В функциональном анализе , разделе математики, теорема о выборе - это теорема, которая гарантирует существование однозначной функции выбора из заданного многозначного отображения. Существуют различные селекционные теоремы, и они важны в теориях дифференциальных включений , оптимального управления и математической экономике . [1]
Предварительные мероприятия
Даны два множества X и Y , пусть F быть многозначное отображение из X и Y . Эквивалентно,является функцией от X к набору мощности из Y .
Функция Говорят , чтобы быть выбор из F , если
Другими словами, при заданном входе x, для которого исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция f возвращает одно значение. Это частный случай функции выбора .
Аксиома означает , что функция выбора всегда существует; однако часто бывает важно, чтобы выборка имела некоторые «приятные» свойства, такие как непрерывность или измеримость . Именно здесь вступают в действие теоремы выбора: они гарантируют, что, если F удовлетворяет определенным свойствам, то у него есть выбор f, который является непрерывным или имеет другие желательные свойства.
Теоремы выбора для многозначных функций
Селекционная теорема Майкла [2] говорит , что следующие условия являются достаточными для существования непрерывного выбора:
- X - паракомпактное пространство;
- Y - банахово пространство ;
- F - нижняя полунепрерывная ;
- для всех x из X множество F ( x ) непусто, выпукло и замкнуто .
Теорема Дойча – Кендерова [3] обобщает теорему Майкла следующим образом:
- X - паракомпактное пространство;
- Y - нормированное векторное пространство ;
- F является почти ниже хеминепрерывным , то есть в каждом, для каждого района из существует район из такой, что ;
- для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло .
Эти условия гарантируют, что имеет непрерывный приближенный выбор, то есть для каждой окрестности из в есть непрерывная функция так что для каждого , . [3]
В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча – Кендерова также верна, если является локально выпуклым топологическим векторным пространством . [4]
Селекционная теорема Яннелиса-Прабхакара [5] гласит, что для существования непрерывного выбора достаточно следующих условий :
- X - паракомпактное хаусдорфово пространство ;
- Y - линейное топологическое пространство ;
- для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло ;
- для всех у в Y , обратное установить F -1 ( у ) представляет собой открытое множество в X .
Теорема измеримого выбора Куратовского и Рылль-Нардзевского гласит, что если X - польское пространство иего борелевская σ-алгебра ,- множество непустых замкнутых подмножеств X ,является измеримым пространством , и является -слабо измеримая карта (то есть для каждого открытого подмножества у нас есть ), тоесть выбор, который- измеримо . [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Граница, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26564-9.
- ^ Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывный выбор. I». Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. DOI : 10.2307 / 1969615 . hdl : 10338.dmlcz / 119700 . JSTOR 19696 15 . Руководство по ремонту 0077107 .
- ^ а б Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный отбор и приблизительный отбор для многозначных отображений и приложений к метрическим проекциям». Журнал СИАМ по математическому анализу . 14 (1): 185–194. DOI : 10.1137 / 0514015 .
- ^ Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметка о непрерывной теореме приближенного выбора». Журнал теории приближений . 113 (2): 324–325. DOI : 10,1006 / jath.2001.3622 .
- ^ Яннелис, Николас С .; Прабхакар, Н. Д. (1983-12-01). «Существование максимальных элементов и положений равновесия в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики . 12 (3): 233–245. DOI : 10.1016 / 0304-4068 (83) 90041-1 . ISSN 0304-4068 .
- ^ В.И. Богачев, "Теория меры" Том II, стр. 36.