Подсеть (математика)

В топологии и смежных областях математики , подсеть является обобщением понятия подпоследовательности в случае сетей . Определение не совсем простое, но разработано, чтобы позволить как можно больше теорем о подпоследовательностях обобщить на сети.

Определения [ править ]

Если и - сети из направленных множеств A и B соответственно, то это подсеть, если существует монотонная конечная функция${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {a} \ right) _ {a \ in A}}$${\ displaystyle y _ {\ bullet} = \ left (y_ {b} \ right) _ {b \ in B}}$ ${\ displaystyle y _ {\ bullet}}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$

${\ displaystyle h: B \ to A}$

такой, что

${\ displaystyle y_ {b} = x_ {h (b)}}$ для всех ${\ displaystyle b \ in B.}$

Функция является монотонно , если imples и называется окончательным , если его изображение является конфинально в A , то есть, для каждого существует такое , что ^{[примечание 1]}${\ displaystyle h: B \ to A}$${\ displaystyle b \ leq c}$${\ Displaystyle ч (Ь) \ Leq ч (с)}$${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle b \ in B}$${\ displaystyle h (b) \ geq a.}$

Приложения [ править ]

Определение обобщает некоторые ключевые теоремы о подпоследовательностях:

• Сеть сходится к x тогда и только тогда, когда каждая подсеть сходится к x .${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$
• Сеть имеет точку кластера y тогда и только тогда, когда она имеет подсеть , сходящуюся к y .${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle y _ {\ bullet}}$
• Топологическое пространство X является компактным тогда и только тогда , когда каждая сеть в X имеет сходящуюся подсеть (см сетки для доказательства).

Казалось бы , более естественное определение подсети будет требовать B быть конфинален подмножество из А и ч быть тождественным. Эта концепция, известная как окончательная подсеть , оказывается неадекватной. Например, вторая теорема выше неверна для Тихоновской доски, если мы ограничимся конфинальными подсетями.

Хотя последовательность является сетью, последовательность имеет подсети, которые не являются подпоследовательностями. Например, сеть (1, 1, 2, 3, 4, ...) является подсетью сети (1, 2, 3, 4, ...). Ключевое отличие состоит в том, что подсети могут использовать одну и ту же точку в сети несколько раз, а набор индексации подсети может иметь гораздо большую мощность . Используя более общее определение, в котором мы не требуем монотонности, последовательность является подсетью данной последовательности тогда и только тогда, когда она может быть получена из некоторой подпоследовательности путем повторения ее терминов и их изменения. ^[1]

См. Также [ править ]

• Фильтры в топологии # Подсети

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3885380064.
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Springer. ISBN 3540901256.
• Рунде, Волкер (2005). Вкус топологии . Springer. ISBN 978-0387-25790-7.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications . ISBN 0486434796.