Теорема Кунена о несовместимости
В теории множеств , разделе математики, теореме Кунена о несоответствии , доказанной Кеннетом Куненом ( 1971 ), показано, что несколько правдоподобных больших кардинальных аксиом несовместимы с аксиомой выбора .
Неизвестно, верна ли еще теорема Кунена в ZF (ZFC без аксиомы выбора), хотя Судзуки (1999) показал, что не существует определимого элементарного вложения из V в V . То есть не существует такой формулы J языка теории множеств, что для некоторого параметра p ∈ V для всех множеств x ∈ V и y ∈ V :
Кунен использовал теорию множеств Морса-Келли в своем доказательстве. Если доказательство переписывается для использования ZFC, то необходимо добавить предположение, что замена выполняется для формул, содержащих j . В противном случае нельзя было бы даже показать, что j "λ существует как множество. Запрещенное множество j "λ имеет решающее значение для доказательства. Доказательство сначала показывает, что оно не может быть в M . Отсюда вытекают остальные части теоремы.
Можно иметь модели теории множеств, которые имеют элементарные вложения в себя, по крайней мере, если принять некоторые мягкие большие кардинальные аксиомы. Например, если 0# существует, то существует элементарное вложение конструируемой вселенной L в себя. Это не противоречит теореме Кунена, потому что если 0# существует, то L не может быть всей вселенной множеств.