Абсолютность

В математической логике , формула называется абсолютным , если он имеет то же значение истинности в каждом из некоторого класса ^{[ уточнить ]} из структур (также называемые модели). Теоремы об абсолютности обычно устанавливают отношения между абсолютностью формул и их синтаксической формой.

Есть две более слабые формы частичной абсолютности. Если истинность формулы в каждой подструктуре N структуры M следует из ее истинности в M , формула является нисходящей абсолютной . Если истинность формулы в структуре N подразумевает ее истинность в каждой структуре M, расширяющей N , формула является восходящей абсолютной .

Вопросы абсолютности особенно важны в теории множеств и теории моделей , полях , где несколько структур рассматриваются одновременно. В теории моделей несколько основных результатов и определений мотивированы абсолютностью. В теории множеств вопрос о том, какие свойства множеств являются абсолютными, хорошо изучен. Теорема Шенфилда об абсолютности , принадлежащая Джозефу Шенфилду (1961), устанавливает абсолютность большого класса формул между моделью теории множеств и ее конструируемой вселенной с важными методологическими последствиями. Абсолютность больших кардинальных аксиом также исследуется с известными положительными и отрицательными результатами.

В теории моделей [ править ]

В теории моделей есть несколько общих результатов и определений, связанных с абсолютностью. Фундаментальным примером нисходящей абсолютности является то, что универсальные предложения (те, которые имеют только универсальные кванторы), истинные в структуре, также истинны в каждой подструктуре исходной структуры. И наоборот, экзистенциальные предложения являются восходящими абсолютными от структуры к любой структуре, содержащей ее.

Две структуры определяются как элементарно эквивалентные, если они согласны относительно истинности всех предложений на их общем языке, то есть, если все предложения на их языке являются абсолютными между двумя структурами. Теория определяются как модель полной , если каждый раз , когда M и N является моделью теории и M является подструктурой N , то M является элементарной подструктурой из N .

В теории множеств [ править ]

Большая часть современной теории множеств включает изучение различных моделей ZF и ZFC. Для изучения таких моделей очень важно знать, какие свойства набора являются абсолютными для разных моделей. Обычно начинают с фиксированной модели теории множеств и рассматривать только другие транзитивные модели, содержащие те же порядковые числа, что и фиксированная модель.

Некоторые свойства являются абсолютными для всех транзитивных моделей теории множеств, включая следующие (см. Jech (2003, сек. I.12) и Kunen (1980, сек. IV.3)).

• x - пустое множество.
• x - порядковый номер.
• x - конечный ординал.
• х = ω.
• x является (графиком) функцией.

Другие свойства, такие как счетность, не являются абсолютными.

Отсутствие абсолютности для исчисляемости [ править ]

Парадокс Сколема заключается в кажущемся противоречии в том, что, с одной стороны, множество действительных чисел несчетно (и это доказуемо из ZFC или даже из небольшой конечной подсистемы ZFC 'ZFC), а с другой стороны, существуют счетные транзитивные модели. ZFC '(это доказуемо в ZFC), и набор действительных чисел в такой модели будет счетным множеством. Парадокс можно разрешить, отметив, что счетность не абсолютна для подмоделей конкретной модели ZFC. Возможно, что множество X счетно в модели теории множеств, но несчетно в подмодели, содержащей X , потому что подмодель может не содержать биекции между X и ω, в то время как определение счетности - это существование такой биекции. ВТеорема Левенгейма – Сколема в применении к ZFC показывает, что такая ситуация действительно имеет место.

Теорема Шенфилда об абсолютности [ править ]

Теорема Шенфилда об абсолютности показывает, что и предложения в аналитической иерархии являются абсолютными между моделью V в ZF и конструируемой вселенной L модели, когда они интерпретируются как утверждения о натуральных числах в каждой модели. Теорема может быть релятивизирована, чтобы позволить предложению использовать наборы натуральных чисел из V в качестве параметров, и в этом случае L необходимо заменить наименьшей подмоделью, содержащей эти параметры и все порядковые числа. Из теоремы вытекает, что предложения являются восходящими абсолютными (если такое предложение выполняется в L, то оно выполняется в V ) и${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Pi _ {3} ^ {1}}$предложения являются нисходящими абсолютными (если они верны в V, то они верны в L ). Поскольку любые две транзитивные модели теории множеств с одинаковыми порядковыми числами имеют одну и ту же конструктивную вселенную, теорема Шенфилда показывает, что две такие модели должны согласовывать истинность всех предложений. ${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}}$

Одно следствие теоремы Шенфилда связано с аксиомой выбора . Гёдель доказал, что конструктивная вселенная L всегда удовлетворяет ZFC, включая аксиому выбора, даже если предполагается, что V удовлетворяет только ZF. Теорема Шенфилда показывает, что если существует модель ZF, в которой данное утверждение φ ложно, то φ также ложно в конструируемой вселенной этой модели. В противоположность этому это означает, что если ZFC доказывает предложение, то это предложение также доказуемо в ZF. Же аргумент может быть применен к любому другому принципу , который всегда имеет место в конструктивной вселенной, такие как комбинаторный принцип ◊ . Даже если эти принципы не зависят от ZF, каждый из их${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}$последствия уже доказаны в ZF. В частности, сюда входят любые их следствия, которые могут быть выражены на языке (первого порядка) арифметики Пеано .

Теорема Шенфилда также показывает, что существуют пределы результатов независимости, которые могут быть получены путем принуждения . В частности, любое предложение арифметики Пеано является абсолютным по отношению к транзитивным моделям теории множеств с такими же порядковыми числами. Таким образом, принуждение невозможно использовать для изменения истинности арифметических предложений, поскольку принуждение не изменяет порядковые номера модели, к которой оно применяется. Многие известные открытые проблемы, такие как гипотеза Римана и проблема P = NP , могут быть выражены в виде предложений (или предложений более низкой сложности) и, следовательно, не могут быть доказаны независимо от ZFC с помощью форсирования.${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {0}}$

Крупные кардиналы [ править ]

Есть определенные большие кардиналы, которые не могут существовать в конструктивной вселенной ( L ) любой модели теории множеств. Тем не менее, конструируемая вселенная содержит все порядковые числа, которые содержит исходная модель теории множеств. Этот «парадокс» можно разрешить, отметив, что определяющие свойства некоторых крупных кардиналов не являются абсолютными для подмоделей.

Один из примеров такой неабсолютной большой кардинальной аксиомы - для измеримых кардиналов ; для того, чтобы ординал был измеримым кардиналом, должно существовать другое множество (мера), удовлетворяющее определенным свойствам. Можно показать, что никакая такая мера не является конструктивной.

См. Также [ править ]

• Консервативное расширение

Ссылки [ править ]

• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Шенфилд, Джозеф , 1961. «Проблема предикативности», Очерки основ математики , Ю. Бар-Хиллель и др. , ред., с. 132–142.