Функция выбора ( селектор , выбор ) - это математическая функция f, которая определена на некоторой коллекции X непустых множеств и присваивает некоторый элемент каждого множества S в этой коллекции S с помощью f ( S ); е ( S ) отображает S некоторый элемент S . Другими словами, F является функцией выбора X тогда и только тогда , когда она принадлежит к прямому произведению из X .
Пусть X = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. Тогда функция , которая назначает 7 к множеству {1,4,7}, 9 к {9}, и {2 до 2,7} является функция выбора на X .
История и значение
Цермел (1904) введены функции выбора , а также в качестве аксиомы выбора (АС) и доказано теорема хорошо упорядоченности , [1] , который гласит , что каждый набор может быть вполне упорядочено . AC утверждает, что каждый набор непустых множеств имеет функцию выбора. Более слабая форма AC, аксиома счетного выбора (AC ω ) утверждает, что каждое счетное множество непустых множеств имеет функцию выбора. Однако при отсутствии AC или AC ω некоторые наборы все же могут иметь функцию выбора.
Если - конечное множество непустых множеств, то можно построить функцию выбора для , выбирая по одному элементу из каждого члена. Это требует только конечного числа вариантов, поэтому ни AC, ни AC ω не нужны.
Если каждый член является непустым множеством, а объединение хорошо упорядочено, то можно выбрать наименьший элемент каждого члена . В этом случае можно было одновременно хорошо упорядочить каждый член , сделав только один выбор хорошего порядка объединения, поэтому ни AC, ни AC ω не потребовались. (Этот пример показывает, что из теоремы о хорошем порядке следует AC. Обратное также верно, но менее тривиально.)
Николя Бурбаки использовал эпсилон-исчисление для своих основ, у которых был символ, который можно интерпретировать как выбор объекта (если он существует), который удовлетворяет заданному предложению. Итак, if - это предикат, то это один конкретный объект, который удовлетворяет (если он существует, в противном случае он возвращает произвольный объект). Следовательно, мы можем получить кванторы из функции выбора, например, эквивалентной . [3]
Однако оператор выбора Бурбаки сильнее обычного: это оператор глобального выбора. То есть подразумевает аксиому глобального выбора . [4] Гильберт понял это, когда ввел эпсилон-исчисление. [5]
^ Граница, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26564-9.
^ Бурбаки, Николас. Элементы математики: теория множеств . ISBN 0-201-00634-0.
^ Джон Харрисон, "Бурбаки View" Eprint .
^ "Более того, здесь мы сталкиваемся с очень примечательным обстоятельством, а именно, что все эти трансфинитные аксиомы выводятся из одной аксиомы, которая также содержит ядро одной из наиболее критикуемых аксиом в математической литературе, а именно: аксиома выбора:,где- функция трансфинитного логического выбора ". Гильберт (1925), «О бесконечности», отрывок из книги Жана ван Хейеноорта, От Фреге до Гёделя , стр. 382. Из nCatLab .
использованная литература
Эта статья включает материал из функции Choice на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .