Парадокс Хаусдорфа

Парадокс Хаусдорфа парадокс в математике имени Феликса Хаусдорфа . Он включает в себя сферу (двумерную сферу ). Она утверждает , что если некоторое счетное подмножество удаляется из , то остаток можно разделить на три непересекающихся подмножества и таким образом, что и все конгруэнтны . В частности, отсюда следует, что на не существует конечно аддитивной меры, определенной на всех подмножествах, такой, что мера конгруэнтных множеств равна (поскольку это означало бы, что мера одновременно и${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {A, B}}$${\ displaystyle {C}}$${\ displaystyle {A, B, C}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle 2/3}$ ненулевой меры всей сферы).

Парадокс был опубликован в « Mathematische Annalen» в 1914 году, а также в книге Хаусдорфа « Grundzüge der Mengenlehre» в том же году. Доказательство гораздо более известного парадокса Банаха – Тарского использует идеи Хаусдорфа. Доказательство этого парадокса опирается на Аксиому Выбора .

Этот парадокс показывает, что не существует конечно-аддитивной меры на сфере, определенной на всех подмножествах, равной на конгруэнтных частях. (Хаусдорф впервые показал в той же статье более простой результат о том, что не существует счетно- аддитивной меры, определенной на всех подмножествах.) Структура группы вращений на сфере играет здесь решающую роль - утверждение неверно на плоскости или линия. На самом деле, как это было позже показано Банахом , ^[1] , можно определить «зону» для всех ограниченных подмножеств в евклидовой плоскости (равно как и «длина» на прямом) таким образом , что конгруэнтных наборы будут имеют равную «площадь». (Эта банахова мераоднако является только конечно аддитивной, поэтому она не является мерой в полном смысле, но она равна мере Лебега на множествах, для которых последняя существует.) Это означает, что если два открытых подмножества плоскости (или вещественной прямой) являются оборуды разлагающихся , то они имеют одинаковую площадь.

См. Также [ править ]

• Парадокс Банаха – Тарского
• Парадокс Хаусдорфа на ProofWiki

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хаусдорф, Феликс (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen" . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. DOI : 10.1007 / bf01563735 . (Оригинальная статья; на немецком языке)
• Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre (на немецком языке).