом, или «Все s есть s» противопоставляется , или «All non- s are non- s». [5]
Простое доказательство по определению условного [ править ]
В логике первого порядка условное выражение определяется как:
что можно сделать эквивалентным его противоположному положению, следующим образом:
Простое доказательство от противного [ править ]
Позволять:
Принято, что, если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не может быть истинным от противного. Ведь если бы А было правдой, то Б тоже должно было бы быть правдой (по Модусу Поненса ). Однако утверждается, что B неверно, поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, A неверно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):
Мы можем применить тот же процесс в обратном порядке, исходя из предположений, что:
Здесь мы также знаем, что B либо верно, либо нет. Если B неверно, то A также неверно. Однако предполагается, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:
Комбинируя два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным условием и его контрпозитивом:
Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов [ править ]
Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальный подтекст верен или ложен.
Это ложно только тогда, когда это правда, и ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Верно, когда это не так, и не- »):
Элементы конъюнкции можно поменять местами без эффекта (по коммутативности ):
Мы определяем как равное " " и как равное (отсюда равно , что равно справедливому ):
Он гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного условия. Затем мы можем сделать эту замену:
По возвращаясь R и S обратно в и мы получим желаемую контрапозицию:
Сравнения [ править ]
название | форма | описание |
---|---|---|
значение | если P, то Q | первое утверждение подразумевает истинность второго |
обратный | если не P, то не Q | отрицание обоих утверждений |
разговаривать | если Q, то P | изменение обоих утверждений |
контрапозитивный | если не Q, то не P | обращение и отрицание обоих утверждений |
отрицание | P, а не Q | противоречит подтексту |
Примеры [ править ]
Возьмите утверждение « Все красные объекты имеют цвет». Это можно эквивалентно выразить как « Если объект красный, то он имеет цвет ».
- Контрапозициями являются « Если объект не имеет цвета, то это не красное. » Это логически вытекает из нашего первоначального заявления и, как он, это, очевидно , верно.
- Обратный является « Если объект не красный, то он не имеет цвета. » Объект , который является синим цветом не красным, и до сих пор имеет цвета. Следовательно, в этом случае обратное неверно.
- Обратным является « Если объект имеет цвета, то красный. » Объекты могут иметь другие цвета, так и обратные наше утверждение неверно.
- Отрицание является « Там существует красный объект , который не имеет цвета. » Это утверждение неверно , так как первоначальное заявление , которое он отрицает это правда.
Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, но недостаточен для двусмысленного .
Точно так же возьмите утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны ».
- Контрапозициями являются « Если полигон не имеет четыре стороны, то это не четырехугольник. » Это логически вытекает, и , как правило, contrapositives разделяют значение истинности в их условно.
- Обратное является « Если многоугольник не четырехугольник, то он не имеет четыре стороны. » В этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
- Обратное является « Если многоугольник имеет четыре стороны, то это четырехугольник. » Опять же , в этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
- Отрицание является « Существует , по крайней мере один четырехугольник , который не имеет четыре стороны. » Это утверждение явно ложно.
Поскольку и утверждение, и обратное верны, он называется биконусным и может быть выражен как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны » (фраза тогда и только тогда иногда сокращается как iff .) То есть наличие четырех сторон необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и одного достаточно, чтобы считать его четырехугольником.
Правда [ править ]
- Если утверждение верно, то его противоположность истинна (и наоборот).
- Если утверждение ложно, то его противоположность ложна (и наоборот).
- Если обратное утверждение верно, то верно и обратное (и наоборот).
- Если обратное утверждение ложно, то его обратное неверно (и наоборот).
- Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
- Если утверждение (или его противоположное) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то это известно как логическая двусмысленность .
Заявление [ править ]
Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же значение истинности (истинность или ложность), что и само утверждение, он может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитива установить легче, чем истинность утверждения. сам). [1] Противопозитивное доказательство является прямым доказательством контрапозитива утверждения. [6] Однако косвенные методы, такие как доказательство от противного, также могут использоваться с противопоставлением, как, например, в доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа, можно сказать, что « Если рационально, то оно может быть выражено в виде несократимой дроби ». Это утверждение верно, потому что это повторение определения. Противоположным этому утверждению является « Если не может быть выражено в виде несократимой дроби, то это не рационально ». Этот контрапозитив, как и исходное утверждение, также верен. Следовательно, если можно доказать, что нельзя выразить в виде несократимой дроби, то это должен быть случай, когда число не является рациональным. Последнее можно доказать от противного.
В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалось противоположное определение. Можно также доказать теорему, доказав противоположность утверждения теоремы. Чтобы доказать, что если натуральное число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентным образом доказать его противоположность: если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно показать, установив √ N равным рациональному выражению a / b, где a и b - положительные целые числа без общего простого множителя, и возведя в квадрат, чтобы получитьN = a 2 / b 2 и отмечая, что, поскольку N является положительным целым числом, b = 1, так что N = a 2 , квадратное число.
Соответствие другим математическим системам [ править ]
Исчисление вероятностей [ править ]
Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса, которая в определенной форме может быть выражена как:
.
В приведенном выше уравнении условная вероятность обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Этот термин обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Предположим, что это эквивалентно ИСТИННО, и это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда, то есть когда ИСТИНА. Это потому, что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1 и, следовательно, эквивалентна ИСТИННОМУ. Следовательно, теорема Байесапредставляет собой обобщение противопоставления . [7]
Субъективная логика [ править ]
Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике, выраженной как:
,
где обозначает пару биномиальных условных мнений, предоставленных источником . Параметр обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Обозначается пара перевернутых условных мнений . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может присвоить утверждению любое субъективное мнение. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ВЕРНО, а случай, когда это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение, эквивалентно источнику, говорящему, что оно ЛОЖНО. В случае, когда условное мнениеабсолютная ИСТИНА теорема субъективного Байеса оператор из субъективной логики производит абсолютное FALSE условное мнение и тем самым абсолютное ИСТИНА условное мнение , которое эквивалентно быть ИСТИНА. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как противопоставления, так и теоремы Байеса . [8]
См. Также [ править ]
- Reductio ad absurdum
Ссылки [ править ]
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - контрапозитив" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ «Определение КОНТРАПОЗИТИВНОГО» . www.merriam-webster.com . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ "Закон противопоставления" . beisecker.faculty.unlv.edu . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ "Modus ponens и modus tollens | логика" . Британская энциклопедия . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ «Предикаты и количественные утверждения II» . www.csm.ornl.gov . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2001), Переход к высшей математике (5-е изд.), Брукс / Коул, стр. 37, ISBN 0-534-38214-2
- ^ Audun Jøsang 2016: 2
- ^ Audun Jøsang 2016: 92
Источники [ править ]
- Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с противопоставлением на Викискладе?